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实用逻辑学中有一个最常见也是最严重的错误：发现两个东西在某些方面相似，就想当然地以为它们在其他方面同样相似。证明这种观念的谬误需要严格的论证，但是过程相当繁复（要用到各种字母、符号等），读者大概不会很感兴趣，所以这里就省略了。然而，有一个例子或可证明这一观点：比较神话学致力于在各种传说故事中寻找太阳活动与英雄经历之间的相似点；基于这些相似点，他们推测这些英雄是太阳人格化的产物。对于我来说，他们的论证过程非常不清晰。有一位非常有才华的逻辑学家，为了证明这种推测多么无用，专门写了一本小册子，并用同样的方式“证明”了拿破仑·波拿巴是太阳人格化的产物。他列举的无数个相似点读起来真是精彩绝伦。事实上，如果隐藏的相似点也算在内的话，任意两个事物之间都能找出相似的地方。但是为了让假设得出可靠的结果，我们必须要遵循以下规则。
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1.假设必须清楚地以疑问的形式提出，然后再进行观察和检验。换句话说，假设必须提出可以检验的预测。
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2.记录相似点时必须随机选取样本，而不能专门去检验假说中已知成立的预测。
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3.不管推测的结果是正确的还是错误的，都要记录下来。整个过程必须是不偏不倚的。
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有些人毫无根据地认为，正面或反面的偏误对发现真相是有利的——激烈的、有所偏袒的论辩是调查的唯一方法。这就是我们粗暴的法律程序所秉持的理论。但是，逻辑学并不认同这种说法。它无可辩驳地证明了只有真正渴望知识才能促进知识的发展，固执己见、滥用职权，以及所有试图得到意料之中的结论的方法，都是毫无意义的。这些都已经得到了证实。如果一种说法没有提出证据，或者读者没有自己做过验证，那么读者可以肯定它，也可以否定它，都没有关系。于是，只要读者愿意，他大可以对几何学发表任何看法。换句话说，如果他阅读欧氏几何只是为了好玩，自然不妨跳过那些烦琐的步骤。原因在于，如果他认真地去读这些晦涩的论证，他就会发现自己再也不能对几何学“自由”地发表自己所谓的见解了。
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有多少人可以扪心自问：“我真的不仅要知其然，更要知其所以然吗？”
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目前为止，归纳和假设的最基本原则都已经讲完了。还有许多其他准则是为了让综合推理的论证更加有力而设计的，这些准则同样极其重要，不应该被忽视。密尔的“实验四法”就是一例。不过，即便我们完全不了解这些附加的原则，归纳和假设仍然可能发挥奇效，有时也确实发挥了奇效。
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四
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不管在哪里，完美的分类法是不存在的。即使是在拥有巨大差异的解释性和扩充性推理中，也能找到处于两者边界上的例子，这些例子同时具有两类推理的某些特征。归纳和假设之间也是这样。总的来说，这种差异巨大而明确。通过归纳，我们得出结论，观察到的事实在没有检验过的案例中同样适用，这些事实与观察到的事实一样正确。通过假设，我们根据已知的法则，得出某些观察到的事实必然会导致另一些事实，而后一类事实与我们所观察到的任何事实都截然不同。前者是从特例到一般法则的推论，后者则是从结果到原因的推论。前者是归类，后者是解释。只有在一些特殊的案例中，我们才会一时间搞不清楚给定的推理属于哪种类别。一个这样的特例就是，我们不是在相似的情形下观察相似的事实，而是在不同的情形下观察不同的事实——然而，事实上的差别与情形上的差别存在着确定的关系。这种推理实际上是归纳，但它们有时非常明显地表现出与假设的相似之处。
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我们知道水遇热会膨胀，于是观察了不同温度下恒定质量水的体积。做了几次观察后，我们推导出一个代数公式来表示出体积和温度的关系。举例来说，如果v 代表相对体积，t 代表温度，关系公式是：
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v =1+at +bt2 +ct3
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通过随机代入其他温度来验证，这个公式得到了确认；我们得出了归纳结论，即我们抽取温度样本范围内的所有观测都适用此公式。只要确定了这个公式是可用的，那么得出a、b、c的数值就只是算术问题了，它就是最贴合当前观测的公式。物理学家称这种公式为“经验公式”，因为它是仅仅依靠归纳得出的，没有任何假设对其进行解释。
