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◎两个基本的三角形：柏拉图认为元素由其构成，这是一个几何学里的核心理论。
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我们刚才对“不存在”所作的概括性解释，使我们从此能够处理“变化论”。它也使赫拉克利特的理论变得更为清晰，并去掉了它表面的悖论色彩。柏拉图还提出了“变化论”，这和我们今天所了解的原子论及数学物理直接相关。这一理论是在《泰缪斯篇》中提出来的，该篇是柏拉图思想成熟期和最后阶段的一篇对话录，其中对宇宙进化论的解释将使我们离题太远，我们需要注意的是，其中有大量毕达哥拉斯学说的成分，还有正确解释行星运动的种种提示。没错，太阳中心说可能就是阿卡德米的发现。这篇对话录还谈到了许多别的科学问题，但我们不得不把它们放在一边。
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◎四元素：四面体火、六面体土、八面体气、二十面体水。
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我们现在就转到柏拉图的“几何或数学原子论”上去。按照这个观点，我们必须将形式、基本物质和感性世界的有形实在区分开来。这里的基本物质仅仅是指虚空，可感知的实在是种种形式与空间混合的结果，这些形式在空间里留下了痕迹。柏拉图在这个基础上，为我们提供了用四种元素来解释物质世界的方法，这个世界既是物理的，又是生物的，但这些元素现在被依次认为是由两种基本三角形构成的几何体，其中包括半个等边三角形和一个直角等腰三角形，也就是半个正方形。我们可以用这些三角形构成五种正立体之中的四种。四面体、立方体、八面体和二十面体分别代表火、土、气、水的基本粒子。通过把这些立体拆分成构成它们的三角形，再将其重新编排，就可以实现元素间的变换。另外，火的粒子具有锐利的尖头，可以刺穿别的立体；而水是由平滑的粒子构成的，所以水会流动。事实上，这里所说的变换理论就是近代物理理论的一个了不起的前辈。和德谟克利特的唯物主义原子论相比，柏拉图确实领先了一大步。这些基本三角形显然就相当于近代物理学中的核或基本粒子，它们是基本粒子的组成部分。我们还会看到，这些粒子并没有被称为原子，对古希腊人来说，这是一个明显的错误。原子的字面意思是指一种不可分割的东西，因此，严格地说，由其他成分构成的东西是不应该叫做原子的。
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柏拉图在这方面正是近代主要科学传统的先行者。一切事物都可以归于几何，这是笛卡尔明确提出的观点，爱因斯坦也以另一种方式说明了这一点。当然，柏拉图拘泥于四种元素，从某种意义上说，这的确是他的一种局限性。他之所以选择四种元素，是因为这个观点在当时非常盛行。柏拉图所作的努力就是要“顾全现象”，而对这个观点给出“逻各斯”或解释，他提出的假说是数学式的。我们知道，从数的观点看，世界最终是可以解释清楚的，这也是柏拉图接受的部分毕达哥拉斯学说。因此，我们得到了一个可以进行物理解释的数学模式。就方法来说，这也正是今天的数理物理学的目标。
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这个理论应该和正立体理论有一种特殊的联系，也许这就是毕达哥拉斯学派神秘主义的一个特征。的确，在这个方案中，我们没有找到十二面体。在五种立体中，只有这一种的各个面不是由两种基本三角形，而是由等边五角形构成的。我们回顾一下就知道，五角形正是毕达哥拉斯学派的神秘符号之一，它的构造要涉及无理数，我们在讨论后期毕达哥拉斯学派时曾提到过无理数，而且，十二面体看上去要比其他四个立体都要圆一些，因此柏拉图就用它来代表世界。这种思维并不影响这个数学模式的合理性。
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由于时间关系，我们无法在这里完全展开柏拉图的数学理论。但不管怎样，我们必须靠对话录中的部分提示和亚里士多德的某些讲述，才能把这一理论完整地拼接出来。但是，注意以下两件事是很重要的：
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首先是柏拉图（就算不是他，也是阿卡德米学院）修正了毕达哥拉斯学派有关数的理论，使它免遭爱利亚学派的批判。在这里，他还预示了一个十分现代的观点。数的序列被认为是从“零”而不是从“单元”开始，这就为发展一般的无理数理论提供了可能性。如果有谁“卖弄”学问，现在就不应该再像当初那样说他无理了，同样，在几何学中，线被认为是由一个点的运动产生的，这个观点在牛顿的流数理论中充当了主角，流数理论就是后来被称为微分的原形之一。我们可以清楚地看到，根据辩证法精神，这些发展促进了算术与几何学的统一。
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◎亚里士多德
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第二件重要的事就是据亚里士多德说，柏拉图曾经说过数不能相加，这个声明实际上包含着一种极具现代色彩的数字观的萌芽，和毕达哥拉斯学派一样，柏拉图也把数视为形式，而形式显然是不可以相加的，当我们作加法时，只是把某一类东西放在一起。比如卵石。但是数学家们所说的这类东西却既不同于卵石，也不同于形式，而似乎是介于两者之间，数学家们相加的东西并没有被确定属于哪一类，它可以属于任何一类，只要在相关的方面，所有相加的东西都属于同一类。根据弗雷格、怀特和我给数下的定义来看，这一点就变得十分明晰了。例如，数“3”代表一切种类的三重物；一个三重物则代表了给定类别的这一类事物。同样，其他任何基数无不如此。数“2”代表所有二重物，一个二重物则是某一类事物。你可以把属于同一类的一个三重物和一个二重物相加，但不可以把数“3”和数“2”加在一起。
