1702634784
标准差s的性质
1702634785
1702634786
1702634787
1702634788
• s度量的是以为中心的分布的幅度。只在你用来描述分布的中心时，才可以用s来描述幅度。
1702634789
1702634790
• 只在没有幅度的时候，s才会等于零。这种情况发生在所有观察值都相同的时候。所以，标准差为零代表观察值完全没有分散（全都在同一点上），否则s必然大于零。当观察值离平均数越远时，s就越大。
1702634791
1702634792
例5 投资基础知识
1702634793
1702634794
关于收入的例子已经够多了，现在举一个你赚钱之后如何投资的例子。投资的首要法则是高风险、高回报，至少从长期来看一般如此。金融界人士将风险定义为投资回报的可变性（可变性大意味着风险高），并用投资回报的不可预测程度作为风险的度量工具。钱存在受政府保护的银行账户，有固定的利息，没有风险，因为其回报是完全确定的。新上市的股票可能一周价格猛涨，一周又快速下跌，其有高风险，因为你无法预测卖出时它会值多少钱。
1702634795
1702634796
投资者应该用统计学思考问题，用年投资回报的分布来评估一项投资。这就意味着你需要了解回报分布的中心值和幅度。只有幼稚的投资者才会只关心高回报，却不管风险有多大，也就是回报的分布或变化大不大。金融专家用平均数和标准差描述投资回报的情况，他们一直认为标准差对于公众来说过于复杂，但是你会注意到，在共同基金的投资报告中，会定期出现标准差。
1702634797
1702634798
以下是三项投资在20世纪的后50年（1950~1999年）的年度平均回报率和标准差，这是一段经济快速增长的时期。
1702634799
1702634800
1702634801
1702634802
1702634803
你可以看到，当平均回报上升时，风险（可变性）也上升了，这种情况符合投资理论。短期国债和长期国债都是美国政府的借债工具，短期国债会在一年后偿还，而长期国债是30年期贷款。它们的风险较高，是因为如果利率上升，债券价值就会下降。股票的风险更大，但回报也更高（长期平均而言），要冒价格大起大落的风险。如图12–7所示，在我们的数据所覆盖的这50年里，某一年股价上涨幅度高达50%，还有一年下跌了26%。
1702634804
1702634805
1702634806
1702634807
1702634808
图12–7 普通股1950~1999年的年回报茎叶图。回报四舍五入到整数百分比。茎表示百分比的十位数，叶子表示个位数
1702634809
1702634810
选择描述方式
1702634811
1702634812
五数概括很容易理解，对于大部分的分布而言，它也是最佳的精简描述方式。平均数和标准差比较难懂，却很常用。我们如何决定用哪一种方式来描述分布的中心和幅度呢？让我们先比较一下平均数和中位数。不论用“中间点”还是“算术平均数”（arithmetic average）来描述一组数据的中心，都很合理。但是，二者的概念不同，用处也不一样。它们最重要的差别是，平均数（算术平均数）会因少数极端值而受到很大的影响，而中位数（中间点）则不会。
1702634813
1702634814
例6 平均数和中位数
1702634815
1702634816
表12–1给出了2011~2012赛季洛杉矶湖人队13名球员的大致薪酬。你可以算出这些球员薪酬的平均数为720万美元，中位数是400万美元。
1702634817
1702634818
表12–1 2011~2012赛季洛杉矶湖人队球员的薪酬
1702634819
1702634820
1702634821
1702634822
1702634823
资料来源：薪酬估计值来自www.sportscity.com/NBA/Los-Angeles-Lakers-Salaries.
1702634824
1702634825
为何平均数比中位数高出那么多呢？图12–8是球员薪酬的茎叶图，茎部分代表百万美元数字。这个分布偏向了右边，而且有三个很高的异常值。科比·布莱恩特、保罗·加索尔和安德鲁·拜纳姆的薪酬很高，拉升了薪酬总额。如果我们把异常值排除，其他10名球员的薪酬平均数是350万美元，而中位数的改变不大，从400万美元降至270万美元。
1702634826
1702634827
我们只要提高科比·布莱恩特的薪酬，就可以让薪酬平均数提高到任何我们想要的数字。因为只要有一个异常值一直往上升，平均数就会跟着上升。但对于中位数来说，科比的薪酬只是位于分布顶端的一个观察值，它从2520万美元变成2.52亿美元，一点儿也不会改变中位数的大小。
1702634828
1702634829
1702634830
1702634831
1702634832
图12–8 洛杉矶湖人队球员薪酬茎叶图
1702634833