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概率和机会无疑都归属于“推论”，是相对于特定前提的。尽管如此，我们也可以说某事件概率的绝对值，它的意思是，就目前所知而言，综合所有与它相关的事态得出的它发生的可能性。从这个意义上说，某事件的机会与我们对其的信念程度有非常密切的关系。信念不仅仅是一种单纯的感觉，也有一种相信的感觉，所有的论据都表明这种感觉会随着机会的变化而变化。因此，任何一个随着机会变化的量，都可以用来度量信念的强度大小。在众多数量中，有一种尤为适当。当我们遇到很大的机会时，信念的感觉应该是非常强烈的。凡人永远无法获得绝对的肯定和无限的机会，而这无限的信念正好说明了这一点。随着机会的减少，信念的感觉也会减弱，直到达到机会为1的情况，它就会完全消失，而不是越来越倾向或远离原命题。当机会减少时，相反地，会滋生一种坚定的信念，即机会越少，信念越强。当机会几乎消失时（但完全消失这种情况不太可能发生），这种坚定的信念会趋于无限强。现在，我们有一个对所有情况都非常合适的数量，就是机会的“对数”。然而，还有另外一个因素必须考虑，就是我们的信念应与证据的分量成正比。从这个意义上说，如果有两个完全独立且势均力敌的论据，那它们应该产生一种两者强度之和的信念。现在，我们已经知道，两个独立并存的论点需要将各自的机会相乘得到结合的机会，因此，最能表达信念强度的数量应该是，在机会的结合要通过对部分的机会做乘法得到时，同样可以对这个数量做加法得到。而现在，对数是满足此条件的唯一量。有一个普遍的感觉定律叫“费希纳心理物理定律”，指的是任何感觉的强度都与对它产生外力的对数成正比。因此，信念的感觉应该为机会的对数，这种感觉指的是产生信念的一种事实状态表达。
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当测量信念强度时，两个独立并存的观点组合的原则非常简单，即把各个正面论据的信念感总和减去各个反面论据的信念感总和，余下的就是最后我们应该有的信念感。这是人们常常采取的办法，名为“权衡”。
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上述因素就是支持概念论的理据。其核心在于，任何与事实相关论据的结合概率，必须与我们对此事实应有的信念程度密切相关。这一点往往也能得到其他观点的佐证，表明该理论与其他方面的认识是相一致的。
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但是，无论概率是大是小，表达的都必须是事实。因此，这是一件需要证据的事情。那么，让我们来思考一下对概率的信念是如何形成的。假设我们现在有一袋豆子，偷偷地随机抽取其中一颗放在反扣的杯子下。我们现在要对这颗豆子的颜色做一个合理的猜测，办法是每次从袋子中抽取一颗豆子察看，然后放回去并搅混。假设第一次抽到的是白豆子，第二次是黑豆子，我们就可以得出结论，这两种颜色都没有绝对的巨大优势，而且，杯子下的豆子似乎有一半的可能是黑色的。但是这个判断有可能在接下来的几次抽取中被改变。当我们抽取的10次中有4次、5次或6次都是白豆子，那么就比较能确信这个猜测的概率是平均的。当我们抽取的1000次中几乎有一半是白豆子，就更能确信这一点了。现在，我们可以很肯定地说，如果我们对每一次被抽取的豆子颜色进行下注，那么从长远来看，猜白色是没有问题的。我们想要获得的信心就是这个，但是希望是在抽两次的时候就获得，而不是在抽了1000次以后。所以，概率的全部意义在于给我们提供一个长期的保障，并且因为这种保障不仅仅基于机会的大小，也取决于判断的准确性，我们不应该对所有机会均等的事件抱有同样的信念。简而言之，要合理地表达我们的信念，至少要有两个数字，第一个数字基于推测的概率，第二个取决于基于概率的了解程度。[34] 确实，当我们对某事物了解得非常精确的时候，当我们已经从袋子中抽取许多次以后，这个表示概率的不确定性的数字可能就不再重要了，或者完全消失。然而，当我们对某事件的了解非常有限时，这个数字就可能比概率本身更重要。而当我们完全不了解时，这个数字就代表着一切。所以，如果说某个未知事件的机会是均等的，这没有任何意义（因为没有事实的表达没有任何意义），这时应该说现在的机会完全是模糊的，没有办法计算。因此我们认为，虽然概念论在某些情境下适用，但总体上是很不充分的。
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假设我们从袋子中抽取的第一颗豆子为黑色，就会形成一个论据，即杯子下的豆子可能为黑色，无论这个概率有多小。如果第二颗豆子也是黑的，这就是另一个独立论据，且加强了前一论据的可信度。如果前20颗豆子都是黑色，那我们对杯子下豆子为黑色的信心就会大大加强。但如果第21颗豆子为白色，然后我们继续抽取，最后发现抽到了1010次黑豆子和990次白豆子，那我们应该得出的结论是，前20次都抽到黑豆子这一事件是一个很大的偶然，事实上白豆与黑豆的比例是相当的，并且被藏起来的豆子为黑色的可能性也是均等的。但是根据“权衡”原则，由于每一次抽到黑豆或白豆都是一个独立论据，虽然有这么多对于“被藏起来的豆子为黑色”这一判断的有利论据和不利论据，但多出来的20颗黑豆产生的信念程度应当与抽取总数无关。
