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从数学上对抽象的扭结进行研究，始于法国数学家范德蒙（Alexandre-Theophile Vandermonde，1735—1796）在1771年发表的一篇论文。他首先发现了可以用位置几何学的方法来研究扭结，也就是说扭结的性质是由构成它的线的相对位置决定的，而与其大小无关。之后德国的“数学王子”高斯（Gauss，1777—1855）也在此领域里做过一些工作。数学上研究的扭结都是封闭的，即没头没尾。最简单的扭结就是圆，构成它的线没有交叉点，所以它其实是“无结”。稍微复杂一点的是三叶结，它有三个交叉点。
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圆、三叶结和八字结
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和很多其他数学理论一样，扭结理论开始受到重视，也是拜物理学之赐。1860年代，热力学之父威廉·汤姆森（William Thompson，1824—1907，也就是开尔文勋爵）提出了一个大胆的设想：原子的结构可以用扭结来描述，越复杂的原子对应于越复杂的扭结。为了解释元素周期表，就需要对扭结进行分类，以期发现原子与扭结之间的内在联系。首先需要回答的问题是如何界定扭结实质意义上的同与不同。在不把扭结的线“剪”断的前提下，如果仅通过将一个扭结的线揪来揪去而变成另一个扭结，这两个扭结就被定义为是等价的。所以有很多看似完全不同的扭结（在此意义下）其实是一回事。最初等的分类方法是以交叉点的个数为基准，把具有相同交叉点数的扭结算作一组，看看每组里面有多少是独立（互不等价）的。汤姆森的朋友塔特（Peter G. Tait，1831—1901）用的就是这种办法。这是件极为烦琐的工作，比如有八个交叉点的扭结就有256种需要分析。1885年塔特完成了对十个交叉点的所有扭结的分析，他决定到此为止，因为那时物理学的发展已经证明汤姆森的原子模型完全错了。不过对扭结的研究并没有因此而停止，只是又重新回到了纯数学的道路上。
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要判断两个扭结是否等价绝非易事。一个有趣的例子是，1899年公布的扭结分类表中，列出的十个交叉点的独立扭结有43个。然而在75年之后，纽约的一个律师（兼数学家？）却发现其中有两个实际上是等价的。而他所用的方法极为原始—在地板上摆弄以真绳子做成的图形。其实这也并不奇怪，试想把一个根本没打结的圆圈揉成一团，它看上去可以很复杂，如果不动手去解，单凭观察，怎么能判断它到底有没有打结？为了彻底解决这类问题，人们开始着手从数学上对扭结的“不变量”进行研究。所谓“不变量”说白了就是想找到一个可以被用来描述扭结内在性质的“量”，如果两个扭结的这个“量”不同，就可以断定它们是不等价的。第一个扭结“不变量”是由美国数学家亚历山大（James W. Alexander，1888—1971）在1928年发现的，这是扭结研究中的一次重大突破，这个“不变量”后来就被称为亚历山大多项式。其后很多年，数学家们都以为亚历山大多项式是唯一的扭结“不变量”。直到1984年，一个偶然的机会让新西兰裔数学家琼斯（Vaughan Jones）发现了一个新的“不变量”—琼斯多项式。
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琼斯的发现引发了一波研究“不变量”的热潮，越来越多新的“不变量”被相继发现。更为意想不到的是，琼斯多项式又揭示了若干个数学领域与一些物理学领域之间的内在联系。特别是在1987年前后，考夫曼（L. H .Kauffman）等人找到了扭结与物理学中的一类模型之间的对应关系，这激发了人们对扭结的新兴趣。在真实世界中，物理学研究的对象大多过于复杂，所以物理学家们构造了各种各样的模型，它们既能反映研究对象的主要特点，又能把复杂性尽可能降到最低。为了研究水在0摄氏度时会结冰而在100摄氏度时会沸腾这类“临界”现象，在物理学中产生了一批相应的模型，其中有一类可以得到数学上的完整解答，这就是所谓的精确可解模型。扭结理论正是与它们联在了一起。在这类模型的研究中占核心地位的杨—巴克斯特方程从而一下子成了研究扭结的利器。这次扭结与物理学的结合跟上一次很不相同，上次是物理学的需要为扭结研究提供了动力，这次则是物理学的方法直接应用到了扭结的研究之中。杨—巴克斯特方程里的杨就是大名鼎鼎的杨振宁先生，这个方程也是他最重大的三项成就之一（另外两项是杨-米尔斯规范场理论和证明宇称不守恒）。巴克斯特（Rodney Baxter）也是统计物理学领域里泰山北斗级的人物。他们两人有一个共同的特点—数学极棒，不但能驾驭非常复杂的运算，而且能透过现象抓住实质性的东西。与这两位大师我多少还有过一些接触。我的博士学位是在杨先生主持的石溪纽约州立大学理论物理所读的，与杨先生抬头不见低头见，自不必说。而我的博士论文则与巴克斯特取得的两项非常重要的成果直接相关（我们提出的两个猜想后来被他证明）。在与巴克斯特不多的几次接触中，我还闹过一个小笑话。那是在石溪读书的时候，有一次他来访问，我的导师在家里设宴招待，我也恭陪末座。巴克斯特很能喝酒，喝完伏特加又喝威士忌。酒足饭饱之余，他问起什么地方可以喝到奶昔，我随口说“汉堡王就有”，没想到几位在座的教授都哈哈大笑。转念一想，汉堡王是我们这些穷学生去的地方，哪好推荐给他们这些成名人物。
