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毕达哥拉斯可能发现了被我们称为“音程”的简单的数的关系。一根调和琴弦按其长度平分，可以获得八度音；同理，如果长度减为四分之三，则会发出四度音；如果减为三分之二，则发出五度音；四度音和五度音合在一起又可得到八度音，即4/3×3/2＝2/1。因此，这些音程与调和级数的比值2∶4/3∶1相一致。据说调和弦的三个音程可以与人的三种生活方式相类比。虽然这种比较是一种思辨，但调和弦肯定在希腊哲学思想中起了核心作用。平衡意义上的和谐概念、就像适当调高或调低音程一样进行对立的编配和组合、伦理学的中庸或中道观念、四种气质的学说，所有这些观点都可以在毕达哥拉斯的发现中找到源头。其中不少内容我们将在柏拉图的学说中看到。
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◎毕达哥拉斯
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◎整弦奏出主音，3/4弦奏出四度音，2/3弦奏出五度音，1/2弦奏出八度音。
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毕达哥拉斯“万物皆数”观点的产生，很可能与他在音乐中的发现有关。根据这一观点，如果我们想认识身边的世界，就必须找出事物中的数；一旦了解了数的结构，我们就能控制整个世界。这的确是一个非常重要的观点。虽然它的意义在古希腊人文主义时代之后遭到了暂时的埋没，但是在文艺复兴时期，人们开始重新对古代资料产生兴趣时，它就得到了更多的认同。这是近代科学观念的主要特征之一。我们可以从毕达哥拉斯那里首次发现，他对数学的兴趣最初并不是出于实践需要。埃及人掌握了数学知识，但只是用它来建造金字塔或丈量土地；希腊人则是“为了探索”而开始了对数学的研究。用希罗多德的话说，毕达哥拉斯是他们当中最重要的研究者。
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◎四行三角形数，毕达哥拉斯派信仰的象征。
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◎连续奇数之和产生正方形数。
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◎连续偶数之和产生长方形数。
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毕达哥拉斯发明了排列卵石或符点的计算方法。这种方法确实以各种形式存在了很长一段时间，拉丁文中的“计算”就有“摆弄石子”的意思。与此相关的是他对算术级数的研究。如果我们把卵石排成行，第一行放一个，下面的每行都比上一行多放一个，于是我们就得到了一个“三角形”数。它的特殊意义还在于1+2+3+4=10这种四行三角形数里面。与此相似，连续奇数之和可以得出一个“正方形”数；而连续偶数之和则可以出现一个“长方形”数。
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在几何学研究中，毕达哥拉斯发现了一个著名的定理，就是直角三角形弦的平方等于另外两边的平方之和，虽然我们不知道他是怎么证明这一点的，但在这里，我们再次找到了与“经验测算法”相反的普遍性方法的实例。但是，这个定理的发现却给学派出了一道极大的难题，因为它有一个推论是正方形对角线的平方等于边长平方的两倍，但却没有任何一个“正方形”数能够被分解为两个相等的正方形数；因此，这个问题无法用我们现在称为“有理数”的方法来解决。对角线是不可能用边来实际测量的，要解决这个问题，我们就要用到后期毕达哥拉斯学派所提出的“无理数”。显然，这个“无理”可以追溯到这桩早期数学丑闻中，传说当时有一个学派成员因为泄露了秘密而被沉入大海淹死。
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至于世界观，毕达哥拉斯则在米利都学派的基础上，加进了自己的数的理论。前面所说的用于排列计数的数字被称为“界石”，自然是因为它起源于对田地边界的测量或字面意义上的“几何”。拉丁文“界石”（Tern）在字面上有同样的意思。按照毕达哥拉斯的说法，无限的气将各种基本单元分隔开，而单元又为无限提供了量度，进一步说，无限相当于黑暗，而有限相当于火，显然，这种观念来自对天空和星辰的观察。毕达哥拉斯和米利都人一样，认为存在着许多世界，尽管从他的数学观来看，他不大可能认为有无限多的世界。他在阿那克西曼德的观点之上进一步提出，地球是一个球体，而摈弃了米利都人的漩涡理论。但是这还不够完善，后来的萨摩斯人又在这个基础上提出了太阳中心说。
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◎边长为1的等边直角三角形有一条无法用有理娄表示的弦。
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◎著名的毕达哥拉斯定理，但不知他有何证据。
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醉心于数学的毕达哥拉斯提出了我们以后将碰到的理念论或共相论。一个数学家在证明一个三角形命题时，它所涉及的并不是任何正在谈论的画在某个地方的图形，而是只有他心目中才有的东西。于是，可知事物与可感事物的区别就产生了。而且这个已确定的命题永远都是完全正确的。从这个观点到下述观点只有一步之遥：只有可知事物才是真实、完美和永恒的；而可感事物只是表象，是有缺陷和暂时的。这些都是毕达哥拉斯学说的直接推论，从此，这些观点一直支配着哲学和神学思想。
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我们还应该知道，毕达哥拉斯的信徒们的主神是阿波罗。尽管在他们的信仰中有俄耳浦斯因素，但是欧洲的理性主义正是靠了这种阿波罗倾向，才与东方的神秘主义区分开来。
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