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◎连续偶数之和产生长方形数。
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毕达哥拉斯发明了排列卵石或符点的计算方法。这种方法确实以各种形式存在了很长一段时间，拉丁文中的“计算”就有“摆弄石子”的意思。与此相关的是他对算术级数的研究。如果我们把卵石排成行，第一行放一个，下面的每行都比上一行多放一个，于是我们就得到了一个“三角形”数。它的特殊意义还在于1+2+3+4=10这种四行三角形数里面。与此相似，连续奇数之和可以得出一个“正方形”数；而连续偶数之和则可以出现一个“长方形”数。
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在几何学研究中，毕达哥拉斯发现了一个著名的定理，就是直角三角形弦的平方等于另外两边的平方之和，虽然我们不知道他是怎么证明这一点的，但在这里，我们再次找到了与“经验测算法”相反的普遍性方法的实例。但是，这个定理的发现却给学派出了一道极大的难题，因为它有一个推论是正方形对角线的平方等于边长平方的两倍，但却没有任何一个“正方形”数能够被分解为两个相等的正方形数；因此，这个问题无法用我们现在称为“有理数”的方法来解决。对角线是不可能用边来实际测量的，要解决这个问题，我们就要用到后期毕达哥拉斯学派所提出的“无理数”。显然，这个“无理”可以追溯到这桩早期数学丑闻中，传说当时有一个学派成员因为泄露了秘密而被沉入大海淹死。
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至于世界观，毕达哥拉斯则在米利都学派的基础上，加进了自己的数的理论。前面所说的用于排列计数的数字被称为“界石”，自然是因为它起源于对田地边界的测量或字面意义上的“几何”。拉丁文“界石”（Tern）在字面上有同样的意思。按照毕达哥拉斯的说法，无限的气将各种基本单元分隔开，而单元又为无限提供了量度，进一步说，无限相当于黑暗，而有限相当于火，显然，这种观念来自对天空和星辰的观察。毕达哥拉斯和米利都人一样，认为存在着许多世界，尽管从他的数学观来看，他不大可能认为有无限多的世界。他在阿那克西曼德的观点之上进一步提出，地球是一个球体，而摈弃了米利都人的漩涡理论。但是这还不够完善，后来的萨摩斯人又在这个基础上提出了太阳中心说。
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◎边长为1的等边直角三角形有一条无法用有理娄表示的弦。
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◎著名的毕达哥拉斯定理，但不知他有何证据。
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醉心于数学的毕达哥拉斯提出了我们以后将碰到的理念论或共相论。一个数学家在证明一个三角形命题时，它所涉及的并不是任何正在谈论的画在某个地方的图形，而是只有他心目中才有的东西。于是，可知事物与可感事物的区别就产生了。而且这个已确定的命题永远都是完全正确的。从这个观点到下述观点只有一步之遥：只有可知事物才是真实、完美和永恒的；而可感事物只是表象，是有缺陷和暂时的。这些都是毕达哥拉斯学说的直接推论，从此，这些观点一直支配着哲学和神学思想。
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我们还应该知道，毕达哥拉斯的信徒们的主神是阿波罗。尽管在他们的信仰中有俄耳浦斯因素，但是欧洲的理性主义正是靠了这种阿波罗倾向，才与东方的神秘主义区分开来。
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由于受到早期毕达哥拉斯学派的影响，原有的奥林匹亚宗教被一种新的宗教观念所取代。色诺芬尼对传统的诸神进行了猛烈的抨击，色诺芬尼可能生于公元前565年的伊奥尼亚。公元前540年，当波斯人侵入伊奥尼亚时，他逃到了西西里岛。他的主要目标是想彻底推翻奥林匹亚神庙中根据人的形象塑造的诸神。同样，他也反对俄耳浦斯复兴时的神秘主义，并且嘲笑毕达哥拉斯。
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这种哲学传统的下一个代表人物也是伊奥尼亚人，他就是爱菲斯的赫拉克利特。大约公元前6世纪末，赫拉克利特的事业达到了顶峰。我们对他的生平几乎一无所知，只知道他出生于一个贵族家庭。不过他一些遗作的残篇却留传了下来，我们从中不难看出，他为什么会被人看做是难以捉摸的人，他的一些观点常常以预言的形式表达出来，其残稿简洁、高雅，到处是生动的隐喻。说到永恒的生死轮回，赫拉克利特说“时间是一个下跳棋的孩子，而支配权就在他的手中（即时间支配着一切）”。当他以轻蔑的态度奚落迟钝的人时，会毫无顾忌说出刻薄的话：“傻子即使听到了别人的谈话也会像聋子一样无动于衷：即使他们在场，也跟不在场一样。”“如果人们的头脑不能理解别人的语言，那么眼睛和耳朵对于他们来说只是一种无用的摆设。”