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扭结理论自诞生之日起，其研究的对象一直是数学上抽象的结。从基本的物理原理出发来研究真实的绳子在何种情况下会缠绕并打结，则迟至2007年才开始。很多人可能都有这样的经验：当打开提包拿出手提电脑时，它的电源线有时会“自动”打上烦人的结。大多数人面对这种情况只能自认倒霉，把结解开了事。可美国加州大学的物理学家史密斯（Doug Smith）却动了彻底搞清这个问题的念头。他首先设计了一个简单的实验装置—一个可以自动摇晃的盒子，然后把不同长度及不同软硬度的绳子放在里面摇。从常识上我们知道绳子越长、越软就越容易打结，如果绳子太短或太硬则不管摇晃多久也打不成结。史密斯用他的装置不但验证了由常识得出的结论，同时还能给出很多有意义的定量的结果。比如，一定软硬度的绳子最少需要多长才有可能自动打结。这个长度就对应于一个“临界”长度，长度小于它，打结这个物理现象就不会发生。仅用盒子装置，史密斯觉得还不过瘾，因为每测试一根绳子就得摇晃几千次，效率太低，而且也不容易观察到绳结究竟是如何形成的。于是他又搞了一个计算机模拟系统，可以在很短的时间里得到许多不同软硬度的绳子在不同大小的盒子里形成结的具体过程。接着他又从基本的物理原理出发，解释了绳结形成的原因。他的这些成果发表在“美国国家科学院院刊”上，引起不少人的兴趣。
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电子显微镜下的DNA扭结
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一直以来，无论是从数学上还是从物理上对扭结进行的研究，基本都是为了满足人们的好奇心。而最终使扭结理论成为大热门的，却是生物科学。我们都知道生物生长的过程就是细胞不断分裂、产生新细胞的过程，细胞分裂的第一步则是对作为生命基石的DNA进行复制。DNA为了保护自己所储存的信息，在一般情况下是紧紧缠作一团的。在复制过程中必须先由酶把它“解开”，这样RNA才能将DNA里储存的“密码”分段抄录下来。从拓扑学的角度看，DNA就是一个很复杂的扭结，而酶所起的作用就是解结。用扭结理论去计算解开DNA这个扭结的困难程度，就可以研究对应的酶的特性。这真像是冥冥中自有天意，让一门纯数学理论埋头发展数百年，在其逐渐成熟时，突然向它打开一扇大门，展现出一个具有广阔应用前景的新天地。
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比较一下扭结在中国和西方发展的历史也挺有意思的。在中国，从远古时代以绳结记事开始，之后结被用来作为纽扣，又演化成装饰品和艺术品，有些还被赋予了象征性的意义。比如同心结取“永结同心”之意，常被用在男婚女嫁的仪式当中。又如吉祥结代表大吉大利、吉人天相、祥瑞、美好，等等。在西方，人们则更注意绳结的实用价值（如在航海中），同时又有一些人对它们的归类（哪些结实质上是相同的）感兴趣，从而对结作了分类、归纳，并以此为基础进一步进行了数学上的高度抽象，最终产生了纯数学领域里的扭结理论。我们也许可以这样说：中国人对扭结给予了人文意义上的抽象，而西方人则对扭结进行了科学意义上的抽象。
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三汤对话 奇才伽莫夫
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大到宇宙起源，小到原子核结构，再加上构成生命基石的DNA和RNA，伽莫夫都曾插上一脚。不管是什么领域，只要涉足，他的工作几乎都是开创性的，其中不少还是奠基之作。他同时又是那种提出的想法常常令一般人无法理解的天才，不论在物理学界、天文学界，还是在生物学界都属于观念超前的非主流。
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伽莫夫出生在黑海之滨的敖德萨。据他自己说，他差一点就没能活着降生到这个世界上。他母亲在生他时难产，医生无计可施，已经准备将他切成几块以保全母亲的性命。幸好一位邻居听说有个来自莫斯科的著名外科医生正好在敖德萨度假，于是急忙请他来进行剖腹产手术，伽莫夫才捡了条小命。由于医院里没有床位，手术就在他家的书房里进行，大书桌充当手术台。父亲负责掌灯，那位邻居管烧水、消毒手术器具，其余全靠这位名医一人，既没有护士，也没有助手。这位邻居后来成了他的教母，若没有她，科学界就会损失一颗灿烂的明星。
