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[2]卡利波斯（Kallippos），公元前四世纪下半叶人，据说曾在亚里士多德帮助下修正了优多克索斯的理论。
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[3]荷马：《伊利亚特》，Ⅱ，204。
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亚里士多德全集（典藏本） 第十三卷
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【1】在有关物理学的著作中论及质料问题时，已经讨论过可感实体是什么，后来又讨论了现实上的实体。问题既然是，与可感实体相并行是否存在不被运动的永恒实体，如若它存在，它到底是什么，那么首先就要对其他人的意见加以考察。若他们说得不对，我们就不会犯同样的错误，若他们的意见有的和我们相同，我们自己就不必多费周折。如若我们有些说得更好些，有些至少不坏，也就应该满足了。
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关于这些问题有两种意见，有些人说数学对象、数目、直线以及诸如此类的东西是实体，另一些则认为理念是实体。同时有的把数目和理念当作两个不同种类的东西，另一些人则认为两者本性是一个。另外还有些人说只有数学对象才是实体，所以应该首先研究数学对象，而对它们不增添任何本性，例如去讨论它们到底是否是理念，到底是不是存在物的本原和实体。只是探讨那些数学对象，到底存在还是不存在，如若存在，怎样地存在；在此之后按照惯例还要分别地探讨理念问题，这在公开的著作中已说过多次了。我们的讨论大部分针对着方才所提出的问题。也就是要讨论存在着的东西的实体和本原是否为数目和理念，因为在讨论了理念之后，这是所遗留的第三个问题。
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如若数学对象存在，那么，它们就要像某些人所说，或者存在于可感事物中，或者与可感事物相分离（如像某些人所说的那样）。如若这两者都不是，那么，它们就或者不存在，或者以另外的方式存在。所以我们所争论的就不是它们的存在，而是它们存在的方式。
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【2】在以上的辩难之中，已经指出数学对象不能存在于可感事物中，同时这番道理也是虚构的，因为两个固体不能在同一地方并存，而且按照这个理论，其他的潜能和本性都存在于可感事物，但都不可分离存在，这在前面已经说过了。除此之外，它还表明，任何物体显然都是不可分割的。因为物体可以分割成面，面可以分成线，线可以分成点，如点不可分，那么线也不可分，如果这样，其他东西也同样不可分割。不论这些东西的本性如此，还是它们自身并不如此，而是居于这样的本性之中，那有什么区别呢？所得的结论反正都是一样的，如若可感事物可分，它们也可分，或者是可感事物根本不能被分割。
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而这类的本性是不能分离的。如若存在着一种与可感物体不同并先于它们的物体，在可感物体之外，并与它们相分离，按照这同一道理，那么显然，在平面之外必然存在着另一个平面，并与之相分离，点和线也是如此。如若事情是这样，那么在数学立体的平面、点和线之外，也要有另外的与之相分离的东西。同时非组合物先于组合物，如若那些先于可感物体的物体是不可感知的，按照同一道理，就其自身而言存在的平面就会先于不运动的立体中的平面。所以在那些与相分离的立体同时并存的面和线之外还存在着其他的面和线。前者与数学立体同时并存，后者则先于数学的立体。那么再进一步，在这些平面之中，也还要有线，在它们之先还应该有其他的线，按照同一道理，先于在先的线中的点还有其他的点，虽然先于它们并没有其他的点。这样引申当然是荒唐的，因为这会得出结论，在可感觉的立体之外，只有一种立体，在可感觉的平面之外却有三种平面（一种是可感觉平面之外的，一种是在数学立体之中的，一种是在数学立体中的平面之外的），有四种线，五种点。而数学研究的到底是它们中的哪种呢？它所研究的当然不是在不运动的立体的面、线和点，因为科学所研究的总是先在的东西。这同一道理也适用于数目，在每一类点之外将有其他的单位，而且在每一类的存在物之外，不论它们是可感觉的，还是可被思想的，这样数学数的种类将是无限的了。
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此外，我们归于难题的这些问题怎样得到解决呢？就以天文学对象而论，它们也会在可感事物之外，几何学的对象也是如此，那么，天及其部分，或者其他具有运动的东西，如何可能离开可感觉的天而存在呢？光学对象与和声学对象也是如此，因为光和声音都是在可感事物和个别对象之外的。那么，其他的感觉和其他的可感对象也显然是相互外在的，这些东西又比那些东西有什么不同呢？如若事情是这样，那么动物也将像感觉那样是分离存在的。
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此外，在这些实体之外还有些数学的普遍定理，同时也还有这样其他的实体，它居于理念和居间者之间，并与它们相分离，它既不是数目，也不是点，也不是大小和时间。如若这是不可能的，那么显然，那些东西也不能与可感事物相分离而存在。
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总而言之，如若把数学对象置于某种分离存在的本性的地位，所得的结论就要与真理和公认的观点相反。因为若是这样，它们必然先于可感的大小而存在，实际则是后于。不完全的大小，只是从生成的角度看来，是在先的，在实体上则在后，正如无生物对生物那样。
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此外，那些数学的大小，凭什么是一呢？在此岸世界中，事物因灵魂或灵魂的部分为一，或其他充足的理由，如若没有灵魂，事物就要分解成为众多。而那些东西既然是有数量的、可分的，什么原因使它们成为一，相互结合呢？
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此外，数学对象的生成也表明了这一点。首先生成的是长度，其次生成的是宽度，最后以生成高度而完成。如若生成上是在后的，实体上是在先的，那么物体就要先于面和线，由此它就更圆满更完整，因为它能成为有生命的东西。线和面怎样成为有生命的呢？这样的论断是超乎我们的感觉的。
