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我们已经研究了概念论提出的问题。简而言之：给定一个综合性结论；我们的目标是，发现在任何指定范围内的所有可能情形中，有多少种是符合该结论的；并且我们已经发现，将综合性推理归约为分析性推理是荒谬的，没有任何确定的方法可以解决。
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但是，与这个问题相关的另一个问题是这样的：给定若干事实，求与之相关的综合性推论有多大概率为真（允许一定的近似度）。现在，解决这个问题没有任何困难（除了算术比较复杂），并且已经得到了深入研究，答案是完全清晰的。难道这不是我们最想知道的吗？我们为什么要了解事实有多大概率符合我们的结论？这意味着，我们对所有可能的领域都感兴趣，而不仅仅是我们所处的领域。我们为什么不那么关心我们的结论有多大概率符合事实呢？原因就在于上面的两个问题。我还要问读者，如果人们不是在完全没有理解自己意思的情况下使用“概率”一词，而是使用“相对频率”一词，那么他们可能会看不到为了得到结论的概率，他们不应该带着分析法的思路去进行综合性的推断；恰恰相反，应该从事实出发，得出综合性的推断，然后再回到事实，检验推断是否与事实相符。
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因为我们不能有一缸无限数量的球来代表大自然的无穷无尽，所以让我们假设一缸有限数量的球，每个球被抽出后又被抛回到缸里，这样也就模拟出无穷了。假设 的球是白色的，其余都是黑色的，从中抽出4个球。然后，第84页上的分布表代表了取出球的不同方法的相对频率。可以看出，如果我们判断这4个球在缸中的比例，若抽取81次，有32次抽到这4个球，则比例为 ；若抽取81次，有24次抽到这4个球，则比例为 ；实际值是 。把这个表格中的数字扩大到无穷大是相当费力的，但数学家已经发现了一些巧妙的方式来计算这些数字。经研究发现，如果白球的真实比例为P ，取出球的数量是S ，则通过归纳得到的比例误差分布如下。
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这种算法可以举例说明。据1870年人口普查结果，本地一岁以下的白种人儿童中，男性比例为0.5082，而在其他肤色的同年龄段的儿童中，此比例仅为0.4977。比例差距为0.0105，即约每100人相差1人。这要归为偶然性？还是说在大量的白种人孩子与其他人种孩子中间，这种差别依然存在？此处的P 可以取 ，所以2P （1-P ）也是 。白种人孩子的总数接近1，000，000，所以，我们需要把 开平方，结果约为 ，再乘以0.477，约为0.0003。也就是说，通过归纳得到白种人男童比例的误差范围在0.0003以内。黑种人儿童数量约为150，000，误差范围在0.0008以内。于是，我们可以看到，实际的差距是两者误差范围之和（0.0003+0.0008）的10倍左右。根据第92页上的列表，从长期来看，如果是因为纯粹的统计误差，那么大概100亿次中才会出现一次。
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请注意，当归纳探寻概率的实际值要么很大、要么很小时，推理就更有把握。因此，想象一下在现实中从一个装有100个球的容器里去抽取1个白球，抽取100次来做判断，得到的结果是，抽不到白球的概率是 ，抽到1个白球的概率是 ，抽到2个白球的概率是 ，抽到3个白球的概率是 ，抽到4个白球的概率是 ，抽到5个白球的概率是 ，以此类推。于是，我们几乎可以肯定，在这100个球里，最多只有1个白球。
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因此，在一种意义上，我们能够判定综合推理的概率；在另一种意义上，我们做不到。我们来看下面这个推理。
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100个克里特岛人中有99个是骗子；
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埃庇米尼得斯是克里特岛人；
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所以，埃庇米尼得斯是骗子。
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我知道以上推理相当于100次中有99次是真相，但当我反向推理的话：我能想起来的，比如麦诺斯、萨尔珀冬、拉达曼提斯、杜卡里翁和埃庇米尼得斯都是克里特岛人，但这些都是大骗子，所以，大概所有克里特岛人都是骗子。我完全不知道类似的推理多久能给我带来真相。另一方面，我可以知道的是，有确切比例的克里特岛人是骗子，用五六个例子就能估算出个大概。即使这个推断差到了极点，也就是只有一半克里特岛人是骗子，那么误差最多也不过是 。这些是我知道的。但是，在目前这个例子中，推断结果是所有克里特人都是骗子，它是真是假我就不大清楚了。
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五
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在18世纪末，伊曼努尔·康德问了这样一个问题：“先天综合判断何以可能？”他所说的“综合判断”，指的就是提出具体的事实，而不只是说明事物的呈现方式一类。简单来说，综合推理所产生的判断是分析推理无法产生的。他所指的“先天判断”，就好比所有外在对象都处于空间中、凡事必有因之类。在他看来，先天命题是不能从经验中推得的。他的这个问题几乎将当时流行的哲学体系涤荡殆尽，并且开启了一个新时代，而他的回答反倒没那么大威力。然而，在问那个问题之前，他应该问一个更为普遍的问题：“综合判断何以可能？”一个人如何能够看到一个事实，然后立刻说出他对于另一个事实的判断，并且不受第一个事实的影响？
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我们已经看到了，这种推理——至少从它的日常意义来看——是没有确定的概率的，那么它又怎么能增益我们的知识呢？这是一个奇怪的悖论。艾比·格拉特里（Abbé Gratry）曾解释说这是一个奇迹，所有真实的归纳都来自上天的灵感。[36] 与某些学究用三段论或其他什么东西把概率颠来倒去相比，我对这种解释倒是更有几分敬意。我之所以尊重它，是因为它看到了问题的深刻性，给出了一个恰当的理由，并且与一种普遍的宇宙论联系在一起——真正的解释都应该做到这一点。同时，我又不接受这样的解释，因为一个解释应该告知一件事是如何发生的，然而诉诸永恒的奇迹，似乎是放弃了一切这样做的希望，但又没有给出充分的根据。