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刘焯“又造历家同异，名曰《稽极》”。是他详尽地考论历代颁行的《历书》及天文、律历学家之是非得失的著作。所以他才能在充分吸取前人研究成果的基础上，经过自己的长期探索以后，创造性地将历法之学向前推进了一大步。如在《皇极历》日躔表的编制中，吸取东汉刘洪的“消息术”和北齐张子信的“盈缩术”，创立了一整套日月交食的推算法。还发明了日月食初亏和复圆时刻计算法。可谓穷极精妙。是我国古代最早同时虑及日、月运动不均匀对真正合朔时刻影响的定朔法，(137)在我国古代历法史上占有很重要的地位。
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刘焯《皇极历》的各项成就，将古代历法“向数学化、精密化和合理化的方向推进了一大步”。使历法的科学程度大为提高，比此前的历法颇多革新气象。“标志着我国古代历法已经进入了完全成熟的时期。”(138)《皇极历》在隋代虽然没有施用，但其所造就的天文律历学成果，至唐代终于开花结实。唐代著名的《麟德历》和《大衍历》都是吸取刘焯的《皇极历》而造成的。僧一行甚至认为“《皇极》密于《麟德》”(139)。
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刘焯是一位持浑天说观点的天文学家，他认为“盖天说”据夏至时“日影千里差一寸”，用以推算天地大小的基本数据是错误的。并以经学家的立场指出，这种说法缺乏可靠的典籍依据。为了能为修订历法提供更为可靠的数据，他建议发动一次大规模的天文大地测量，以检测并否定这一自汉代以来传统论断。他说：
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《周官》夏至日影，尺有五寸。张衡、郑玄、王番、陆绩先儒等，皆以为影千里差一寸。言南戴日下万五千里，表影正同，天高乃异。考之算法，必为不可。寸差千里，亦无典说，明为意断，事不可依。今交、爱之州，表北无影，计无万里，南过戴日。是千里一寸，非其实差。焯今说浑，以道为率，道里不定，得差乃审。既大圣之年，升平之日，厘改群谬，斯正其时。请一水工并解算术士，取河南、北平地之所，可量数百里，南北使正。审时以漏，平地以绳，随气至分，同日度影。(140)
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首次提出“审时以漏，平地以绳，随气至分，同日度影，得其差率，里即可知”的设想，唯其如此，方能求出同一时刻日影差一寸和北极高差一度在地球上的相差距离，从而达到“天地无所匿其形，辰象无所逃其数，超前显圣，效象除疑”的效果。可惜至大业三年，炀帝才敕令诸郡测影，而不久刘焯去世，没有人能主持这项浩大的工程，事遂寝废。直至唐玄宗开元年间，才由一行组织领导了我国古代第一次天文大地测量，也是一场史无前例、世界罕见的天文大地测量工程。在世界科学史上也具有重大意义和影响。
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（三）刘焯的律历之学——音律
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刘焯精通律历之学。可是何为“律历之学”？历史上一直没有明确的定义。大体上说，律历之学不仅包含音律和历法两门学问，以及度量衡的内容在内。而且是在理论的贯穿之下，有机地结合为一个完整的体系。这门学说是否能够成立，历史上也一直存在争议，迄无定论。但其确实存在过，却是不争的事实。
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律本指音律，音律固然是声音的规律，但此处的音律却是音与律的合称。音与律不同，音指五声（音是五声的合称），所谓“五声”包括：宫、商、角、徵、羽，系规定音阶距离的大小。如宫商之间永远相距一个“全音”；角徵之间永远相距一个“小三度”之类。至于五音之高度，则可随时而异，一以旋宫时所配之律为转移。而所谓六律或十二律，如黄钟、大吕等，则系规定音的高度，每律的长短既已确定，因之其所发声音之高低，亦复始终不变。(141)而这些都须经过测量试验才能确定。而古人认为，度量衡是由律而生，(142)如司马迁就说：“王者制事立法，物度轨则，壹禀于六律，六律为万事根本焉。”(143)由此，原本只是标明音律的“律”，从此便有了规律和衡定的意思。刘歆更将《尚书·虞书》“同律度量衡”的话，作为“律生度量衡”的依据。于是，班固在《汉书·律历志》中，将律学的内容扩大为五类：“一曰备数，二曰和声，三日审度，四曰嘉量，五曰权衡。”(144)将数学列为首位，而将音律、度量衡全都包含在内。以后各朝的《律历志》也都循此编订。这些都是基于古人对自然秩序的深刻认识，也是儒家天人之学的重要组成部分。西方著名的历史学家斯宾格勒曾说：
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自然是可以用数字来表达的，而历史则相反，它是那与数学无关的事物的集合——因此有自然律的数学确定性，有伽利略那无比正确的名言“自然是用数学语言写成的”；还有康德所强调的这样一个事实：精确的自然科学所能到达的限度，即是应用数学之可能性所能允许的限度。(145)
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又说：
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数字包含有作为自然之世界的终极意义。因此，数字的存在可以说是一种奥秘，每一文化的宗教思想都留有数字的印记。
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儒家的天人之学，正是通过自然现象的数字关系，探索自然世界各事物间的内在关联，从而发现其奥秘，并加以利用的。
