1701744240
在人的一生中，或然事件的数量、可能的推理数量是无穷的，于是人无法完全肯定最后的结果会与概率一致。那么，即便我们把所有已经发生的或然事件都考虑进来，他也不能肯定一定不会失败，而他的境况与之前相比也不会有什么质的变化，最多是量的变化。概率论中毋庸置疑的一点是久赌必输。就算他采用了鞅的方法（有些人觉得这种方法是不会出错的），而据我所知，这种方法通常不允许在赌场中使用。在这种情况下，他首先赌1美元，如果输了就要赌2美元，再输了就是4美元，然后是8美元。之后他如果赢了，就一共输了1+2+4=7，赢了1美元。他无论输了多少，只要赢了一次，就会比最初的时候多得1美元。用这种方法，他一开始也许会赢，但是最后总会有用尽运气的时候，没有钱再抵押，于是不得不放弃所有的赌注。可能还没等到赢得足够的钱，他就开始输了，然后变得比开始的时候还要穷。这个情形是一定会发生的，不过是早晚而已。的确，不管赌注有多大，只要银行付得起，他总是有机会赢到手的。但是，这会导致一个著名的悖论：尽管他最后一定会失败，根据通常规则（这种规则没有考虑他必然会输的情况）看，他预期能获得的价值仍然是很大的。然而，不管这个赌博者使用这种方法还是其他方法，可以肯定的是，只要他持续的时间够长，失败就一定会出现，之前赢到的全部也就付诸东流。
1701744241
1701744242
对于保险公司来说也是同样的情况。他们会努力规避所有的重大灾难，但精算师依然会告知主管，根据概率论，损失总会发生。他们可以借助一些巧妙的手段平安渡过危机，但是之后他们的起点会比之前更为薄弱，然后很快损失会再次发生。精算师也许更倾向于否认这一点，因为他知道，自己供职的公司期望值很高，或者说（忽略利率）可能是无限的。然而对于期望值的计算可能不会考虑我们上述提到的忧虑之处，因为它很可能带来极大的反转结果。不过，我并不是说保险在这一方面与其他业务相比就具有了很大的缺陷。所有的人类活动都与概率有关，类似的事实也随处可见。如果人可以长生不老，那么一定会有一天，所有的信念都变成背叛，让人深陷无望的痛苦之中。和财富消失、朝代瓦解、文明陨落一样，曾经的辉煌只会变成今天的幻灭。为了避免这种情况的发生，我们就有了死亡。
1701744243
1701744244
但是如果没有死亡，活着的人身上会发生什么呢？无论如何，死亡一定会发生在部分人的身上。同时，死亡也让或然事件、或然推理有了一定的限度，让平均数实际上变得不可知。概率和或然性推理建立在数量无穷大的基础上。于是我们遭遇了和过去一样的难题，难以找到解决的办法。在我看来，似乎我们都受到了这种观点的驱使，即逻辑无情地要求我们不能把兴趣局限在自己身上，而要扩展到所属的群体；甚至也不能局限在群体上，而要扩展到一切我们能够直接或间接地发生思想关联的事物上。我们的视线必须超出当前的地质时期，要越过一切界限，不管我们的视线多么模糊。我认为，一个人如果不能为了世界的利益而牺牲自己，他就不是一个懂逻辑的人。逻辑是扎根于社会原则中的。
1701744245
1701744246
一个讲究逻辑的人不可以是自私的。他不像别人想象的那般自私。有意地实践自己的愿望并非自私。守财奴并不是自私，他的钱财并不会给他带来任何好处，他在乎的是自己死后这些钱会带来什么。我们总是在谈我们 在太平洋上的产业领地，谈论我们这个国家的命运，从不谈及个人利益，显得我们把视野放得更加远大。我们也会焦虑地讨论，几百年后煤炭资源很可能耗尽，上亿年后太阳可能也失去了光辉。许多宗教信条中也都离不开舍生取义、为救赎他人而下地狱的佳话。
1701744247
1701744248
就逻辑学而言，一个人做出自我牺牲的英雄壮举，未必需要这种做法符合逻辑，而只需要他认识到这种壮举具有可能性。他只要能参照这个标准看待自己的推理，这一推理就可以被视为具有逻辑的思想。
1701744249
1701744250
这种方式让逻辑性变得简单易懂。有些时候，我们可以在自己身上实现英雄主义。一个冒着危险爬上墙壁的士兵一定知道他很可能会被子弹击中，但他并不在乎。他也知道，如果自己所在的队伍一起冲锋进攻，也许就会拿下这个要塞。我们之前例子中那个抽牌的人，他如果不懂逻辑，却从红色多的那一叠中抽取，这也许仅仅只是一种习惯。他如果懂得逻辑，而关心的仅仅是自身的命运，那么也不能被看作一个讲究逻辑的人。他如果考虑了所有可能的状况，看待每一种情况都不会有偏心，他才能以逻辑的方法行事，从红色的那一叠中抽取卡片。因此，尽管逻辑学家不一定能完成英雄壮举，但是为了坚持逻辑，也会去模拟这种勇气带来的效果。
1701744251
1701744252
