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三汤对话 [:1702202838]
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三汤对话 解决孪生素数问题的一线曙光
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数论在数学里可能算是最难却又“最没用”的领域，可它同时又具有相当崇高的地位。人们甚至把是否在数论中有过重要贡献作为衡量一位数学家是不是数学全才的标准。常说的三个半数学全才：高斯，庞卡莱，希尔伯特和冯·诺依曼，前三个都对数论研究有过巨大的贡献，唯独冯·诺依曼没有，所以只能算半个。数论另一个引人入胜的地方，是它所提出的不少问题非常简明、易懂，即使没研读过多少高深数学的人也能知其所云，因而业余爱好者颇多。比如著名的哥德巴赫猜想，说起来确实很简单：任何一个大于2的偶数，都可表示成两个素数之和（素数就是只能被它自己和1整除的自然数，例如：2，3，5，7）。又比如本文中要讲的孪生素数猜想：孪生素数是指两个相差为2的素数（例如3和5，17和19等素数对），古希腊数学家欧几里得猜测，存在无穷多的素数对。像这些问题，一般人都能明白，可要想证明却又千难万难。黎曼假说、哥德巴赫猜想及孪生素数猜想等素数问题，被同列为著名的希尔伯特第八问题—也是极少的几个未被解决的希尔伯特问题之一。
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孪生素数猜想看似简单，谁都不难找出几对来，3和5，5和7，11和13，17和19，29和31……如果继续往下找，就会发现这种素数对出现的频率越来越低，但也不会完全销声匿迹。近年来，人们利用大型计算机来寻找素数对，到目前为止，找到的最大素数对是3756801695685×2666669±1。这对素数已经是十分巨大的天文数字了，而且随着计算机功能的不断加强，可以肯定今后还能发现更大的素数对。然而这都无助于证明孪生素数猜想，因为不管找到多少素数对，它们毕竟是有限多的，与存在无穷多的素数对有着本质的区别。
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为了后面叙述的方便，我们先来说一个简单的数学名词—下确界。给定一个数集，比如说{1、2、3}，如果能找到一个数（可以是这组数中的一个，也可在其外）小于或等于这组数中所有的数，这个数就是这组数的一个下界。在我们的例子里，0和1都是下界。在所有的下界中如果有一个最大的下界，就称其为下确界。一个有界数集可以有无数个下界，但是下确界却只有一个。具体到{1、2、3}这个数集，1就是它的下确界。
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张益唐
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两个相邻素数的差最小只能是2，所以2永远是两个相邻素数的差的下界，但不见得是最大的下界（下确界）。如果我们能够证明当素数趋于无穷大时，两个相邻素数的差的下确界是2，就相当于证明了孪生素数问题。因为这就等于是说永远可以找到要多大有多大并且差为2的素数对。几百年来，许许多多的数学家和业余数论爱好者花费了无数的心血想要证明孪生素数猜想，但没人能取得任何实质性的进展。于是数学家们退而求其次，将注意力集中到一个相对容易一点的问题：当素数趋于无穷大时，两个相邻素数的差的下确界是有限的还是无限的？研究这个问题不光是解决孪生素数问题的第一步，同时也有它自身的意义，可以告诉我们当素数趋于无穷大时，两个相邻素数的差是否会无限扩大，从而对了解素数的分布有所助益。然而即便是这个问题，多年来仍然让数论研究者们一筹莫展。直到2014年5月，一位名不见经传的华裔学者张益唐终于取得了决定性的突破。张益唐证明了当素数趋于无穷大时，两个相邻素数的差的下确界小于70000000，即永远可以找到要多大有多大并且差为2、4、6……70000000之一的素数对。这个结论看似离证明孪生素数问题还差得很远，不过我们必须认识到，在张益唐之前，人们甚至无法确知上面所说的下确界究竟是有限的还是无限的。他的结论之所以重要，就在于明确给出了该下确界的一个有限边界，从而在广义的角度上确认了孪生素数猜想是可以被证明的。他的工作的另一层意义在于，其使用的方法具有相当的弹性，意味着这个边界的数值很可能还可以大幅减小。张益唐在他的论文里就指出，他所得到的结果可能并非最优的，其中一个关键参数的设定也是比较粗略的，因而存在着改进的空间。张益唐的论文出现没几天，素有“数学神童”之称的菲尔兹奖获得者陶哲轩（他9岁进入大学，10岁、11岁、12岁参加国际数学奥林匹克竞赛，分获铜牌、银牌、金牌，16岁获得学士学位，17岁获得硕士学位，21岁获得普林斯顿大学博士学位）就宣称他已将70000000降到了5000000。互联网上现在还有一个网站，专门登录最新的进展，我刚刚查过的最新纪录是60744（2013/6/16）。更有传言说戈德斯顿（Goldston）等人甚至可以把这个“魔术数字”降到16！当然这些都需要数学界进一步地推敲和证实。
