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阿布诺瓦斯（Abunowas），48；
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阿克兹（Accords），45。
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这五个人的年龄有如下共同特性：
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1.组成每人年龄的两个数字除以3，余数都是1；
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2.取每人年龄的十位数的n 次方，n 等于年龄的个位数，再除以3，余数都是1；
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3.包括1在内的每个年龄的质因子总和，能被3整除。
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我们很容易看出，这种数字间偶然的共性有无数种可能。但是假设我们不是因为样本的普遍性而研究这种特性，而是因为某种特性的重要性、显著性或其他原因，在取样本前就选定了一个特性，那么，由于所选中特性出现的比例很高，我们随机挑选的两个样本有极大概率是有共性的。在整个样本中事先指定特性出现的频率，和从此类样本中随机抽取的一部分中这种特性出现的频率几乎相同，这种推理就是归纳。如果事先没有指定特性，而我们在一个样本中也发现了这种特性显著，就只能说明这种特性可能在这一整类样本中都比较显著。如果愿意的话，我们可以把这种猜测当成推理——一种对可能性的推理。但是，为了印证它是否真的显著，我们还要再抽取一次。除了事先指定一种特性，然后抽取一个样本查看，我们还可以指定两个特性，用同一个样本查看两个特性出现的相对频率。这就能一次做两个归纳推理。当然，不管我们同时分析两个，还是分别分析，最后所得结论都不能确定其正确性。不管是指定两个，还是任意有穷个特性，得到的结论都不会有质的区别。现在，任何一种事物中引起我们强烈兴趣的特性，数量其实都比想象中的要更少、更适中。我们一定会查看关于这些特性的样本，这些特性可能不是预先指定的，而是预先确定的（实际上是一回事）。然后我们会推断，这些样本在这些特性上可以代表整个样本种类，但是我们仍要记得这不是一个可靠的推理，因为收集样本以前，这些特点就已经被锁定，要在样本中寻找它们了。
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这个归纳理论的论证是在一些原则和方法的基础上进行的。这些原则和方法已被广大学者接受和采用，他们在各自的具体领域中都表现出了知识和能力，因此有资格对此做出判断。然而，不知为何，这个理论本身却没有被那些阐释综合推理的学者记录下来。在这方面最广为人知的阐述来自约翰·斯图尔特·密尔——即归纳的有效性取决于自然的统一性原则——也就是说，归纳遵循的原则是，一旦事情在足够相似的环境下发生过，那么每当同样的环境再次出现，事情就会再次发生。适用条件是：不同事物属于同一类别，组成相似的环境，且相似性“足够”的情况下，这样才叫归纳。“事情发生过”的意思是，我们发现一些事物有一个特性，然后我们可能期望看到的是：每当同样的环境出现，事情就会再次发生，也就是说，同一种类下的所有这些事物应该都有同样的特性。
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这里我要大胆想象一下，这个关于归纳的分析有许多缺陷，其中一些缺陷可能是值得专门注意的。
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第一，当我把手伸进包里，掏出一把豆子，发现掏出的 的豆子都是黑色的，我会推断整个袋子里黑色的豆子就占 ，如果我掏出的黑色豆子占更大比例，或者全是黑色，我显然也会做出相应的推测，我会推断手里的豆子就代表了袋子里剩下的所有豆子。但是，对归纳的分析看起来并不适用于解释对比例的归纳，即特定事件在特定环境下不总会发生，而是在一定的比例下发生。诚然，我们可以把整个样本视为单个的物体，于是根据上面的推断模式，或许可以得出这样的结论：任何类似样本的成员之间也会表现出类似的比例。但是，这种做法就好比只针对一个例子来做归纳，显然存在着对概率的误读。
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第二，如果自然的统一性是归纳法的唯一根据，那么对于一个我们不知道它是否恒常发生的特性，我们就不能对它做归纳。据此，密尔说道：“虽然上千年来欧洲人只知道天鹅是白色的，但是就这样推测所有天鹅都是白色的，这不是一个好的归纳，因为人们不知道颜色是不是一种普遍的特征，能够将不同的种属分开（事实上，它也确实不是）。”但是，在数学上却可证明，即便不了解某个特性是否能够将不同的种属分开，一般地，我们仍然可以得出具有很高可能性的归纳推理。在人们知道颜色不是动物分类中普适的特性之前，当然有很大可能性可以说所有天鹅都是白色的。但是，通过对动物种属的进一步研究，人们就已经归纳出同种动物的颜色未必一致。通过演绎地应用这一普遍命题，我们不需要发现黑天鹅的存在，即可对“所有天鹅都是白色的”这一命题的概率提出质疑。当我们知道了一个特性的稳定性或不稳定性，不管是否会增强或减弱归纳的作用，都将这些知识用于任何归纳相关的特殊类别中，就像将任何常识用于对某种事件的分析中去，这就是演绎法而不是归纳法了。
