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从皮亚诺时代开始，人们就对数学的基础问题有了新的兴趣。在这个领域有两个对立的学派。一方面是形式主义者，他们主要考虑一致性；另一方面是直觉主义者，他们采纳了有点类似于实证主义的路线，要求你对自己碰巧谈到的东西提出解释或证明。
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这些数学发展有一个共同的特征，那就是逻辑学家对它们感兴趣。在这里，逻辑学和数学似乎开始接触和交融。康德曾经认为逻辑学是完善的，从他的时代起，逻辑学理论的研究已经发生了巨大的变化，尤其是产生了用数学公式来处理逻辑论证的新形式。最早对此做出系统说明的人是弗雷格（1848～1925），然而，人们竟然在长达二十年的时间里对他的著作毫不知晓，直到1903年，我使人们注意到了他的著作。长期以来，弗雷格在自己的国家里只是一名默默无闻的数学教授，只是近年来，他作为哲学家的重要性才得到人们的承认。
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弗雷格的数学逻辑观产生于1879年。1884年，他出版了《算术基础》一书，书中运用数学公式彻底论述了皮亚诺的问题。皮亚诺的公设虽然省事，但从逻辑上看，却不那么令人满意，因为它提出数学科学的基础应该是这些公设，而不是别的一些陈述，这看上去似乎有些武断。皮亚诺本人从未考虑过这些问题。
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弗雷格给自己定的任务，就是用最普遍的形式来解决这个问题。他所做的，就是把皮亚诺的公设作为自己符号体系的一个逻辑结论展现出来，这样立即就去除了武断的弊病，而且证明了纯粹数学只是逻辑学的一种延伸。给数本身推导出某种逻辑定义，是很有必要的。把数学变成逻辑学观点，皮亚诺的公设很明显地体现了这一点。因为这些公设把数学的基本词汇限定为两个术语：“数”和“后继者”，后者就是一个普遍性的逻辑术语。为了把词汇完全转换成逻辑术语，我们只需对前者做出某种逻辑性解释就行了。这也正是弗雷格所做的，他通过纯粹的逻辑概念给“数”下了定义。
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怀特海和我本人在《数学原理》中所作的定义，与弗雷格的定义有着很多共同之处。书中指出，一个数就是所有的类（近似于某个特定类）组成的类。因此每个由三种东西组成的类都是数3的一个例子，而数3本身就是所有这些类组成的类。至于通常意义上的数，则是所有特殊数的类，因此最终是一个第三阶的类。从这个定义中可能产生一个出人意料的特征，即数不能相加。虽然你能够把三个苹果和两个梨相加，得到五个水果，但你却不可能把所有三元的类和所有二元的类相加。但正如我们所知，这实际上根本不是什么新发现，柏拉图早就说过数是不能相加的。
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◎《数学原理》的作者之一：伯特兰·罗素。
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弗雷格通过对数学的论述，系统地阐释了一个命题的含义和所指之间的区别。要想证明“等式并不只是空洞的重复”这一事实，就需要这种区分。等式两边虽然具有共同的所指，但含义是不一样的。作为一种符号逻辑学体系，弗雷格的解释并没有为他赢得很大的声誉，部分原因无疑是由于它的符号过于复杂费解。而《数学原理》则使用了近似于皮亚诺式的符号，而且已经证明它们更具适应性。从此以后，数学逻辑领域开始应用大量的符号。著名的波兰逻辑学派设立的符号是其中最精致的符号之一，并在上一次战争中得以传播开来。
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同样，在约简符号及体系的基本公理数目方面也取得了很大进展。美国逻辑学家希弗尔设立了一个单一的逻辑常量，可以利用它来依次定义命题演算的常量。借助这种新的逻辑常量，就有可能把符号逻辑体系建立在单一的公理基础之上。不过这都是高度专业化的问题，在这里无法进行详细解释。
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从纯粹形式意义上说，数学逻辑不再是哲学家关注的对象，它是留给数学家处理的问题。的确，它也是一种非常特殊的数学。哲学家感兴趣的是普遍性“符号”假设所产生的问题，这些假设在体系进行之前就被提出来了。
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同样，符号体系的建立过程中有时得出的矛盾结论，也引起了哲学家的兴趣。《数学原理》在论述数的定义时，就得出了这样的一个悖论。产生这一悖论的原因就是“所有类组成的类”这一概念。因为，显然“所有类组成的类”本身也是一个类，因此属于所有类组成的类。这样一来，它就把自己当成了自己的成员。当然，还有许多别的类并没有这种性质。由全体选民组成的类本身不具有普选资格。当我们考虑并非自身成员的“所有类组成的类”时，悖论也就出现了。