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这种公式虽然对概括观察结果非常有用，但是对于科学发现却没有太大的作用。它所体现出的归纳，即遇热膨胀（或其他任何相关现象）是以渐进的方式发生的，并非突然的飞跃或是大幅度的波动，这种归纳虽然非常重要，却不会引起关注，因为这是我们意料之中的事。但是，它的缺陷是非常严重的。首先，只要观察可能存在误差——所有观察都免不了误差——那么公式就与事实不是完全准确的对应关系。问题还不仅在于观察误差，公式本身也可能存在问题，因为公式就是从错误的观察中推导而来的。另外，即使公式没有出错，我们也不能认为真实情况就可以通过这样一个公式表达出来。它们可能还可以通过相似的其他公式表达出来，只不过这些公式拥有无穷多的项数。但是，既然这些公式要写下无穷多的系数，那么对我们还能有什么作用呢？当一个量随着另一个量改变时，如果已知相对应的数值，那么只需要数学上的创造力来找到表达它们关系的简单方法即可。如果某个量是某个种类——比如比重，另一个量是另一个种类——比如温度，那么两者关系的表达式就必然存在常数。原因是这样的，比方说，我们现在研究的是比重和温度，比重用纯水密度的倍数来表达，温度用摄氏度来表达，并且公式里面没有常数，那么只要单位换了，公式的系数就会发生改变。但是，我们希望得到的公式不应该随着单位的变化而变化。
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当我们发现这种公式时，它就不是经验公式了，而叫“自然规则”，并且迟早会据此得出一个假设来解释它。这些简单的公式并不总是完全正确的，但它们非常重要；如果假设不仅可以解释公式，还可以解释公式的误差时，它就取得了真正的胜利。在当代物理学中，这种重要的假设被称为“理论”，而“假设”这个词仅限于缺乏证据支持的提议。“假设”这个词一直被人们轻视，这是有原因的。我们以为可以从自己的头脑中自发地形成准确的自然规律，这只是幻想。正如培根勋爵所说：“大自然的精妙是感官和智慧远不能及的，因此这些优秀的冥想、思索、人类的推论都是一种荒唐的行为，将来也无人可以对此进行阐述。”成功的理论不是纯粹的猜想，而是推理引导下的结果。
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气体分子运动论就是一个很好的例子。这个理论是对若干简单公式的解释，其中最主要的一个就是波义耳定律。这个定律就是说，如果空气或其他任何气体被放置在一个活塞气缸中，测量它一定压强下的体积，比如是15磅每平方英寸，那么接着在活塞上再加上15磅每平方英寸的体积，气体就会压缩成它体积的一半。以此类推。这个实验得出的假设推理是，气体是非常小的固体颗粒，它们彼此相距甚远（与它们自身的大小相比），不断地高速运动，并且除非恰巧离得非常近，否则它们之间不存在很强的吸引力或排斥力。承认这一点之后，我们自然可以得出结论：气体在一定压强下之所以不会收缩体积，不是由于单个分子的不可压缩性，而是因为分子之间没有互相接触，也没有受到压力；气体压缩其实是因为活塞挤压了气体分子，活塞越向下压，气体体积越会收缩，气体分子靠得也就越近；在任意时刻，一定距离内的分子数量就越多，分子在受到影响而改变运动轨迹之前经过的距离就越短，给定时间内改变的运动轨迹就会越多，撞击活塞的分子数量也会越多。这就解释了波义耳定律。这个定律并不精确，但是假设推理并不能精确地引导我们得出这个定律。因为，首先，如果分子很大，那么由于分子间平均距离减少，它们彼此相撞的概率会更大，最终会使它们撞击活塞的频率更高，并且会对活塞产生更多压强。其次，如果分子间彼此有吸引力，它们会在合理的时间内保持对彼此的影响，最终就不会像它们没有吸引力那样经常撞击气缸壁，并且压缩产生的压力会更小。
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1738年，气体分子运动论由丹尼尔·伯努利首先提出，那时它仅仅是根据波义耳定律提出的，因此完全是一个假设。正因为如此，这个理论理所当然地被人们忽视了。但是现在，这个理论却已经在许多其他方面得到了印证；它不仅与观察到的众多不同种类的事实息息相关，还得到了热力学理论的支持。在没有产生或破坏物体运动的情况下，那些彼此吸引、会相互接近的物体，或是彼此排斥、会相互分离的物体，总是伴随着热量的变化。这种结论与纯粹的归纳相去不远。现在有实验表明，当气体在不做功的情况下膨胀，也会损失少量热量。这证明了气体颗粒之间有轻微的吸引力，但是吸引力非常小。接着我们就可以得出，当一种气体受到压力时，防止它体积压缩的不是颗粒之间的排斥力，因为它们之间根本没有排斥力。现在，我们只知道两种作用力：静力（即引力和斥力）和动力。因此，既然气体膨胀的作用力不来自静力，那就一定来自动力。这样看来，气体分子运动论是从热力学理论而来的演绎推理。然而，通过观察得知，它提出同样的力学定律（即只有两种作用力）适用于我们可以亲眼看见和检测的物体之间，也适用于与之完全不同的分子之间。这种推测只能通过归纳得到微弱的支持。我们之所以相信这种推测，主要是因为它与波义耳定律之间的联系，因此这个推测被认为是一个假设推理。但是，我们必须承认，如果不是与力学定律之间紧密的联系，气体分子运动论就不会受到那么大的重视。