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张益唐的成果也并不是闭门造车、仅靠自己单打独斗得来的。戈德斯顿等人近年来在孪生素数方面的工作已经很接近于能够证明该下确界是有限的，但最终还是差了临门一脚。张益唐的突破可以说是在戈德斯顿等人奠定的基础上，完成了这临门一脚。据行家们讲，他使用的方法是经过改进的解析数论中的筛法，这是一种比较经典的方法，在当下的数学界属于不太时髦的东西。多年前陈景润在哥德巴赫猜想上取得的成果（证明了任何大偶数都可写成一个质数加不超过两个质数的乘积，即1＋2）用的就是经过改良的筛法（陈氏定理）。很多搞数论的人都认为陈景润已经把筛法发挥得淋漓尽致，要想再往前走最终证明哥德巴赫猜想（1＋1），必须另辟蹊径，采用新的方法。35年来，没人在哥德巴赫猜想上取得什么实质性的新进展，似乎印证了这一说法。有趣的是，筛法似乎总是能重新焕发青春。2004年，陶哲轩在证明存在任意长的素数等差数列（格林—陶定理，这是他的成名作之一）时就用到了陈氏定理。这次张益唐在孪生素数方面的突破又借助了筛法。张益唐的方法究竟是会引领到彻底证明孪生素数猜想，抑或是像陈氏定理对哥德巴赫猜想那样，最终可望而不可即，大家都拭目以待。
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说起张益唐，他的学术道路可以说是相当的艰辛，一路走来真是很不容易。1985年初，他赴美国普度大学攻读博士学位，师从莫宗坚。他自己选了一个很大的论文题目—雅可比猜想。博士毕业前夕，他本以为已经证明了这个著名的猜想，然而最后关头却发现是错的。这对他此后在学术界的发展显然十分不利，以致在1991年获得博士学位后，有七八年的时间他甚至不得不在餐馆之类的地方打零工。即使在那样的环境里，他的数学研究却一直没撂下，而且还专攻像黎曼假说那样的顶尖难题。1998年，在北大数学系的学弟葛力明的鼎力相助下，他才在美国新罕布什尔大学数学系当了讲师。美国大学里的讲师地位不高，工资比助理教授要低不少，好在每年四门课的教学量还不算太大，做研究的时间基本能得到保证。在美国，只要有点能力，找一份收入不错的工作并非难事。能够像张益唐这样甘愿清贫、潜心学问的人实属凤毛麟角。
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身在数学圈之外的人也许会问，花费毕生精力来钻研孪生素数猜想这类问题究竟有什么实际意义？数学大师庞卡莱有一段名言可以作为回答：“科学家研究自然界，不是因为它有用；他研究自然界是因为热爱它，而热爱它是由于它的美。如果自然界不美，就不值得去认识它，生命也就没有价值了。”其实，在人类文明发展的漫长岁月里，数学家们就像一群不知疲倦的工匠，不断“制造”出各种各样的数学“工具”。这些“工具”有的时候是为其他科学领域“量身定制”的，因而具有直接的可应用性。但在大多数时候，这些存放于数学殿堂中的“工具”则是数学家们自得其乐闭门造车的成果。不过有些在当时看似没用的“工具”，几十年甚至几百年后却会大放异彩，成为科学上重大突破的关键一环。一个最为人们津津乐道的例子，就是非欧几何学为爱因斯坦广义相对论所奠定的基础。至于孪生素数猜想等与素数分布有关的数论问题，如今已经具有了很重要的潜在应用价值。由于互联网的安全几乎完全取决于加密技术，而在公钥加密和电子商业中被广泛使用的RSA加密算法所依仗的，正是对极大整数做因数分解（即将该整数写成多个素数的乘积）的困难程度，这与素数的分布有着紧密的关联。
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张益唐的研究成果为解决孪生素数问题带来了一线曙光。他开启了一扇门，至于这扇门之后的路还有多长，现在无法知晓。也许只剩一步之遥，也可能十分曲折、漫长，甚至此路不通。
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三汤对话 [:1702202839]
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三汤对话 从托洛茨基到哥德尔