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伽莫夫
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伽莫夫从小就有一股不信“邪”的精神。小时候在教堂做弥撒，牧师宣称分发给大家的圣餐是来自基督的血肉。他心存疑窦，于是把圣餐含在嘴里并不咽下，悄悄带回家，在显微镜下与自己手上的皮及事先预备的、蘸了红葡萄酒的面包进行对比，从而得出结论：所谓圣餐绝非皮肉，不过是蘸了红葡萄酒的面包而已。怀疑牧师说教的小孩可能不在少数，但像伽莫夫这样不仅怀疑，而且能找出切实可行的方法来进行验证的孩童，恐怕少之又少。其实伽莫夫少年时代的学习环境总体来说相当糟糕，那时的俄罗斯处于大动荡之中，敖德萨正好又是各种势力反复争夺的地方。德国、法国、乌克兰社会党人、布尔什维克红军、俄罗斯白军都攻占过该城。学校经常关门，即使开门，很多课程也无法正常进行。他大部分的知识都是靠自己阅读书籍和杂志得来的。最终他父亲不得不变卖了一些家产，送他到彼得堡去上大学。伽莫夫大学毕业后就留在彼得堡大学继续读博士，但是他对导师所给的题目毫无兴趣。1928年夏天，他正好获得了一份奖学金，可以出国学习三个月。于是他来到当时理论物理与数学的圣地—德国哥廷根大学。
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刚到哥廷根没几天，伽莫夫在图书馆读到一篇由实验物理大师、原子结构的发现者卢瑟福（Ernest Rutherford，1871—1937，获1908年诺贝尔化学奖）写的有关原子核α衰变（某些原子核能释放出一个α粒子并变成较小的原子核）的文章，他立刻意识到该文试图用经典物理理论来解释α衰变的思路可能是完全行不通的。在经典理论中，α粒子要想脱离原子核，有点像一只皮球撞在铜墙铁壁上，很难想象它能破墙而出。但是如果用刚出现不久的量子力学对α衰变进行分析，则能得出合理得多的解释。在量子力学里任何物质都具有波粒二重性（同时具有波动的特性和粒子的特性），α粒子也不例外，它既是粒子但同时也具有波动性，正是因为这种波动性，它穿透原子核壁垒的概率虽然不很大，却也绝不是零。他仅用一个晚上就写成了一篇论文，用量子力学对原子核的α衰变作了全新的分析。这是第一篇将量子力学应用于原子核物理的文章，文中提出的理论就是后来得到广泛应用的量子隧道效应。
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三个月的时间很快就过去了，伽莫夫不得不踏上归国的旅途。不过他没有直接回俄罗斯，而是绕道丹麦去哥本哈根拜见量子理论的创始人玻尔（Niels Bohr，1885—1962，获1922年诺贝尔物理学奖）。买了车票之后，他身上只剩下相当于10美元的钱，仅够在哥本哈根逗留一天。到了玻尔的研究所，他跟秘书说想见玻尔，不料被告知几天之后玻尔才会有空。然而当秘书了解到他的处境后，还是设法安排他在当天下午见到了玻尔。伽莫夫给玻尔讲述了原子核α衰变的新理论（文章那时还没刊登出来），立即引起玻尔极大的兴趣。为了让伽莫夫能留在哥本哈根继续进行研究工作，玻尔当场拍板给了他一年的丹麦皇家科学院嘉士伯奖学金（Carlsberg Fellowship）。之后又为他申请到洛克菲勒奖学金（Rockefeller Fellowship），并介绍他去卢瑟福的卡文迪许实验室工作了一段时间。可以说玻尔对伽莫夫是有知遇之恩的。
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在卡文迪许，伽莫夫将原子核α衰变的理论反向应用，建议卢瑟福用较高能量的α粒子或质子轰击锂原子核，他推断这些粒子有可能透过壁垒进入原子核。卢瑟福深以为然，让他的两个助手考克饶夫（John Cockcroft，1897—1967）和沃尔顿（Ernest Walton，1903—1995）进行了这项极有意义的实验。该实验于1932年完成，后来为考克饶夫和沃尔顿赢得了1951年的诺贝尔物理学奖。
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差不多在同一时期，伽莫夫还提出了用来解释原子核结构的液滴模型。其基本想法就是把原子核模拟为一个由若干核子组成的液滴。液滴的表面具有张力，所以不会散开；同时液滴内的粒子又可以相对自由地变换位置。由于当时中子还没有被发现，物理学家们普遍以为原子核中的核子是质子与电子，这导致伽莫夫最终未能建立起正确的模型。但他的想法却是极有意义的，如果再往前走一步，考虑到当液滴很大的时候，一个微小的扰动就有可能使它分裂成两个较小的液滴—这实际上就是核裂变的理论基础。八年之后，弗里施（Otto Frisch，1904—1979）和迈特纳（Lise Meitner，1878—1968）提出的核裂变理论正是建立在此之上的。
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