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归纳和假设之间有极大的区别。前者推测现象的存在，在相似案例中观察现象；而假设提出的是与我们直接观察到的完全不同的事物，并且通常这种事物是我们完全无法直接观察到的。据此，当我们将归纳延伸到观察范围之外时，推理就有了一部分假设的性质。如果某个归纳只是稍微超出了观察的范围，就说它完全站不住脚，这当然是荒谬的。我们可以合理超出的范围有多大呢？这也没有一定的答案。我们只能说：超出的范围越大，得出的推论就越不可靠。但是，如果一个归纳超出经验太远，那我们也是无法再去相信它的；除非超出的部分可以解释我们已经观察到或可以观察到的某些事实。于是，我们就得到了一种归纳与假设相互支撑的推论，大多数物理学理论都属于此类。
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五
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按照之前的划分方法，综合推理包括归纳和假设[46] ，这是没有任何疑问的。这种分类的实用性和价值在应用中得到了验证。
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归纳显然是比假设更有力的一种推理；这是区分两者的第一个优点。假设有时被视作一种临时手段，在科学研究的过程中会为归纳所替代。但是，这种看法是错误的。假设推理经常可以推断出无法直接观察到的事实。“拿破仑·波拿巴存在过”就是一个假设。假设怎么可能会为归纳所取代呢？也许有人会说，从“如果拿破仑存在过，我们之前观察到的事实就会是这样”这一前提出发，我们可以得出“我们之后会观察到的事实也会是这样”。毫无疑问，每个假设推理都可以像这样在表面上被改造成归纳的形式。但是，归纳的本质是它可以从一套事实中推断出另一套相似的事实，而假设是从一种事实推断出另一种不同的事实。现在，从拿破仑时代的历史现实中，我们观念的事实基础不一定仅仅是通过拿破仑的存在得到解释。也可能是在他那个时代中，事件以某种我们现在无法想象的形式被记录了下来，比如其他邻近星球上的智慧生物给地球拍了照，那些照片中的一大部分不知何时就会被我们获得；或是当光到达某个遥远的恒星，恒星上的某面镜子就会照出这些事件，然后我们在地球上看到。不要去想这些假设多么不可能，因为一切发生的事件都有无限的可能性。我不是说这些事情很有可能发生。我的意思是，“拿破仑存在过”带来的某些影响现在看起来是不可能的，但是总有一天会被人提起。假设主张的是当这些事情的确发生的时候，它们就会证明，而不是证否某个人的存在。我们不可能通过归纳得出假设性结论，这就是我们区分这两种推理的第二点用处。
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这一区分的第三个优点是，就事实的理解方式而言，二者在心理上甚至生理上都有很大的差别。归纳推断出规则。规则观念是一种习惯。很明显，习惯又是活跃在我们身上的一种规则。每一种观念都是出于一种习惯性。在本文集的前几篇文章中也谈过这一点。因此，归纳是表达一种习惯形成的生理过程的逻辑公式。与此相对，假设则是用单一的概念来替代对某事物纷繁混乱的判断。在这里，思维活动表现出一种特质：每一个思维判断都是事物所固有的。在假设推理中，这种复杂的感觉被更强的单一感觉所替代，让思维生成一种假设性结论。现在，当我们的神经系统以一种复杂的形式兴奋起来时，就会最终形成一种单一的和谐干扰机制，我称之为“情感”。因此，当我们听到管弦乐队不同乐器发出的不同声音，就会获得一种特殊的、与音乐本身不同的音乐情感。这种情感大致等同于假设推理，每个假设推理中都会形成这种情感。因此我们可以说，假设产生思维的情感要素，而归纳产生的是习惯要素。演绎没有在前提中增加任何东西，而只是从中选取一个方面，然后引起人们的注意。这不妨被认为是“引起注意”这一活动的逻辑公式，是思维的意识要素，对应生理学上的神经放电过程。
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区分归纳和假设还有一个优点：借此可以将科学以及科研人员自然地加以分类。科学家们的技能是最能区分各类科学家的依据。我们不能期望整日与书本为伍的人和天天在实验室里工作的人有什么共同特点。但是，除了这种区分之外，最重要的区分就是推理模式。在自然科学中，首先有分类科学，这完全是归纳性的——系统植物学、动物学、矿物学、化学。然后有理论科学，如上文所述——天文学、纯粹物理学等。最后又有假设性的科学——地质学、生物学等。
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我们提到的这种区别还有许多其他的优点，这里我留给读者，希望读者可以通过实验发现它们。读者只要采取习惯的思考方法，考虑一下给出的推理是否与本书正文第125—126页给出的一种或两种综合推理形式相符，就一定能够总结出其他形式的优点。
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