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• 选择用五数概括还是平均数和标准差来简要描述中心与幅度。
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• 如果观察值的数量足够多，整体形态就会显示出某种规律，可以用平滑曲线来描述。
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密度曲线
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图13–1和图13–2展示了曲线如何代替直方图，描绘分布的整体形状。你可以想象有一条曲线，穿过直方图中各个长方形的顶部，使长方形很不规则的高高低低变得平滑。直方图和这些曲线之间有两个重要的差别。第一，大部分直方图都是用长方形的高度来表示落在每组的观察值个数，或者用长方形的面积表示这些计数；而曲线是用其下方的面积来表示落在该区间的观察值比例。为了做到这一点，我们会选择适当的比例尺，使得曲线下方的总面积恰好是1。这样，我们就可以得到一条“密度曲线”（density curve）了。第二，直方图根据从样本中得到的数据画出。我们用直方图来理解抽取样本的总体的实际分布情况。密度曲线用来反映总体分布的理想形态。
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例1 使用密度曲线
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图13–4是从图13–3复制过来的，是描述1000个样本统计量的直方图和正态曲线。其中比0.51大的观察值占多大比例？在这1000个观察值中，有171个大于0.51的数值，所以这个比例就是171/1000，即0.171。由于0.51正好是直方图上相邻两组的分界点，所以图13–4（a）的阴影柱形的面积占柱形总面积的0.171。
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现在注意观察穿过直方图的密度曲线。这个曲线下方的面积是1，而图13–4（b）中阴影部分的面积代表超过0.51的观察值所占比例，这个面积是0.1667。由此可以看出，密度曲线是一个相当不错的近似方法——0.1667非常接近0.171。
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图13–4 直方图与密度曲线。（a）直方图中的阴影区域面积代表大于0.51的观察值，在1000个观察值中有171个。（b）密度曲线之下的阴影面积代表大于0.51的观察值比例，这个面积是0.1667
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因为密度曲线是对分布进行理想化处理后生成的图形，所以例1当中密度曲线下方的面积，和真正的比例并不相等。虽然曲线是完全对称的，但实际数据只是大致对称。因为密度曲线是对分布的整体形状做平滑处理之后的理想情况，所以在描述大量观察值的时候最有用。
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密度曲线的中心和幅度
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密度曲线可以帮我们进一步了解中心和幅度的量度，中位数和四分位数很容易找到。密度曲线下方的面积，代表落在某个区间的观察值占全体观察值的比例。中位数是左右各有一半观察值的那个点，所以密度曲线的中位数就是“等面积点”（equal-areas point），也就是曲线下方的一半面积在这个点的左边，另一半在它右边。四分位数把曲线下方的面积分成四等分，曲线下方1/4的面积在第一四分位数的左边，3/4的面积在第三四分位数的左边。用目测方法把曲线下方的面积分成四等分，可以大概找到任何密度曲线的中位数和四分位数。
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因为密度曲线是理想化的分布形态，所以对称的密度曲线是百分之百对称的，其中位数就在正中间。图13–5（a）中标示出了对称曲线中位数的位置，对于像图13–5（b）中的偏斜曲线，我们也可以用目测方式大概找出等面积点。
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平均数呢？一组观察值的平均数就是它们的算术平均数。如果我们把观察值想象为摞在跷跷板上的砝码，平均数就是跷跷板的平衡点。这一点对密度曲线来说也是正确的。假如密度曲线的图形是用实心材料做成的，它的平衡点就是它的平均数所在。图13–6展示了平均数的位置。对称曲线因为两侧完全一样，所以平衡点就在其中心位置上。对称密度曲线的平均数和中位数正好相等，如图13–5（a）所示。我们知道偏斜分布的平均数会偏向长尾方向，图13–5（b）展示了，偏斜密度曲线的平均数会比中位数更偏向长尾方向。
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图13–5 两条密度曲线的中位数与平均数，（a）为正态曲线，（b）为右偏曲线
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图13–6 密度曲线的平均数就是它的平衡点
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密度曲线的中位数和平均数
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密度曲线的中位数是等面积点，它将曲线下方的面积分成两个相等的部分。
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密度曲线的平均数是它的平衡点，即重心。如果将这条曲线用固体材料制作成实物，就是它的重心所在位置。
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对称密度曲线的中位数和平均数正好相等，都位于曲线的中心位置上。偏斜曲线的平均数比中位数更偏向长尾方向。
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正态曲线
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