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第三，我们说归纳是准确的，是因为相似的事件在相似的环境下发生，或者说相同是因为在某些方面相似的事物在其他方面也很有可能相似——这种说法忽略了对归纳有效性至关重要的一些条件。当我们把所有特性都纳入考虑之后，任何两个事物相似的细节都和任意其他两个事物一样多。如果我们把特性限制在我们觉得重要、有兴趣或是明显的特性上，那么我们就可以得出一个综合性的结论。但是，样本必须是从想要做出判断的样本种类中随机抽取后进行判断的，而不是专门抽取了某个特定的子类。只有当相关特性在考察样本前就已确定，这时的归纳才是最正确的。这些都是归纳的关键要素，在将归纳有效性归因于自然的统一性原则时，这些因素并没有考虑进来。正如上一篇文章所说，用概率学说解释归纳不是形而上学的公式。综合推理的所有规则都可以有系统地进行推理，从数学上加以论证。但是，从自然统一性原则来解释，虽然在其他方面遵循了圆满，但是也暴露出其致命的缺陷，和之前一样无法对归纳法给出充分的解释。因此，对以下事实我并不感到奇怪：那些采用此理论的人在推理过程中使用了错误的规则，而密尔在其著作的第一版中所给出的大量例子——证明什么是归纳的示例，在后来的科学研究过程中被证明大错特错，最后不得不在再版的过程中一一替换掉。有人认为，密尔可能是在这种错误的情形下进行的归纳，尤其是他还公开说过这样的原则：如果一次归纳的结论最后被证明是错误的，那么这就不是一次好的归纳。然而，对于这个经他多次修改、目的是帮助人们的思维从已知走向未知的理论框架，不管是他还是他的任意一个学生，都丝毫没有怀疑过，即使最初的实验得出的结论不尽如人意。
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四
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如果我们得出了一个统计归纳结果——比方说，新生儿中有一半是男孩——那么，只要进行了充分的研究，我们就总是能够发现这样一个类，使得相关的谓词适用于该类中的每一个对象；比方说，我们可以问，“哪一类”新生儿是男孩。这一原则是一条定理的直接推论，即任何一组对象都有一个专属于该组的特性。该原则还有一个更常见的表述方式：事出必有因。
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然而，虽然每件事物都必有一个成因，而且这个原因一定可以被人发现，但是如果没有事物来指导发现；如果我们不得不毫无头绪，从茫茫世间的一切事物中间搜寻——举例来说，孩童的性别也是由行星的组态、对跖点或其他什么所决定的——那么，我们就绝对没有机会再有什么发现了。
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我们没有权利去假设自己发现了某件事情发生的确切原因，或是假设某个归纳绝对没有任何例外。相反，我们很容易就能从刚才提出的原理中得出一个推论，那就是每一个经验法则都有例外[43] 。但是，有一些归纳得出的共性如此明显，即使我们知道这些共性不是普遍真理，也不会认为它们仅仅是偶然得出的。在这方面，最引人注意的定律就是关于时间和空间的定律。关于空间，乔治·贝克莱主教斩钉截铁地首次提出，空间不是双眼所见的事物，而是由推论得出的。贝克莱坚称三维空间不可能直接被看到，因为眼睛的视网膜是平面的。但是，事实上，视网膜不是一个平面，而是神经椎体细胞的聚合体，这些椎体细胞直指光源，并且只有尖端有知觉。与它们所在的区域大小相比，这些尖端彼此的距离很大，它们带来的感知不是一个平面可以比拟的，最后的效果也不是所有知觉加在一起可以达到的。但是，在不同神经点的刺激物间存在一定的联系，这就是空间假说提出的前提，也就是推论的来源。这个空间假说一开始没有立刻为人们所理解，但现在已经被普遍接受。中间的认知过程就叫作推论的过程，属于批判性逻辑的领域。但是，我们难道就因此有资格得出结论说，每只鸡只要一孵化出来，就能解决那些最强大的数学公式也无法解决的复杂问题吗？当然，我们无法绝对地去否定鸡或是其他任何动物头脑中都先天带有认识空间概念的趋势。时间的概念也是一样。很明显，时间不是直接被感知到的，因为时间的流逝不是瞬间的事物，而我们能感知到的只有瞬间的事物。我们还应该承认，如果没有时间的概念，我们就不可能在没有特殊才能的前提下感知到变化流动。另外，力的概念——至少在初期——也是很早就得出来了，而且在低级动物身上也发现了，因此被认为是天生固有的。但是，概念到底多大程度是天生固有的，取决于那些概念是否是自己出现在脑海中的。一些概念，比如空间的概念，在智慧之初就无可抗拒地出现，几乎不用外界激发就占据脑海。另一些概念其实是被灌输进我们脑海中的，不是很强烈，但是可以被我们自己去大大加以扩展。把一切事物拟人化，在外物中加入人性，这种趋势可能会被认为是先天就有的，但是它很快就会因为事物的物性而被文明人克服。让我们来谈谈重力与距离的平方成反比这一概念。这是一个很简单的规则。说它简单只是说大脑格外容易理解这个概念。乘法和平方都不难理解——但这就足以让我们发现太阳系的运动规律了吗？
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因此，无可争辩的是，人类的头脑随着对世界的理解而增强；至少到目前为止，一些对这种理解高度重要的特定概念是自然而然在人类脑海中形成的；并且如果没有这些发展，人类的大脑永远不会有任何进步。
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我们怎么解释这种进步呢？时间、空间、力这些概念，即使对于智慧最低等的生物，也是无比实用且不可或缺的，这告诉我们，这些概念都是自然选择的结果。如果没有几何学、动力学和力学概念，就没有动物可以获得食物或者做任何能保证种群存活下来的事情。确实，它会拥有产生同样效果的知觉；也就是说，它所拥有的概念可能和时间、空间、力学的概念不同，但却是根据它自身的经历得出的和这些概念意义相符的具体案例。这些动物在为生存斗争的过程中有巨大的优势，因为在新的环境中（在发育过程中是一定会遇到的），不仅它们的力学概念没有被瓦解，而且它们会不断选择正确的观念。因此，它们会认识所有科学都遵循的基本法则，也就是作用力取决于时间、空间和质量之间的关系。一旦这个观念足够清楚了，那么发现这些关系的确切性质就不再需要天才的大脑了。这个假设本身是说得通的，但是我们必须承认，它不足以说明它是否能高度准确地应用到对自然现象的解释中去，而且这里可能还有许多秘密等待我们去发现。