然而，所有这些都需要我们对个体的利益与无限集体的利益有所认同和了解。当前，认为人类或任何高等智慧的种族会永存，这种想法是无理可循的，后面我们也会对这一点加以讨论。而从另一方面来看，我们也找不到反对的理由[31] 。幸运的是，根据总体的要求，我们应该持有某种观点或感情，也没有什么事实可以阻止我们怀有某种希望，那种平静愉悦的希望，希望这个群体可以一直存在下去，不受任何规定日期的制约。
1701744253
1701744254
我提出将无限群体的利益、认同这种利益至高无上的可能、对思想活动无限延续的希望这三个方面作为逻辑不可或缺的要求，可能有些奇怪。然而，我们不妨想一想，逻辑依赖于摆脱疑惑的努力，而在行动无法进行时，情感便会开始发挥力量。此外，我们之所以要依靠推理来摆脱疑惑，唯一的原因是其他方法不符合我们与他人交往的冲动。那么，在推理中发现社会的根源又有什么好奇怪的呢？对于我认为必要的另外两种观点，它们仅作为支持和附属品存在。让我觉得有趣的是，这三种观点似乎与“信、望、爱”十分相似。圣保罗认为，这三个要素是最伟大、最高尚的思想天赋。《旧约》和《新约》都不能被看作逻辑学的教科书，但显然后者在评判人的天性禀赋方面具有较高的权威。
1701744255
1701744256
五
1701744257
1701744258
我将这样的平均数字——例如每平方英里的居民数、每周的死亡人数、每个刑事案件的定罪数，或者用更一般的说法，每个y 的x ——称为“相对数”（relative numbers）。此处的x 是一类事物，它们与另一类事物，也就是这些x 的y ，存在着关联。我将x 称为“相关群体”（relate），而将y称为“相关项目”（correlate）。
1701744259
1701744260
概率是一个相对的数字，也就是在某一类事物中另一类事物成立的比率。从这一点可以轻易地得出计算概率的规则。由于这些规则非常简单，我们可以在此进行罗列。有时，掌握一些基础的计算法则是很有用的。
1701744261
1701744262
规则1：直接计算 ——直接计算任何相对数字，例如有轨电车旅程中的平均乘客数等。我们要通过以下方法进行计算。
1701744263
1701744264
数出每次旅程中的乘客数目，将这些数目相加，再除以旅途次数。有些情况下，我们也可以简化这个规则。假设我们想知道纽约某住所中的住户人数。一个人不可能同时居住在两处住所中；如果他有两处住宅，则在每一处都算半个住户。在这种情况下，我们只需要用纽约所有居民人数除以他们的住宅数即可，不需要分别去数清每所住宅中的人数。如果每个“相关群体”中的个体只能拥有最多一个“相关项目”，那就都可以采取类似的方法。我们如果需要知道每个y 中x 的个数，且没有x 同时属于两个或两个以上的y ，那么用y 中所有x 的数量除以y 的数量即可。如果用这种方法去计算每次有轨电车旅程中平均乘客的数量，那就肯定是无效的。我们不能用总乘客数除以旅程数，因为有很多乘客可能会往返多次。
1701744265
1701744266
要从给定前提类别A和结论B中计算概率，只需要确定前提正确和结论正确的比例，也就是只要用A和B同时发生的次数除以A事件发生的次数即可。
1701744267
1701744268
规律2：相对数之和 ——若两个相对数字有着相同的关联群体，例如求每个y 中x 的数量和每个y 中z 的数量，我们需要统计每个y 中x 和z 的总数。如果没有x 和z 属于同一个y 的情况，则这两个数字之和就是所需答案。例如，假设我们已知一个人平均有多少个朋友以及平均有多少个敌人，则二者之和就是对一个人有利害关系之人的数量。而从另一种情况来说，如果将体质虚弱的人数与超过兵役年龄的人数相加，以获得享受兵役豁免的平均人数，这是不可行的，因为有许多人同时享受两次或更多次的豁免。
1701744269
1701744270
这个规则直接适用的概率是，两个不同的且相互独立存在的事件有可能在同样的一系列情况下发生。例如，已知“如果A那么B”的概率以及“如果A那么C”的概率，则两种概率之和是“如果A那么B或C”的概率，只要没有同时属于B和C的事件即可。
1701744271
1701744272
规则3：相对数之积 ——假设我们已知每个y 中x 的相对数字，以及每个y 的x 中z 的相对数字；或者举个更加准确的例子，假设我们首先已知纽约家庭中孩子的平均数量，之后我们又知道了一个纽约儿童牙齿的平均个数，于是通过这两个数字，我们可以得出一个纽约家庭中孩子牙齿的平均总数。然而，这种方式有两个限制条件：第一，如果同一个孩子同时属于不同家庭，那么结果就不准确了，因为这样的孩子牙齿数量也许会格外多或格外少，从而影响一个家庭中孩子的牙齿平均数量。这种影响要大于对每个孩子平均牙齿数量的影响。第二，如果不同的孩子可以共用牙齿，这种计算也不属实。在这种情况下，单个家庭孩子牙齿的平均总数会与一个孩子牙齿的平均数量有很大差异。