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◎阿那克西曼德的“对立面”与毕达哥拉斯的“调和弦”导致了赫拉克利特的观点：和谐来自对立的紧张，如弓。
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为了提醒我们，要想取得有价值的成就，就需要付出很大的努力，赫拉克利特说：“寻觅金子的人即使挖了很多土也不会有很多收获。”由于这项工作过于艰难，有的人会半途而废，他挖苦他们就像“驴子（笨蛋）宁要草料，不要黄金”。此外，他还预示了后来苏格拉底在一句名言中表述过的思想，告诫我们不要对自己拥有的东西沾沾自喜，苏格拉底的名言是：“孩子在成人的眼里是幼稚的，而成人在上帝的眼里也是幼稚的。”
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对赫拉克利特的理论作更深的研究，有助于我们更明确地理解这些格言，尽管赫拉克利特缺少他的伊奥尼亚前辈们对科学的兴趣，但他的理论还是以伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯的思想为基础的。阿那克西曼德曾经说过，相互斗争的对立双方最终将归于无限，以调和彼此的侵犯。赫拉克利特从毕达哥拉斯的和谐概念出发，发展出一个新的理论，这也是他对哲学的卓越贡献，他的观点是，真实世界在平衡调节中包含了对立的倾向。根据不同的量度，在对立双方的冲突的背后，世界存在着一种潜在的和谐。
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通常，这种普遍性概念不是轻易显露出来的，因为“自然喜欢隐藏自己”。的确，他在某种意义上似乎坚持认为，和谐的东西肯定不是立刻能够引人注目的。“潜在的和谐优于公开的和谐”。实际上，人们往往会忽视和谐的存在，“人们不知道事物是怎样实现对立统一的。这是一种对立的、紧张的和谐，就像弓与七弦竖琴一样”。
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因此，冲突就是使得世界保持生机的原动力。“荷马说过，‘如果神灵和人之间再也没有冲突该多好啊！’但他错了。他没有看到他是在祈求宇宙的毁灭，要是他的祷告能够被听见的话，万物都将消亡。”我们应该从逻辑学的角度，而不是按照军事准则来理解他的“战争乃万物之父”的论断。这种观点是想要强调“火”这种重要而基本的物质。他在原则上，而不是在细节上继承了米利都学派的思想。
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他说：“万物皆可比作火，火亦能比作万物，犹如货物可以换黄金，黄金可以换货物一样。”这种商业性的比喻阐释了该理论的观点。一盏油灯的火苗看上去是固定不变的，但在整个过程中，油不断地被吸取，然后转换为火焰，油烟随着燃烧而落下，因此，世界上一切事物的发展都是这种转换的过程，没有什么东西能够保持原样。“人不能两次踏入同一条河流，因为在你面前流动的总是新的河水。”正是由于这种解释，后世的作家们才把“万物流变”的名言归于赫拉克利特。苏格拉底还给赫拉克利特及其信徒起了一个绰号，叫“流动者”。
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我们有必要把赫拉克利特的这一名言与其另一名言进行对比，后者是：“我们既踏入又没有踏入同一条河流，我们既存在又不存在。”表面上看，这句话似乎与他的前一句名言不大一致，但这只是同一理论的不同表达而已。线索就在于它的后半部分。“我们存在又不存在”这听上去有些令人费解，其实它的意思是，我们的存在既是稳定的，又时刻在变化着。用柏拉图后来创造的话来说就是，我们的存在是一种不断的形成。还是以河流为例，如果我今天踏入泰晤士河，明天再踏入一次，虽然我踏入的都是泰晤士河，但第二次的河水已经与第一次不同了，我想这种观点再清楚不过了。另一种说法也论述了这种观点，即“上坡路与下坡路是同一条路，没有什么区别”。我们都观察过火苗的情况：油被吸上灯芯，烟尘落在地上，两者都是燃烧过程的一部分。首先，我们必须从字面上来理解这种观点。一条坡路既向上，又向下，是上坡路还是下坡路，取决于你怎么走，赫拉克利特的对立理论提醒我们，那些表面上看来有冲突的因素，实际上却代表了事物的本质部分。关于这一点，最鲜明的一个表述就是“善恶一体”。这当然不是说善恶是一回事；相反，就像一个人不可能设想一条没有下坡的上坡路一样，我们也不可能在不理解恶的情况下去理解善的概念。如果你将坡铲平，在消除了上坡路的同时，你也就消除了下坡路；对人来说，善恶也是如此。
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看来，“万物流变”的理论其实不是什么新思想。阿那克西曼德就曾经提出过十分类似的观点。但是，赫拉克利特对事物为什么会保持同一的解释却领先了米利都学派一步。量度的主要概念源自毕达哥拉斯。尽管事物在不断地变化，但由于保持了适当的量度，因此仍能维持原样，这一点无论是对于人还是对于世界都是正确的。
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