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在观念论观点中，这种完全的无知状态——判断不应倾向或偏离假说——会用 的概率来表示。[35]
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不过，如果我们假设我们现在完全不知道土星居民的头发颜色，我们拿一张渐变颜色表，它包含了所有可能的颜色，任意相邻两种颜色之间的差别是无法用肉眼识别的。现在划出一个封闭的区域，试问：根据概念论的原则，土星居民的发色属于这个区域的机会有多少？我们给出的答案不可能是“完全无法确定”，因为我们一定是怀着某种信念的；而事实上，持概念论观点的人也是不承认不确定的概率的。这个问题没有确定性，答案其实在0和1之间。这里没有给定的数值，所以数字必须由概率本身的性质决定，而不是由数据计算得出。因此，答案只能是一半，因为这个判断不能倾向或偏离假设本身。这个区域的机会和任意别的区域的机会一样，并且如果有第三个区域包含了这两个区域，情况也是一样的。否则，如果两个小区域的概率各为一半，那么包含两者的大区域的概率就至少为1了，这是荒谬的。
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三
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所有的推理可分为两种：①解释性推理，也叫演绎法或分析法；②扩充性推理，也叫综合法或归纳法（不很确切）。在解释性推理中，首先在前提中规定了某些事实。这些事实在每一种情况下都涵盖无尽的内容，但它们常常可以通过一些规律性的方式总结在一个简单的命题中。因此，在命题“苏格拉底是一个人”中，意味着（没有其他可能性）他一生中的每时每刻（或者你可以说，在他一生中的大部分时间）是一个人。他不可能有一瞬间是一棵树或一只狗；他没有流入水中，或一次出现在两个地方；你不可能像透过一张光学图像一样，把你的手指透过他的身体等。现在，我们有了一些事实，虽然我们得出这些规定时并没有把它整理成命题的目的，但是我们或许就能在其中发现某种规定；这样我们就可以将其部分或全部形成一个新的命题。如果不提出命题，它便可能被忽略。而这一命题就是分析性推理的结论。这些都属于数学论证方法。但综合性推理与之截然不同。在这种推理情况下，结论中总结出的事实并没有在前提中阐述出来。得出的事实也各不相同，比如人们若有m次看到了潮汐上涨，就会得出结论，下一次潮汐会上涨。这些是增加我们常识的唯一推论，当然其他的推论也可能有用。
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在任何可能的问题中，我们给出了某些事件出现的相对频率，我们认为在这些事实中，就隐藏着另一个事件出现的相对频率。解法前面已经讲过了。因此，这只是解释性推理，而非综合性推理。综合性推理的结论是要超出给定前提的范围的。因此，要想通过这种方法来发现综合性推理中的概率是缘木求鱼。
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大多数关于概率的论文都含有一个不同寻常的原则。例如，如果一个居住在地中海沿岸、从未听说过潮汐的原始人来到了比斯开湾，看到潮汐上涨m次，他就可以知道潮汐上涨的概率等于：
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凯特勒在他的一本著作中强调了这一点，并将其作为归纳推理理论的基础。
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但是，如果这个人从未见过潮汐，也就是说，给定m =0，此解决方案就不再成立。这样，下一次潮汐上涨的可能性就是 。换句话说，解决方案涉及概念论的原则，即完全未知的事件的概率为一半对一半。其中包含的道理还可以由下面这个例子得出，即好几个缸里装着相同数量的球，部分为白色，部分为黑色。一个缸里都是白球；一个缸里有一个黑球，其余为白球；另一个缸里 都是黑球，其余为白球；以此类推，黑球比例依次增加，直到缸里全是黑球。但是，在这种人为安排和自然概率之间进行类比唯一可能的原因是，我们所不知道的替代方案必须被认为是有同等可能性的。但这个原则是荒谬的。按照这个原则，列举不同可能性有无限多种方式，都会产生不同的结果。如果有方法列举可能性，并使它们都相等，那也绝不是用这种方法，而是如下方案：假设我们有一个巨大的仓库，黑球和白球混在一起；并且假设每个缸内的球数都是固定的，是从仓库里随机取出来的。仓库中白球的相对数量可以是任何值，比如 。那么，第一个球是白色的缸就占 ，第一个球是黑色的缸占 。在取出第一个球是白色的缸里，第二个球是白色的占 ；在第一个球是黑色的缸里，第二个球是白色的也占 。于是，我们就可以得到一个分布表，w代表白色球，b代表黑色球。读者可以自行检验。
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