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至此，我们仅仅是对柏拉图的某些重要理论作了一番简要的概括。就思想的广度和深度而言，很少别的哲学家能与柏拉图相比（即便有，也十分罕见），而超过他的人，则一个也没有。任何打算从事哲学研究的人如果忽视了他，都是不明智的。
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亚里士多德是居住在雅典，并在那里讲学的三位伟大思想家中的最后一位，他也许是最早的职业哲学家，在他生活的年代，古典时期的巅峰已经过去，雅典在政治上正变得日渐衰落，马其顿的亚历山大（年轻时曾是亚里士多德的学生）为希腊化世界的繁荣打下了帝国基础，不过这是以后的事。
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亚里士多德与苏格拉底、柏拉图不同，他是寄居在雅典的外地人。他大约在公元前384年降生于色雷斯的斯塔基拉，他的父亲是马其顿国王的御医。18岁那年，亚里士多德就被送到了雅典的阿卡德米学院，师从柏拉图。在将近二十年的时间里，他始终是阿卡德米的一员，直到公元前348年至公元前347年柏拉图辞世，他才离开那里。由于阿卡德米的新任院长斯波西普斯具有强烈的柏拉图式数学倾向，而这种倾向正是亚里士多德懂得最少和最不喜欢的，因此他离开了雅典。
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我们发现，在接下来的12年里，他在很多地方工作过，小亚细亚海岸的密西亚统治者赫米阿斯曾是亚里士多德的老同学，亚里士多德后来应他的邀请加入了当地的一个阿卡德米同学会，并娶了东道主的侄女为妻。三年后，他去了累斯博斯岛的米提利尼。
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前面说过，亚里士多德的动物分类工作是他在阿卡德米期间进行的。他在爱琴海居住的日子里，肯定也做过海洋生物学的研究，他在该领域所做的贡献，直到19世纪才有人超越。公元前343年，他被召到马其顿国王菲力浦二世的宫庭里，担任王子亚历山大的导师。亚里士多德任该职达三年之久，但我们却找不到这个时期可信的原始资料，这也许是一件憾事。人们不禁会感到疑惑，这位智慧的哲学家用什么方法管住了桀骜不驯的王子。但我们似乎仍然可以肯定地说，两个人看法完全一致的情况并不多。亚里士多德政治观念的基础是几乎快要消亡的希腊城邦，而亚历山大大帝统治下的中央集权帝国，在他看来（实际上是在所有的希腊人看来）就是一种野蛮人的发明。就像在一般的文化问题上一样，希腊人对自己的城邦制度的优越性表现出相当的敬意，但时代在改变，城邦在一天天衰落，一个希腊化的大帝国呼之欲出。关于亚历山大崇尚雅典文化的说法是完全真实的，但那时候所有人都是这样，并不是因为亚里士多德的缘故。
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◎吕克俄斯的小树林，亚里士多德学校的所在地。
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从公元前340年到菲力浦去世（公元前335年），亚里士多德一直在故乡生活。然后，从公元前335年到公元前323年亚历山大去世，他始终在雅典工作。在这个时期，他创办了自己的学校——吕克昂学园，这个名称源自阿波罗神庙附近的吕克俄斯（杀狼者）。亚里士多德在这里为各个班级授课，授课的方式就是在讲堂和庭园中漫步，边走边讲。由于这一习惯，吕克昂的教学就逐渐获得了逍遥哲学或漫步哲学的名声。有意思的是，英语单词“论述”（discourse）的原意就是“来回走”。它的拉丁文前身直到中世纪才开始具有现在的“推理论证”这一含义，因此，它的最初含义可能与逍遥哲学有关，尽管这一点还没有完全的定论。亚历山大去世后，雅典人开始起义，反抗马其顿的统治。亚里士多德自然也被人另眼相看，人们怀疑他是马其顿的支持者，并以亵神的罪名指控他。苏格拉底的案子已经说明，这种法律实践有时候会导致不愉快的结局。亚里士多德可不是苏格拉底，他决定躲避“爱国者们”的魔爪，以免被雅典人再添上一个反哲学的罪名。他让狄奥弗拉斯图来管理吕克昂学园，自己则退居到了加尔西斯，直到公元前322年离开这个世界。
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亚里士多德留存至今的绝大部分著作都属于第二雅典时期。这些作品并非全都是真正的书。似乎争议最少的是，亚里士多德全集中有的部分是根据授课笔记写成的，因此亚里士多德看来就是这些教材的第一作者。而有些作品则简直像学生们的记录。正是由于这个原因，亚里士多德的著作在文风上显得枯燥平淡，尽管据说他也曾仿效柏拉图写过一些对话录。亚里士多德的对话录没有一篇得以留传下来，但从他别的作品来看，他在文学上的地位显然无法与柏拉图相比。柏拉图写出了令人激动的杰作，而亚里士多德却制造出干巴乏味的教科书；柏拉图文采飞扬，写下了散文一样优美的对话录，而亚里士多德写的却是系统的论文。
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要了解亚里士多德，必须知道他是第一个批判柏拉图的人。但我们并不能说亚里士多德的批判都是有理有据的。当他陈述柏拉图学说时，我们有理由信任他；但当他继续解释其意义时，就不那么可信了，当然，我们可以设想亚里士多德熟知当时的数学，他是阿卡德米成员之一的事实似乎就可以证明这一点。但同样明显的是，他并不赞同柏拉图的数学哲学，实际上，他也从来没有真正弄懂过它。当他评论前苏格拉底学派时，我们也必须同样持保留态度，可以信赖他所作的间接陈述，但绝不能完全相信他所有的解释。
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