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此外，物体是一种实体，它确实具有某种完满性。而线怎样是实体呢？它既不像灵魂可能的那样，作为形式或形状，也不像物体那样，作为质料。从来没有看到过任何东西能够由线、面和点构成。如若它们能够是某种具有质料的实体，显然就会有能由它们构成的事物。
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假定这些东西原理上在先，但并不是所有原理上在先的东西都是实体上也在先。那些在实体上在先并且分离着的东西优先存在。在原理上在先的东西，其他事物的原理由这些原理构成，这两种性质并不同时相从属。如若属性，如运动和白色不在实体之外，那么白色只是在原理上先于白色的人，而不是在实体上，因为它不可能分离存在，而永远与组合物同时存在，我所谓的组合物就是白色的人。所以，那由抽象而来的东西显然并不在先，由增添而来的东西也不在后，因为我们就是增加了白色来说白色的人的。
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已经充分说明了，数学对象并不比物体更是实体，也不在存在上先于可感事物，而只是原理上在先，也不能在某处分离存在。既然这些东西不可能存在于可感事物之中，那就很显然，或者是完全不存在，或者只是以某种方式存在，而不是一般而言的存在，因为我们说，存在有多重含义。
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【3】既然数学中的普遍定义并不涉及在大小之外的分离的东西，它们研究数目和大小，但不是作为具有大小和可分的东西的事物，所以，原理和证明是可能涉及可感对象的，但不是作为可感对象而是作为某种性质。正如有很多原理，所涉及的只是作为运动的东西，而不理会它们中每一个是什么或有一些什么偶性。但从这里并不必然得出结论，存在着与可感事物相分离的某种运动的东西，或者在它们之中有某种特殊的本性，与此相同对运动的东西也有原理和科学，但不是作为运动的东西，而是作为物体。或者是仅仅作为面、作为线、作为可分的，或者不可分但具有位置的东西，或仅仅是不可分的。
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所以，不论对可分离的东西，还是不可分离的东西，一般地加以说明都是真实的。例如，运动的东西存在，但一般地说数学对象存在也是真实的，人们就是这样来说这些东西。正如其他的科学一般地说这一东西存在是真实的，但不管其偶性的存在（例如说一个白色的健康的东西是白、科学的主题是健康而不是白），而是只涉及每种科学的主题。如若作为健康就以健康而论，如若作为人，就以人而论。几何学也是这样。尽管其对象在偶性上是可感觉的，但是并不把它们作为可感觉的东西，那么，这样的数学也不是研究可感事物的科学，当然也不是在此之外分离存在的东西的科学。
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有很多属性就其自身作为特别的属性依存于事物，例如动物作为雌和作为雄是特有的属性，没有什么雌和雄是离开动物而存在的。同样有的属性也只是作为线或作为面。那在原理上更为先在、更为单纯的，也具有更大的精确性，因为单纯性就是精确性。所以，没有大小的比有大小的更精确，而没有运动的最为精确。如果运动，那就是最初运动最精确。因为它最单纯，在原初运动中就是和谐运动最单纯。同样的道理也适用于和声和光，没有一种科学是考察作为和声或作为光的对象的，而是作为线和数目，它们是光和和声所特有的属性，机械学也是这样。
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如若把事物当作是与偶性相分离的，而把它们作为分离的东西加以研究，并不会因此而犯错误。正如他在地上画了一尺长的线，却说是一尺长那样，因为错误并不在前提之中。最好的办法是在个别的考察中把不分离的东西当作是分离的，正如算术家和几何学家们所做的那样。人作为人是单一不可分的，算术家设定了人的单一不可分，然后考察人是否有作为不可分的属性。几何学家则既不把人作为人，也不把人作为不可分的，而是作为立体。因为有一些属性即或人不是不可分的也可以依存于他，所以，显然即使他既不是人，也是不可分的，立体也可以依存于他。几何学家们研究那些真实存在着的东西，他们的话是正确的，这些东西的确存在。存在有两种方式，或者以现实的方式，或者以质料的方式。
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既然善和美是不同的，善永远居于实践之中，美则是在不运动的东西中，那些说数学科学并不涉及善和美的人就是错误的。这些科学谈论并指出了很多，虽然并不直接说出它们的名字，而是指出了它们的结果和原理，不能说没有涉及它们自身。美的最高形式是秩序、对称和确定性，数学正是最明白地揭示它们。由于它们（我说的是秩序和确定性）是许多东西的原因，所以，很显然，数学在谈论这些东西时，也就是以某种方式谈论美的原因。在其他地方我们还要更明白地谈到这些事情。
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【4】关于数学对象，我们已经说明了它们是存在的东西和它们怎样存在，以及怎样是在先的，怎样不是在先的。关于理念首先应考察对理念自身的意见，而不涉及它和数目本性的关系。正如最初说理念存在的人们一开始所认为的那样。
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人们之所以提出了关于理念的意见，由于他们相信赫拉克利特的道理是真实的。一切可感事物都在不断地流变着，如若某种知识和思想果然存在，那在可感事物之外，就应该存在着某种不变的本性。因为，不会有不断流变着的东西的知识。苏格拉底投身于研究伦理上的善时，首先寻求对它们作出普遍定义（在自然哲学家中，德谟克里特接触到的东西甚少，他仅以某种方式给热和冷作出规定。在此之前毕达戈拉斯派研究了少数几个有关的问题，他们把这些事物原理与数目联系在一起，例如什么是机会、什么是公正、什么是婚姻），前者以优美的言辞来探索事物的是什么，因为他尝试着推理，而是什么正是推理的始点或本原。当时辩证法尚没有足够的力量使人能够离开是什么来研究对立物，来研究对立的双方是否属于同一门科学。有两件事情公正地归于苏格拉底，归纳推理和普遍定义，这两者都与科学的始点相关。
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