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悬链线
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说起伯努利，还有一段挺有趣的小故事。在我读大学的时候，数学课程里经常出现伯努利这个名字，而且是在多个不同的数学分支中，像伯努利数、伯努利分布、伯努利方程等等，不一而足。后来才知道数学家伯努利不止一个。事实上，伯努利家族一共出了八个大数学家。其中最杰出的要算雅各布·伯努利（1654—1705）和约翰·伯努利。他们是亲兄弟，排行第五和第十。约翰·伯努利主修的本来是物理和医学，博士论文也是关于医学的，但他最大的贡献却是在数学领域。他的数学是在雅各布指导下自学的，所以雅各布应该算是约翰的老师。不过，兄弟俩到后来却成为竞争对手，并且以经常争吵而闻名。两人曾同时致力于悬链线的研究。尽管建议对这个问题进行研究的是雅各布，首先得到悬链线的正确解的却是约翰。这件事一直让约翰非常得意，觉得这是他在他们兄弟之争中的一大胜利。甚至在他哥哥去世十多年之后，在一封给朋友的信里他仍以颇为自得的口吻讲到这段往事：“你说我哥哥提出了这个问题，这是事实。但这是否表示他有一个解决的方法呢？当然不是。当他在我的建议下提出这个问题（因为是我首先想起它来的）时，不论是他还是我都不知道如何解这个问题，我们绝望地认为它是不可解的。……我哥哥的努力毫无成果；而我则幸运得多，因为我发现了彻底解决这个问题的办法。……当我满怀喜悦地跑去找他时，他还在与这个难题痛苦地奋战，只是毫无进展，始终像伽利略一样认为悬链线是抛物线。我对他说停下来、停下来，别再折磨你自己了，试图证明悬链线等于抛物线根本就是错的！”
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在伯努利等人解决了悬链线问题之后，悬链线又出现在若干个似乎互不相关的地方。其一为前面提到过的小球滚落的动力学问题。其二为一类运动学问题，一个简单的例子是一枚具有自动跟踪功能的导弹追踪沿直线飞行的飞机所走的轨迹。在西方，大概直到20世纪60年代悬链线才在工程中得到应用—悬链线吊桥（最早的设计是出自一位德国设计师之手）。
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对比悬链线在中国和在西方的出现与发展的过程是很有意思的。在中国这是一个纯粹的从实践中来，到实践中去的过程。所用的方法是归纳法，从来没有人问过为什么，当然也就不可能上升到理论的高度。在西方，在达·芬奇提出这个问题后的最初几百年里，这基本上是一个抽象的纯数学问题，完全没有实际应用。所用的方法是演绎法，也没人关心解决了这个问题到底有什么用。当然，问题的提出还是来源于实际观察，也算是从实践中来。不同的是，他们对问题进行了深入的理论研究，得出了全面的科学结论，并且在这个基础上才又应用到实际中去。
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为什么西方人会对这样一个在当时看似并无实际应用的问题如此感兴趣，并且锲而不舍地研究了几百年？为什么同时代的中国人尽管在实际中令人不可思议地应用了这种曲线，却对其“所以然”从未深究？这恐怕只能从文化传统中找原因了。正如人类学家莱斯利·怀特（Leslie White，1900—1975）所说“如果让牛顿一直待在霍屯图特（Hottentot，一个在南非的原始部落）文化中，他会像霍屯图特人一样进行计算”。这个题目太大，不是这篇短文所能论述清楚的。不过，有一点也许值得一提。西方文化根植于古希腊哲学，而古希腊哲学家们对几何学一贯极为重视。据说在柏拉图（公元前427—前347）担任院长近四十年的研究院的大门上挂着一块牌子，上面写着“缺少几何学知识者莫入”。柏拉图甚至试图用五种立体几何图形来解释物质结构，四面体对应于火、立方体对应于土、八面体对应于气、二十面体对应于水，十二面体则对应于整个宇宙。而在我国古代，几何学乃至整个数学从来没有取得过能与哲学并驾齐驱的地位。尽管我们的祖先也曾取得过不少辉煌的数学成果，像圆周率的计算，开平方、开立方的方法等等都比西方领先很多年。然而这些成果大都是以实际应用为目的，缺少更高层次的抽象内容。比如解二元一次方程组，我国数学家讲的是形象的“鸡兔同笼”，西方则是抽象的x和y。尤其像素数、黄金分割率、公理体系这类纯抽象的概念从未出现在我国古代数学之中。古希腊的几何学则是从公理出发，以严格的逻辑推导为根本的。从而奠定了西方数学重视演绎法的传统。而演绎法正是通向近代数学乃至近代科学的不可或缺的思维方法。
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四面体（a）、立方体（b）、八面体（c）、十二面体（d）和二十面体（e）
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长久以来，很多人都问过这样一个问题：具有几千年历史的中国文化为什么没能孕育出近代科学？著名物理学家杨振宁曾经在一篇文章中归纳了五条（《曙光集》，367页）：
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第一，中国的传统是入世的，不是出世的。换句话说就是比较注重实际，不注重抽象的理论架构。
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第二，科举制度。
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第三，观念上认为技术不重要，认为是“奇技淫巧”。
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第四，中国传统里面无推演式的思维方法。
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第五，有“天人合一”的观念。
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悬链线的故事倒是为第一条和第四条提供了一个颇具说服力的例子。
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三汤对话 [:1702202826]
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三汤对话 图灵测试引发的联想
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2012年是图灵（Alan Turing，1912—1954）诞生一百周年。为了纪念这位在第二次世界大战中为盟军战胜纳粹德国立下过汗马功劳的杰出数学家、逻辑学家、计算机理论家、密码分析家，图灵一百周年纪念咨询委员会提议将2012年命名为艾伦·图灵年。全世界很多国家和地区都举办了各种形式的纪念活动。4月份，英国情报机构还特意解密了两篇图灵在“二战”期间为破译德军密码而写的论文。这两篇论文在70年后才得以面世，可见当年他的工作在英国情报机构中举足轻重的地位和深远的影响。
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图灵
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图灵自幼与众不同，从来就只对自己感兴趣的学科下工夫，对不喜欢的课程则不闻不问，所以不受某些老师的青睐。不过他很早就显露出在科学和数学方面的天赋。他没学过初等微积分，却无师自通，在15岁时就能用微积分解决问题。16岁时，他不仅读懂了爱因斯坦的相对论，还引申出在书本中并未明确讲述的爱因斯坦对牛顿运动定律的质疑。1931年至1934年他在剑桥大学国王学院学习，获得数学一等荣誉，并1935年因为在毕业论文里展现出的才华而被选为国王学院院士（Fellow）。他在论文里独立证明了统计学中极为重要的中心极限定理（他不知道该定理已于1922年被J. W. Lindeberg所证明）。
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图灵对人类的贡献是多方面的，而且不少工作都具有独创性和开拓性。比如他在博士论文中引入的序逻辑和预言机（用来研究决定性问题的抽象计算机）等，都是全新的概念。他在生物数学（尤其是在模式形成及形态发生的研究方面）领域中的工作也被认为是开创性的。图灵最重大的成就无疑是在计算机领域，他对计算机理论、算法理论和人工智能的贡献不仅是全方位的，而且是超时代的。尤其是他在1936年的一篇论文中提出的通用图灵机（一种理论上的假想计算机，从而证实一定能构造出可以用来计算任意可计算问题的单一机器）可以说是现代计算机的奠基石，亦被不少人看作可存储程序计算机的原型。即使是今天，在计算机科学的任何一个分支中，图灵的影响都依然存在。这大概就是很多人把他尊为计算机科学和人工智能之父的原因。
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