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问题在于这个类是不是它自身的一个成员。如果假定它是，那么它就不能成为包含自身的类的例子。但是，为了成为自身的一个成员，它又必须是我们首先考虑的那种类型，即不是自身的一个成员。相反，要是我们假定所讨论的类不是自身的一个成员，那么它就不是一个不包含本身的类的例子。然而，为了不成为自身的成员，它又必须像一开始提出的问题那样，是本身的一个成员。无论在哪种情况下，我们都将得出一个自相矛盾的结论。
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要摆脱这种困境是可能的，如果我们能注意到，绝不可站在完全相同的立足点上论述“类”和“类的类”，就像通常情况下，不在同一层次上论及一个人和一些国家一样。因此，我们显然没有必要像提出悖论那样，在谈到属于自身成员的“类”时纠缠不清地兜圈子。虽然已经有很多方法来应付有关悖论的难题，但在如何解决方面，却依旧没有达成普遍的共识。不过与此同时，这个问题已经使哲学家们再次意识到了审查建立命题及用词方式的必要性。
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西方的智慧 第十一章 当代
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我们在讨论过去七八十年的哲学时，面临着一些特殊的困难。由于我们与这一时期过于接近，以至于很难用一种恰当的距离和超然的态度来看待它。过去时代的思想家们经受住了后人批判性的考察，随着岁月的流逝，自然淘汰的作用越来越明显，这也有助于人们做出选择。一个很一般的哲学家长期获得某种程度的声誉，这种可能性是非常小的，尽管的确发生过重要人物被不公正地忽略的事情。
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更大的困难则是对最近的思想家们做出选择。对于历史人物，我们有可能全面了解整个发展过程的各个阶段；而当代的人物由于离我们太近，使我们很难以同样的信心去辨识真相的各个部分。的确，实际情况只能如此。在事后才变得更明智，并且逐渐理解哲学传统的发展，要相对容易一些。但是，如果以为能从当代变革的所有细节中总结出它们的意义来，这只能是一种黑格尔式的幻觉。人们最多有可能看到某些与更早时期事件相关的普遍趋势。
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19世纪后期的一些影响了我们这个时代知识界风气的新发展，可以作为那一时期的标志。首先，工业化之前的陈旧生活方式崩溃了，技术力量的巨大发展使得生活比以前更为复杂起来，至于是好是坏，则不是这里要讨论的问题。我们只是注意到了下述事实：和过去任何时候相比，我们对时代的要求变得更为多样化，对日常生活的要求也更为复杂化了。
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这些变化也同样出现在知识领域。以前，个人曾经有可能掌握几门学科，而今天，即使只想彻底掌握一门，也变得越来越困难了。知识探索的范围被分割得空前的狭窄，这的确已经在我们这个时代引起了语言上的混乱，这种不健康的现象是某些变革产生的恶果，而这些变革则是现代工业社会的发展强行带来的。在不算遥远的过去，不仅在某个国家，而且在整个西欧的大部分地区，都有着一种共同的背景，这种背景为所有具有一定文化程度的人所分享，这当然不是普遍的或平均主义的粉饰。过去的教育往往是一种特权，一种后来被废除的垄断；而今天，能否为社会所认同，惟一的标准就是能力，这是另一种特权。我们丧失了共同的理解基础，年轻人被专门化的需求和压力引入了狭窄的隧道，以至于没有时间去发展广泛的兴趣。其恶果就是，致力于不同探索分支的人们彼此交流起来往往感到极为困难。
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19世纪还导致了另一种更为切实的语言混乱。在这个世纪，从远古时代起就为所有国家的学者所通用的语言衰落了，并最终走向了消亡。从西塞罗时代到文艺复兴，拉丁文曾是学者、思想家和科学家的语言。高斯在19世纪初期曾用拉丁文写下有关曲面的名著，但这种情况已经有些罕见了。今天，任何领域的探索者如果想深入自己的专业工作，都不得不掌握两三门其他语言，这已经成了一个重要的问题。到今天，尽管某种现代语言看起来最终将发挥拉丁文曾经起到过的作用，但还是没有找到解决这一难题的办法。
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◎科学的严密性：居里夫人和丈夫在实验室。
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艺术与科学的分离，是19世纪的另一个新特征，这种退步违背了文艺复兴时期人文主义者的思想倾向。这些早期的思想家们按照一种和谐比例的原则来追求科学与艺术，而浪漫主义影响下的19世纪却强烈地抵制科学进步，仿佛它会对人造成腐蚀。科学的生活方式以及实验室与科学实验，仿佛禁锢了艺术家必不可少的自由和冒险精神。“实验方法揭示不了自然的奥秘”，这个奇怪的观点，毫无疑问是歌德以其浪漫主义腔调说出来的。不管怎样，实验室与艺术家工作室之间的这种对比，正好反映出了前面所说的分离。
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