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图13–8 正态分布的68–95–99.7规则
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例2 年轻女性的身高
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18~24岁女性的身高大致是一个平均数为65英寸、标准差为2.5英寸的正态分布。运用68–95–99.7规则，画一幅正态曲线图，如图13–9所示。
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图13–9 年轻女性身高的68–95–99.7规则。这个正态分布的平均数为65英寸，标准差为2.5英寸
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正态分布有一半的观察值会在平均数之上，所以年轻女性中应该有一半人的身高超过65英寸。
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正态分布的68%的观察值会落在距平均数一个标准差的范围内，其中的一半，即34%，又会在平均数之上，所以有34%的年轻女性身高在65~67.5英寸的区间内。再加上身高不到65英寸的那50%的年轻女性，可以得知共有约84%的年轻女性身高不足67.5英寸。因此，身高超过67.5英寸的年轻女性占16%。
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正态分布中，95%的观察值落在距平均数两个标准差的范围内。在这个例子中，两个标准差是5英寸，所以有95%的年轻女性身高在60（65–5）英寸到70（65+5）英寸的区间内。
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其余5%的年轻女性的身高在60~70英寸的范围之外。因为正态分布是对称的，所以其中有一半是在身高矮的一边，最矮的年轻女性身高低于60英寸（5英尺）。
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在正态分布中，几乎所有（99.7%）的观察值都落在距平均数三个标准差的范围内，所以几乎所有年轻女性的身高都在57.5~72.5英寸的区间内。
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练习
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13.1 年轻男性的身高。年轻男性的身高大致是一个平均数为70英寸，标准差为2.5英寸的正态分布。请说明95%的年轻男性身高在什么范围内？
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标准分
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珍妮的学术能力评估测试的数学部分的成绩是600分。这个成绩算不算好，得看在所有分数的分布中，600分处于什么位置。学术能力评估测试数学部分的分数大致是一个平均数为500，标准差为100的正态分布。珍妮的600分比平均数高出一个标准差，用68–95–99.7规则，就可以知道她到底考得怎么样（图13–10）。有一半考生的分数低于500分，另有34%的考生分数在500~600分的范围内，所以珍妮比84%的考生考得好。她的成绩报告上不仅会说她考了600分，还会说这个分数是第84百分位数，这是“比84%的考生考得好”的统计说法。
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因为标准差是正态分布最自然的量度单位，所以我们可以换个方式，把珍妮的分数说成是“高出平均数一个标准差”。把观察值以距离平均数几个标准差的方式表达出来，叫作“标准分”（standard score）。
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标准分
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任何观察值的标准分为：
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标准分为1的意思是，观察值在平均数之上一个标准差的位置。标准分为–2，表示该观察值在平均数之下两个标准差的地方。标准分可以用来比较不同分布中的观察值。当然，如果你无法用标准差来描述分布的幅度，就不应该用标准分。也就是说，分布至少要是大致对称的，标准分才适用。
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图13–10 用68–95–99.7规则可以推导出，任一正态分布都有84%的观察值落在平均数以上一个标准差位置的左边。这幅图把这个结果用在美国学术能力评估测试数学部分的分数上
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例3 考试分数