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就律和历而言，两者研究的对象，一种是声音一种是时光，都是一种自然现象而非物体，所以都只能感知而难于把握。但要更好地利用它，则必须了解掌握其内在的规律。古人发现，求音律的原理与历法的节律算法非常相近，音律和历法一样都是来自大自然的自然之“数”；两者有其一定的共性和内在联系，如都必须经过度的衡量和数的计算。所以古代常常将两者联系在一起研究，从晋代起直到隋唐，学官之中设有律学博士和助教，就是专以培养精通天文历法的人才为职责。西汉《淮南子》中的《天文训》将历与律交互论证，班固《汉书》以后的正史，大多设有历法与音律相结合、乃至包含度量衡在内的《律历志》。《旧唐书》曾一度将其分列，欧阳修撰修《新唐书》诸志时，又将其合并在一起。
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音律的五音与历法的四季都和五行、五方联系在一起。音律和节气的联系则更为密切，比如十二律与十二月更是相互对应与配合。《汉书·律历》称：“律十有二，阳六为律，阴六为吕；律以统气类物，吕以旅阳宣气。”“十二律”的名称，按最长的管算起顺序为黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射和应钟。黄钟是基音，管长九寸，并以此为准，求得其他各律的音阶长度。在两个音之间的音高距离叫音程，它是以两个音的频率比表示的。当为了求得音高或音程的和谐，达到古人理想的“五声和，八风平，节有度，守有序”(146)的效果，也就是为了更好地利用和探索声音这种自然现象，在弦线上确定各种音程比并表现其内部联系和规律时，古人发明了“三分损益”这种数学方法。如《史记·律书》所云：
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九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为傲。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。
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三分损益相生法中有两个相生因子：2/3与4/3。三分损一（即2/3）后的音比其前的弦音高纯五度；三分益一（即4/3）后的音比其前的弦音低纯四度。除了1/1和1/2之外，这两个相生因子在数学上是最简单的，而在音感上，由它们产生的纯四度和纯五度又是完全协和音程（1/1和1/2为绝对协和）。由三分损益法产生的五声音阶的任一调式只有大全音和五度律小三度两种音程，其音阶结构甚为简单。这是三分损益法的优点，也是它在历代被沿用的原因。(147)三分损益法也是科学史上将自然现象总结为数学规律的最早、最成功的尝试。
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但是，按照三分损益法的计算最终不能返宫。亦即经过五度损益之后，出现音差，不能返回到起始的黄钟律而形成一个圆圈。为了消除这个音差，自汉代京房以后很多大儒沿着三分损益法作了许多新的有益探索，结果都没有成功。
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刘焯在研究这一问题时，决心摆脱三分损益法的羁绊，另创一种数学方法，声学史上，称为“刘焯定律”。据《隋书·律历志》载：
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仁寿四年（604），刘焯上启于东官论张胄玄历，兼论律吕。其大旨曰：乐主于音，音定于律，音不以律，不可克谐，度律均钟，于是乎在。但律终小吕，数复黄钟，旧计未精，终不复始。故汉代京房，妄为六十，而宋代钱乐之更为三百六十。考礼诠次，岂有得然，化未移风，将恐由此。匪直长短失于其差，亦自管围乖于其数。又尺寸意定，莫能详考，既乱管弦，亦舛度量。焯皆校定，庶有明发。其黄钟管六十三为实，以次每律减三分，以七为寸法。约之，得黄钟长九寸，太簇长八寸一分四厘，林钟长六寸，应钟长四寸二分八厘七分之四。其年，高祖崩，炀帝初登，未遑改作，事遂寝废。其书亦亡。
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戴念祖在《声学史》论及刘焯的章节中，按此记载，将其法按现代数学等式列出：
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Ln＝63－3n/7＝9－3/7n
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式中L代表管长度，n相应于十二律。刘焯以这一等式求得十二律的管长，以公差3/7n构成各律管的等差数列。并以之与现代等程律相比照，发现两者之间的差距很大。就这样，刘焯打破了三分损益的律学传统，企图以长度上等差数列定律达到旋宫目的。然而，这种计算虽然获得相邻两律间的长度差均为3/7寸，但是，这样不仅不能旋宫，而且会使十二律的音高相混淆。究其原因是：一则其未作管口校正，管与弦等同看待；二则是误将“长度等差”看做近代所谓的“音程等比”。尽管如此，刘焯大胆地突破三分损益法却是一个创举，为后人创建等程律提供了一个可贵的失败例证，这种勇于探索的精神仍然是值得嘉许的。
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律历之学自汉代已被称为绝学，刘焯不仅精通其学，而且为推进其发展，做出了卓越的贡献。颜之推曾说：“算术亦是六艺之要事，自古儒士论天道、定律历者，皆学通之。然可以兼明，不可以专业。”(148)“不可专业”者，非谓不可以此为业，乃不可专以此为业也。只守一艺谓之专，兼而明之谓之通。史传称刘焯为“数百年已来，博学通儒无能出其右者”(149)，可谓名副其实，信非虚语。
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参考文献
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［1］杜石然《中国古代科学家传记》上册，科学出版社，1992年1版。
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