1701744273
1701744274
使用这种概率法则，我们必须根据以下条件进行：假设我们已知前提A带来结论B的概率，B与A代表某种类型的前提，我们还已知以B为前提的推论的概率，以及结论C的前提，这就是所需的信息。首先，我们有了每个A中B的相对数量，之后我们也有了每个B中C的相对数量。然而，这两类前提是经过挑选的，所以C在B中的总体概率与C可以从A中推导出的B的概率一致。两种概率可以相乘，来给出C在A中的概率。加法中的限制条件依然存在。从A类事件几种不同命题下会得到B类事件命题，也有可能B从A中得出的概率会受到B类事件命题的影响。但是，从实际的角度看，这些限制条件几乎不会带来什么后果，并且人们普遍认为存在一条通用的概率原则，即“如果A那么B”的概率乘以“如果B那么C”的概率，得出的就是“如果A那么C”的概率。
1701744275
1701744276
概率乘法能发挥很大的作用，但还有一条辅助的规则。这条规则并非举世通用，而且用时必须非常谨慎，有两方面需要注意。首先，涉及重大失误时不要使用。其次，如果有机会可以使用的话，不要错过。该规则基于以下事实：“如果C为真则B为真”的概率与“如果C为真则A为真”的概率大体一致。举个例子，假设我们现在知道纽约每年出生的男童平均数量，又知道纽约每年冬季出生的男女童平均数量，我们就可以推断，这至少是一个很近似的命题（对于概率学来说没有完美的估算），即在纽约出生的男童比例与在纽约夏季出生的男童比例相同。因此，如果将一年之内出生的所有孩子的名字放入一个罐子中进行抽取，我们可以将抽中男童名字的概率和抽中夏季出生的男女童名字的概率相乘，就可以知道抽中夏季出生的男童的概率为多少。在许多论述此问题的相关论文中，这样的概率问题通常与抽签游戏和纸牌游戏等联系起来。在这些情形下，“事件独立性”的概念非常简单，也就是在假设A和假设B的前提下，C发生的概率相同。但是，概率在解决日常生活的问题时，有一个很值得我们思考的问题，即两个事件是否可以有足够的证据被认为是独立的。在纸牌游戏中，为了保证牌之间没有关联，牌一定要洗开。然而，实际情况是，牌很少有完全洗开的时候。因此，在惠斯特纸牌游戏中，一共有四种花色，同花色的牌可能还是会排在一起，哪怕已经洗过牌了。或者说，至少有一些牌没洗开的痕迹。比如，所谓“短套花色”[32] 的数量比正确估算的要少，也就是说，由于洗牌分牌不均导致“长套花色”数量增加。所以，当一副烂牌被充分洗过时，我们通常就会说下一把会有很多“短套花色”了。几年前，我有一个很喜欢玩惠斯特纸牌的朋友，他曾经计算过在165手牌中他被发到黑桃的数量。在这一样本中，洗牌彻底程度肯定至少超出了平均水平。最后根据计算，我朋友本应拿到3张或4张黑桃的数量为85手，但实际上他拿到了94手，这个例子说明了洗牌不彻底的影响。
1701744277
1701744278
以上就是概率计算的全部基本原则了。但还有一个原则是从人们对概率的不同理解中衍生出来的，这在一些论文中也提到过，如果最后被合理论证的话，那么很有可能成为一个推理理论的基础。虽然我个人认为这很荒谬，但对此进行的思考却有可能把我们带向真理。正是由于讨论这个话题的缘故，我才在学习科学逻辑之初就提前向读者介绍了概率理论。
1701744279
1701744280
1701744281
1701744282
1701744284
如何形成清晰的观点 第四篇 归纳的概率[33]
1701744285
1701744286
一
1701744287
1701744288
我们知道，每一个论据都是从其所属的推理类别的一般真理中得出的，而概率就是这些论据在任意类别中依然为真理的比例。中世纪逻辑学家有一套命名系统正好适用于此。他们把前提表达的事实称为“前件”（antecedent），随之而来的推论称为“后件”（consequent），而从（几乎）每一个前件到后件的原则则被称为“推论”（consequence）。按照这套系统来说，概率完全属于“推论”，任何一个推论的概率等于前件和后件同时发生的次数除以前件发生的次数。由此定义可推导出概率的加法与乘法规则，如下所述。
1701744289
[
上一页 ]
[ :1.70174424e+09 ]
[
下一页 ]