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古人每将人君比为太阳，如说：“日为太阳之精，主生养恩德，人君之象也。”(123)天上的太阳之所以能够君临万类，首先是因其具有光照万物的作用，认为这即是其功能也是其恩泽。地上的人君要想君临天下，也必须象天法地，具有类似天日的功能与德行。所谓“天无私覆，地无私载，日月无私照”，即此之谓也。如《易经·系辞传》说：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。”(124)“以通神明之德”，就要举行各种祭祀典礼；“以类万物之情”，则指创物立制（当然还须通过卦象）。在天人关系之中，人并非被动地适应，而是要积极地“参天地之化育”(125)，“裁成天地之道，辅相天地之宜”(126)，“备物致用，立成器以为天下利”(127)。“以顺天地之义，知民所急。”《隋书经籍志·天文类后序》云：“天文者，所以察星辰之变，而参于政者也。《易》曰：‘天垂象，见吉凶。’《书》称：‘天视自我人视，天听自我人听。’故曰：‘王政不修，谪见于天，日为之蚀。后德不修，谪见于天，月为之蚀。’其余孛彗飞流，见伏陵犯，各有其应。”精晓天文的儒者便因天变而向帝王进谏，反映民间视听。《隋书经籍志·律历类后序》有云“历数者，所以揆天道，察昏明，以定时日，以处百事”，春秋传又曰：“闰以正时，时以序事，事以厚生，生民之道。”(128)无论天文还是律历，其目的都是为了人事。凡此种种，说明儒家的天文律历之学带有极大的功利性，这一特点可能会限制科学自身的发展，然其属于儒家天人之学的范围，是不应有疑问的。
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《中庸》有云：“仲尼祖述尧舜，宪章文武，上律天时，下袭水土。辟如天地之无不持载，无不覆帱，辟如四时之错行，如日月之代明。万物并育而不相害，道并行而不相悖。”(129)不究天学，何以律天时，又何以明万物并育、道并行不悖之理。后世儒家宗师孔子，自然会把自古相传的天学遗产继承下来，加以发扬光大，积极地参与到修订历法的行列之中。历史上重大的历法改订或完善，几乎都是由儒家学者主持或参与完成（当然也有例外）。如汉儒刘向、贾逵、张衡、晋儒虞喜、南北朝的何承天、祖冲之，乃至隋代的刘焯，都是其中的佼佼者。历代的史书也将各朝关于天文律历的成就如实地记录并列为诸志之首。而且，从史书将“律”和“历”浑然不分的情况看。使我们了解到古人是把天地四时的节律和音乐的节律看作是一体的。不仅数量化而且音乐化，把大自然完全看成是一首和谐而含有美妙音律的大乐章。
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刘焯曾自述其所撰《皇极历》与经学的关系云：“寻圣人之迹，悟曩哲之心，测七曜之行，得三光之度，正诸气朔，成一历象，会通今古，符允经传，稽于庶类，信而有征。”(130)由此足可让我们明了作为经学大师的刘焯，为什么同时又是著名的天文律历学家。
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（二）刘焯的天文历法之学
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隋朝开国之后，隋文帝当然也和以往的皇帝一样，改正朔，(131)易服色，制礼订乐，以示与民更始。乃征召精通天文历法的群臣，参议制定新历法。刘焯于次年（开皇三年）献上此次奉敕撰定、自信能够“会通古今、符允经传、稽于庶类、信而有证”的历法新书。可是隋文帝却于开皇四年（公元584年）正月，颁布施行张宾所撰《开皇历》。张宾曾为道士而且确实不通历法，只是把南朝何承天的《元嘉历》略加增损，以365又2506/102960日为一年，29又96529/181920日为一朔望月。并在其历法中附会占星术的内容，以取悦于迷信占星及谶纬的隋文帝，因而取得执掌历法的大权。“张宾所创之历既行，刘孝孙与冀州秀才刘焯，并称其失，言学无师法，刻食不中，所驳凡有六条”(132)，包括不用岁差法、定朔法等重大失误。刘孝孙、刘焯等儒家学者的反对意见非但未被采纳，反而遭到贬斥。
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“岁差”是制定历法必须考虑的重要因素，如何将这一发现应用到历法之中，谓之“岁差法”。岁差是指回归年和恒星年之间的差别。回归年是太阳绕黄道一周的时间（365.24220日），恒星年是指地球公转一周360度所需要的时间（365.2564日）。两者每年相差将近一分，谓之岁差。这一现象是由东晋虞喜（公元281—356）所发现，此前的历法都没有这一概念。虞喜依照《尧典》的记载，冬至时的昏中星为昴星，而到东晋时代，冬至昏中星为壁九度。即是说，从帝尧到东晋这段时间，冬至昏中星已从昴宿，经胃宿、娄宿、奎宿、退行至壁宿，合计退行五十一度。虞喜估算彼时与唐尧时代大约相距2700年，由此可以求得约50年岁差一度。南北朝时，祖冲之在制定《大明历》时，首先考虑将岁差应用到历法之中，但经他计算是45年11个月岁差一度。到了隋代刘焯则得出75年差一度的岁差数值，其精确度已与现代的测算值（71年余西移一度）十分接近。岁差是天文学史上具有划时代的意义的重大发现。
