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看穿一切数字的统计学 [:1702626734]
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07 为了1%的准确率值得花费几千万吗？
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抽样调查中“经常出现的悖论”
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很多人出于直觉认为，只有进行全面调查才能够得到正确的结果。比如说，上一节提到的关于失业率的调查，假设随机选取的0.5%的人全部都是失业者，而剩下的99.5%的人则全都没有失业，那么实际上整体的失业率只有0.5%，而抽样调查的结果却是失业率为100%，这就是抽样调查中“经常出现的悖论”。
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可是，这个“经常出现的悖论”所举的例子究竟会不会出现？严格来说答案是“有可能出现”。但是对统计学家来说，不能仅仅回答“有可能出现”，还必须回答“有可能出现的概率”。
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如果失业率真的只有0.5%，那么对总人口1.2亿中的0.5%，也就是60万人进行调查，结果这60万人全部是失业者的概率当然不可能为0。因为在数学上，不管一个数字多么无限接近于0，严格地说都不能将其称为0。
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如果要将这个数字以小数的形式准确地表示出来，那恐怕要多达100万位数字以上，而且前面所有的数字都以0表示。
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或许有人不知道为什么会出现这个数字，让我们换一种说法。0.5%的概率，也就是抽签200次只能中1次，那么要连续抽中60万次的概率有多大呢？
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虽然将抽中的签再次放回抽签箱中的方法（统计学中将其称为重复抽样），与不放回的方法（不重复抽样）相比抽中的概率更高，但即便如此，仍然需要“在60万次抽签中维持1/200概率”的奇迹。这就是之前提到的那个无限接近于0的小数。
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重复抽样可以在60万次的抽样中维持“1/200”的概率，而实际上，失业率调查属于不重复抽样，在最后第60万次的抽样中需要从剩下的约1.194亿人中选出唯一的失业者，这完全可以说是一个奇迹。
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由此可见，提出“经常出现的悖论”的人实在是相当悲观，要不然就是骗子。既然没有人担心“小行星撞击地球的危险”，为什么对“导致抽样调查结果不准确的概率”表现得如此不信任？
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如果说0.5%的概率连续抽中不太现实，那么如果是99%的概率，连续抽中60万次的可能性有多大呢？实际上，也只有0.24%，60万次的话就要在这个基础上除以1 000，这又是一个称得上是奇迹的概率。
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为了使计算的过程更简单，我们经常能够见到以“调查对象全部准确”为例进行命题，但即便不是那样，对10万人进行调查的话，调查结果和真正的结果之间出现1%误差的概率，也是非常小的。
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实际上在计算误差的时候，并不是像这样直接地进行概率计算，而是通过图2–2所示的公式来进行计算的。
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图2–2 标准误差计算公式
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比如之前提到过的那个例子，总人数即美国的所有人口数也就是1.2亿，真实比率则是“真实失业率”的值。当然这个值我们并不知道，我们只要填入通过抽样调查得到的失业率数值即可，基本上填上这个值是不会错的。
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因为在真实比率达到50%的时候，“标准误差”值为最大，所以如果不放心的话可以用50%这个值进行计算，用“能够想到的最大标准误差”进行判断，这也是一种慎重的做法。
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为什么真实比率达到50%的时候，标准误差最大呢？因为0.5×（1–0.5）所得到的结果比0.6×（1–0.6）和0.3×（1–0.3）所得到的结果都大，因此我们选择50%作为最大值的标准。
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至于标准误差的使用方法，因为从抽样调查中得到的比率（比如说失业率）是用标准误差除以2得到的数值，因此只要将算出的标准误差结果乘以2就是真实比率的范围。这一数据的可信度高达95%。
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比如说抽样调查的结果显示失业率为25%，假设其标准误差为0.5%，那么全面调查得到的真实失业率数值应该在24%~26%之间，这一事实早已在80多年以前就已经被统计学家们证明过了。
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增加1万个样本也只能改变0.1%的标准误差
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那么，对于那些不喜欢看数学公式的人，让我们换一种说法解释标准误差的变化程度。
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比如说，从10万名顾客的数据中对男女性别比率进行调查的结果，假设顾客中女性的比率占70%。那么关于这一结果的标准误差，在增加抽样调查的人数之后会发生怎样的变化呢。结果如图2–3所示。