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高尔顿的回归分析的局限性
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我还记得在大学的实验实习课上，必须用“在方格纸上标出的圆点中心画一条直线，然后计算这条直线的斜率”这样一个大概在100年前频繁使用的方法作报告。高尔顿就是将这个模拟方法加入了一些数学的模型。
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也就是说，高尔顿的回归分析，只不过是导出了“穿过数据中心的直线以及表示这一直线的公式”。所以，比如说像图5–2、图5–3所示的状况，仅仅依靠高尔顿的回归分析是无法进行区别的。
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图5–2和图5–3通过回归分析所得到的表示，通过中心直线的公式（回归式）全都是y=18+0.8x。也就是说，每当x轴的值增加1，y轴的值就会增加0.8，这是一个成正比的关系。其中18和0.8等用来表现回归式的数值都被称为回归系数。正如我们在中学教科书中学到过的，18被称为截距，0.8被称为斜率。
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图5–2 随机性较小的回归分析
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但是，即便拥有相同的回归式甚至回归系数，图5–2中横轴与纵轴的值很明显是从左下向右上的直线关系，而图5–3中所显示的走向关系则没有图5–2那么清晰。
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毕竟，从杂乱无章的圆点中找到一条通过的直线，并不是一件容易的事。
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那么，这两个图表之间究竟有什么区别呢？
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图5–3 随机性较大的回归分析
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我们假设在这两个图表中随机去掉3个圆点。图5–2中不管去掉哪3个圆点，最后得到的直线仍然不会有变化。而图5–3中如果碰巧去掉最右上的2个圆点以及左下的一个圆点的话，那么穿过中心的直线一定会变得完全不同。
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图5–3变化后的回归式就成了y=103–0.85x。也就是说，仅仅去掉了3个圆点之后，整个图表的函数关系都发生了逆转，x的值每增加1，y的值就会减少0.85（图5–4）。
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这样一来，根据这个回归分析的结果，就不知道要想使y增加时，到底应该增加x还是减少x。比如在商业领域，希望了解销售额（y）的增长和广告量（x）之间有什么关系，可是根据上述的结果，根本不知道究竟应该增加广告还是减少广告，所以这种分析可以说是毫无意义的。
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回归系数本身就有随机性
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上述例子是从20个数据中去掉3个，而实际上这20个数据也是“从自然界无限的数据中偶然得到的数据”。假设最初“偶然”得到的数据只有17个，那么就不一定会得到之前提到过的那种成正比的关系，甚至可能出现像图5–4那样的反比关系。
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图5–4 数据数量发生微弱改变后，关系发生了逆转
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因此在现代统计学中，不仅实际得到的数据本身具有“可能出现较大值，也可能出现较小值”的随机性，就连得到的回归系数的本身也是随机存在的。也就是说，假设从现在开始进行100次从“偶然得到的数据”中求得回归系数的计算，那么一定会“既有可能得出较大的值，也有可能得出较小的值”。
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不只回归系数，就连数据的平均值这么单纯的数值，如果进行多次数据采集并对统计量加以计算的话，每次得出的统计量也是不同的。
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在这里还有一点必须注意，例如从某小学4年级一个班全部40名学生的学习数据中算出回归系数和平均值，即便在这种情况下，也必须考虑统计量的随机性。
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与罗斯福新政的失业率调查不同，采集了全体数据的回归系数必定是单一数值。所以，如果这个回归系数只应用在这个班级的40名学生上，是没有任何误差的。可是这样一来，好不容易收集数据进行分析得出的结果，就只对这个班级的学生有意义了。
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对没见过这40名学生的人来说，根本不在乎他们的成绩如何。但是，如果这个数据能够代表与这40名学生同年龄的孩子的成绩情况，那么对此感兴趣的人的人数一定不少。也就是说，真正有意义的数据是“同年龄全体孩子”这一群体的回归系数，某小学4年级一个班全部40名学生的数据，只是庞大群体中的“一小部分”罢了。
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