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定朔是针对平朔而言。朔日是指月球和太阳的黄经相等，亦即日、月几乎同时出没的时间。由于月亮绕地球运行的轨道是椭圆形的，当月亮运行到近地点时速度快，到远地点时速度慢。月球绕地运行的不均匀，导致这一个朔日到下一个朔日的时间不能固定。有时长达29天19小时多，有时则仅有29天6小时多。根据这两个数值的平均数来决定朔日即为平朔。但用平朔法确定的朔日（初一），和朔日的实际情况并不完全一致。于是，南朝宋时何承天撰《元嘉历》就发明定朔法来决定朔日，即把日、月黄经相等时，亦即日、月同时出没的这一天定为朔日。但由于定朔法将导致四个大月相连和三个小月相连的情况，没有办法解决，遂遭反对而未实行。直至刘焯制定《皇极历》时，创用一种内插法，亦即计算定朔校正数的方法，使这一问题得到解决，才将定朔正式地采纳到历法之中。
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开皇十七年，诏令停用《开皇历》，改用张胄玄所研制的历法（后称《大业历》）。张胄玄也是一位天文学家，曾与刘孝孙一起对《开皇历》提出批评意见。为鉴别各家历法的优劣，太史提出古今日食观测记录二十五例，依《开皇历》推算，合者甚少，依刘孝孙法推算，合者过半；而依张胄玄法所推大多符合。张胄玄的历法虽然比张宾的历法精准，但是毫无创新之处，很多重要环节抄袭刘孝孙历法。刘焯曾上书太子杨广，历数其谬误与剽窃之处，各达数十条之多。直斥胄玄云：“胄玄弦望晦朔，违古且疏，气节闰候，乖天爽命。时不从子半，晨前别为后日。日躔莫悟缓急，月逡妄为两种，月度之转，辄遗盈缩，交会之际，意造气差。七曜之行，不循其道，月星之度，行无出入，应黄反赤，当近更远，亏食乖准，阴阳无法。星端不协，珠璧不同，盈缩失伦，行度愆序。”其书启云：
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自木铎寝声，绪言成烬，群生荡析，诸夏沸腾，曲技云浮，畴官雨绝，历纪废坏，千百年矣。焯以庸鄙，谬荷甄擢，专精艺业，耽玩数象，自力群儒之下，冀睹圣人之意。开皇之初，奉敕修撰，性不谐物，功不克终，犹被胄玄窃为己法，未能尽妙，协时多爽，尸官乱日，实玷皇猷。请征胄玄答，验其长短。(133)
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要求太子主持当面质证和公开辩论。由于袁充时任太史令，有宠于帝，杨广也不便多加干预。然张胄玄历法之终被采纳，却是因其效法张宾的故智，通过附会祥瑞，取悦皇帝，才达到目的。
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此时刘焯对刘孝孙的历法进行增损改进，更名《七曜新法》，献上以备选用。（其时刘孝孙已去世。）但由于《七曜新法》与张胄玄的历法，矛盾之处甚多。太史令袁充袒护张胄玄历法，《七曜新法》也遭排斥。
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刘焯于大业元年，献上自己苦研数十年，经过多次实测和反复修订而成的《皇极历》，史志评其法云：
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有日行迟疾，推二十四气，皆有盈缩定日。春秋分定日，去冬至各八十八日有奇，去夏至各九十三日有奇。二分定日，昼夜各五十刻。又依浑天黄道，验知冬至夜漏五十九刻、一百分刻之八十六，昼漏四十刻一十四分，夏至昼漏五十九刻八十六分，夜漏四十刻一十四分。冬夏二至之间，昼夜差一十九刻、一百分刻之七十二。胄玄及焯漏刻，并不施用。然其法制，皆着在历术，推验加时，最为详审。(134)
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最终还是因为执掌历法大权的张、袁阻挠排斥，而不被采纳施行。至此，刘焯已经三次为改革历法，献出自己研制的历书，希望能被采用，可惜均以失败告终。但此时《皇极历》以其数据之精确、方法之新颖和引证之广博，引起朝野的普遍推重。大臣称其“推步精审，证引阳明”，方术之士，则“咸称其妙”。大业四年，“太史奏曰：‘日食无效’，帝召焯，欲行其历。袁充方幸于帝，左右胄玄，共排焯历，又会焯死，历竟不行”(135)。时任太史令的张胄玄知道自己的《大业历》有问题，直到刘焯死后，才悄悄地将《大业历》的错误改掉。
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《开皇历》和《大业历》虽然都经正式颁用，实际远不如刘焯所造的《皇极历》。刘焯使用自己发明的补间法即内插法，处理日月和五星的不均匀运动，根据张子信的日行盈缩法采用定气，又采用何承天的定朔法，考虑祖冲之的岁差法，对于交食，五星都用了显然更为准确的数值。在历法上，最早用了定朔、定气的名词。刘焯不仅注意吸收前人的研究成果，而且对其方法无不进行审理推进，并进而创立新法，解决问题，终于使一代律历之学有了突破性进展。
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刘焯在《皇极历》中，给出了一批十分精确的天文数据，在以前各历法所取近点月长度值的误差多达5秒左右，甚至有达10多秒的。而他所取的值比较，这个值的精度也属于上乘。对于月亮每天的平均行度，他取13.36879度，与这个数字相应的恒星月长度则是27.321675日，误差为1.3秒，它比较前代各个历法（误差多为5秒左右）的精度也高得多。他取食年长度为346.619338日，误差为24秒，这个精度也是前所未及的。