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有一次在图书馆里胡乱翻书，偶然看到一本名为《从托洛茨基到哥德尔》（作者：Anita Burdman Feferman）的书，觉得实在不可思议。经历过文化大革命的人对托洛茨基一定都不陌生。托派分子与叛徒、特务、反革命一样，是穷凶极恶的阶级敌人。电影《列宁在1918》里卫队长的那句著名台词“托洛茨基、布哈林是叛徒”更是深深印在我们这一代人的脑海里，这辈子大概都不会忘掉。直至来到美国之后，才开始对托洛茨基有了一点儿实事求是的了解。其实托洛茨基对俄国十月革命的贡献恐怕比斯大林还大，就连斯大林自己都写道：“起义的一切实际组织工作是在彼得格勒苏维埃主席托洛茨基同志直接指挥之下完成的。”而且托洛茨基的不断革命论（即在资本主义不发达的国家，可以将资产阶级民主革命和社会主义革命一起完成）似乎还被中国革命的实践所证实。
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托洛茨基（左）和海恩诺特
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哥德尔（Kurt Godel，1906—1978）则是极负盛名的数理逻辑大师，被誉为继亚里士多德之后最伟大的逻辑学家。他的两个关于公理系统的不完备性定理（发表于1931年3月）解决了著名的希尔伯特第二问题，不仅对逻辑学，而且对整个数学都具有极为重大的意义和深远的影响。
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托洛茨基和哥德尔似乎无论如何也扯不上边儿，很难想象他们之间能有什么交集。然而还真有这么一个人与托洛茨基和哥德尔都密切相关。他就是让·万·海恩诺特（Jean van Heijenoort，1912—1986）。
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海恩诺特1912年7月23日出生于法国克里尔的一个工人家庭。他天资聪颖，在学校里功课一直名列前茅。但由于两岁时就失去了父亲，这让他的童年不幸且压抑，使他从小就性格孤僻。他15岁时在学校里加入了激进的共产主义青年组织，开始接触到托洛茨基主义，从此成为托洛茨基的忠实追随者。不过投身革命运动似乎并未影响他对知识的渴求，他选课的范围十分广泛，包括数学、哲学、物理、化学、拉丁语、希腊语、德语以及法国文学，等等，17岁时又开始自学俄语。1930年，海恩诺特获得奖学金进入著名的巴黎圣路易公学学习数学。然而他对死板的法国教育体制非常反感，并由此走向对当时整个资本主义社会的彻底叛逆，套用今天的话说就是成为了一个“愤青”。1932年，托洛茨基需要一位精通法语和俄语的助手，海恩诺特于是中断学业来到托洛茨基身边。
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从1932年至1939年，海恩诺特一直是托洛茨基的私人秘书、翻译、随从和保镖，在这七年间他与托洛茨基差不多是形影不离，几乎可以算得上托洛茨基家的一分子。他是跟随托洛茨基时间最久的秘书，因而对托洛茨基的生活、想法、情感、工作习惯等等都有第一手的深入了解，这使他多年后成为最具权威的托洛茨基的研究者之一。
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海恩诺特一辈子最大的一块心病就是托洛茨基的遇刺身亡。1939年底，他离开托洛茨基赴纽约去追求“新的爱情”，在那里以教法语糊口。几个月后他从纽约时报上得知1940年8月20日托洛茨基在墨西哥城遇刺身亡，这使他十分内疚，一直无法释怀。因为他认为如果当时他在场，以他的语言天分，可以轻易辨别出刺客的身份，应该能够救托洛茨基一命。
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托洛茨基的死使托派受到了致命的打击，但也激发起海恩诺特的革命热情。他1940至1945年任第四国际的国际秘书处（第四国际的领导机构）书记，并在同一时期为托派刊物写了大量的文章。然而自1947年始，海恩诺特对马克思主义越来越持怀疑态度，这无可挽回地导致了他与托洛茨基运动乃至整个国际共产主义运动分道扬镳。1948年，为了纪念《共产党宣言》出版一百周年，他以假名Jean Vannier发表了那篇著名的文章《一百年一笔账》（A Century’s Balance Sheet）。他在文章中写道：现代的无产阶级已不同于1848年的无产阶级，一百年的前仆后继证明了无产阶级能干什么，也证明了他们不能干什么。这是他最后一次发表政见，整篇文章都透着这位曾经是最坚定的无产阶级战士的失望、伤心和反省。这大概也可以看作他脱离激进的革命运动的声明。
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尽管经历了多年动荡不安的生活，海恩诺特其实一直没有丧失对数学的兴趣。在置身于革命运动之外以后，他决定重归学术，从头开始。就用真名到纽约大学的库朗数学研究所（美国数学研究的重镇之一）注册为学生，师从于当时的所长斯托克（James Stoker），并于1949年获博士学位。