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正态曲线的另一个特别的性质是，只要知道平均数与标准差，整条曲线就完全确定了。平均数把曲线的中心确定下来，标准差决定了曲线的幅度。改变正态分布的平均数并不会改变曲线的形状，只会改变曲线在x轴上的位置。但是，改变标准差却会改变正态曲线的形状，如图13–7所示。标准差较小的分布，分散的范围也比较小，曲线也比较陡。
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正态曲线
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正态曲线是对称的钟形曲线，具备以下性质：
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• 只要知道平均数和标准差，就可以绘制出正态曲线。
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• 平均数决定分布的中心，它就在曲线的对称中心点上。
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• 标准差决定曲线的幅度，标准差是指从平均数到平均数左侧或右侧的曲率改变点的距离。
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为什么正态曲线在统计学中很重要呢？首先，对于某些真实数据的分布，用正态曲线可以做很好的描述。最早用正态曲线来描述数据的是大数学家高斯。天文学家或测量人员仔细重复度量同一个变量时，会有小误差，高斯用这些曲线来描述这些小误差。你有时候会看到有人把正态分布叫作“高斯分布”（Gaussian distribution），就是为了纪念高斯。在19世纪的大部分时间里，正态曲线又叫作“误差曲线”（error curve），因为正态曲线最早是用来描述误差的分布的。当后来发现有些生物学或心理学变量也大致呈正态分布时，误差曲线这个名称就不再使用了。1889年，弗朗西斯·高尔顿率先把这些曲线称作正态曲线，高尔顿是达尔文的表兄弟，他开创了遗传学的统计研究。
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当我们从同一总体中抽取多个样本时，诸如样本统计量、样本平均数这类变量的分布，也可以用正态曲线来描述，比如图13–3和图13–4。抽样调查结果的误差范围，也常用正态曲线来计算。然而，虽然有许多类数据符合正态分布，但也有许多不符合。比如，大部分的收入分布是右偏的，而不是正态分布。非正态分布就和不寻常的人一样，不仅常见，而且有时比正态分布还有趣。
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知识普及 是正态分布吗？
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人的智力水平，是不是符合正态分布？IQ测试的分数的确大致符合正态分布，但那是因为测试分数是根据实验对象的答案计算出来的，而计算方式原本就是以正态分布为目标设计的。想要让智力水平符合正态分布，其前提条件是，大家都同意IQ测试分数可以度量人的智力水平。然而，许多心理学家都不认为世界上有某种人类特征可以被称为“智力”，并且能用一个测试分数来度量。
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68–95–99.7规则
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正态曲线有许多，每一条正态曲线都可以用各自的平均数和标准差来描述。所有正态曲线都有许多共同的特点，特别要说明的是，标准差是正态分布理所当然的量度单位。这件事实反映在下列规则当中。
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68-95-99.7规则
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在任何正态分布当中，大约有：
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• 68%的观察值，落在距平均数一个标准差的范围内。
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• 95%的观察值，落在距平均数两个标准差的范围内。
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• 99.7%的观察值，落在距平均数三个标准差的范围内。
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图13–8展示了68–95–99.7规则。记住这三个数字之后，你可以经常使用正态分布，却不用总做唆的计算。不过，没有哪组数据可以百分之百用正态分布来描述。对于美国学术能力评估测试分数或者蟋蟀的身长，68–95–99.7规则都只是大致正确。
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图13–8 正态分布的68–95–99.7规则
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例2 年轻女性的身高
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18~24岁女性的身高大致是一个平均数为65英寸、标准差为2.5英寸的正态分布。运用68–95–99.7规则，画一幅正态曲线图，如图13–9所示。
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图13–9 年轻女性身高的68–95–99.7规则。这个正态分布的平均数为65英寸，标准差为2.5英寸