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刘焯还最早提出了黄道岁差的概念和具体数值，这一概念是从其前辈所发明的赤道岁差概念引申出来的。在计算太阳行度时，计入黄道岁差的影响，所得岁差值为七十六点五年一度。比用赤道岁差计算要科学和合理得多，这可能就是他阐明和采用黄道岁差概念的出发点和原因。与这个数值相对应的赤道岁差值是八十三点五年差一度，这个数值的精度比前代各家都要高，而且对唐代及其后的历法产生了很大的影响。对于其他一系列的天文数据，《皇极历》也都各取新值，其精度也大部分高于前代历法或与之持平。
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关于天文表格《日躔表》和《月离表》的编制，《皇极历》也有所创新或改良。譬如《皇极历》是我国古代最早给出完整的太阳运动（日躔）不均匀改正数值表的历法；又如其《月离表》对于月亮运动（月离）不均匀改正数值表的定量分析表明：他的月亮过近日地点时间的误差为0.47日，达到了历史上比较高的精度；他的月亮每日实行度的测算误差为9.4秒，精度高于前代各个历法（误差均在10.5’至27.l’之间不等）。可见皇极历的月离表也是历代最优秀的历表之一。
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刘焯的另一贡献，是在《皇极历》中采用了定朔的方法。而且在定朔过程中，又表现出另一重大特色，即发明和应用了崭新的数学方法。古之律历之学必通算数之学，所以历法又称历算，很多历学家同时都是数学家，不仅精通数学，而且可以创造出许多算法亦即数学公式来，刘焯即是其中的一个。刘焯定朔的历算方法有：等间距二次差内插法、等差级数法和坐标变换法三种。等间距二次差内插法对于提高天文量计算的精度也起到良好的作用。(136)
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刘焯“又造历家同异，名曰《稽极》”。是他详尽地考论历代颁行的《历书》及天文、律历学家之是非得失的著作。所以他才能在充分吸取前人研究成果的基础上，经过自己的长期探索以后，创造性地将历法之学向前推进了一大步。如在《皇极历》日躔表的编制中，吸取东汉刘洪的“消息术”和北齐张子信的“盈缩术”，创立了一整套日月交食的推算法。还发明了日月食初亏和复圆时刻计算法。可谓穷极精妙。是我国古代最早同时虑及日、月运动不均匀对真正合朔时刻影响的定朔法，(137)在我国古代历法史上占有很重要的地位。
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刘焯《皇极历》的各项成就，将古代历法“向数学化、精密化和合理化的方向推进了一大步”。使历法的科学程度大为提高，比此前的历法颇多革新气象。“标志着我国古代历法已经进入了完全成熟的时期。”(138)《皇极历》在隋代虽然没有施用，但其所造就的天文律历学成果，至唐代终于开花结实。唐代著名的《麟德历》和《大衍历》都是吸取刘焯的《皇极历》而造成的。僧一行甚至认为“《皇极》密于《麟德》”(139)。
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刘焯是一位持浑天说观点的天文学家，他认为“盖天说”据夏至时“日影千里差一寸”，用以推算天地大小的基本数据是错误的。并以经学家的立场指出，这种说法缺乏可靠的典籍依据。为了能为修订历法提供更为可靠的数据，他建议发动一次大规模的天文大地测量，以检测并否定这一自汉代以来传统论断。他说：
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《周官》夏至日影，尺有五寸。张衡、郑玄、王番、陆绩先儒等，皆以为影千里差一寸。言南戴日下万五千里，表影正同，天高乃异。考之算法，必为不可。寸差千里，亦无典说，明为意断，事不可依。今交、爱之州，表北无影，计无万里，南过戴日。是千里一寸，非其实差。焯今说浑，以道为率，道里不定，得差乃审。既大圣之年，升平之日，厘改群谬，斯正其时。请一水工并解算术士，取河南、北平地之所，可量数百里，南北使正。审时以漏，平地以绳，随气至分，同日度影。(140)
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首次提出“审时以漏，平地以绳，随气至分，同日度影，得其差率，里即可知”的设想，唯其如此，方能求出同一时刻日影差一寸和北极高差一度在地球上的相差距离，从而达到“天地无所匿其形，辰象无所逃其数，超前显圣，效象除疑”的效果。可惜至大业三年，炀帝才敕令诸郡测影，而不久刘焯去世，没有人能主持这项浩大的工程，事遂寝废。直至唐玄宗开元年间，才由一行组织领导了我国古代第一次天文大地测量，也是一场史无前例、世界罕见的天文大地测量工程。在世界科学史上也具有重大意义和影响。
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（三）刘焯的律历之学——音律
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