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回归方程式
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当散点图显示出像图15-1那么强的线性相关关系时，用目测法画一条接近所有点的直线是很容易的。然而对图15-2来说，不同的人用目测法，可能会画出很不一样的直线。因为我们想用x来预测y，所以我们想要的直线，是在垂直方向（和y轴平行的方向）上和点尽量接近。在用目测法画直线时，很难只顾及点和直线的垂直距离。而且，用目测法只能在图上画出直线，却得不到线性方程式。我们需要找一个办法，根据数据找出垂直方向上距离那个点最近的线性方程式。有许多不同方法可以使垂直距离“越小越好”，其中最常用的就是“最小二乘法”（least-squares）。
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用最小二乘法找出回归直线
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用最小二乘法找到的回归直线，是使所有数据点距离直线的垂直距离的平方和最小的直线。
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图15-3展示了最小二乘法的概念。这个图把图15-1的中间部分放大，聚焦在三个点上。图中画出了这三个点与回归直线之间的垂直距离。要用最小二乘法找出回归直线，就必须用到所有的垂直距离，把每一个距离值平方，然后移动直线，直到距离平方和的值达到最小。图15-1和图15-2的散点图中所画的直线，就是用最小二乘法找到的回归直线。我们无须列出计算公式，这是电脑的工作。
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图15-3 找到回归直线的目的是从x预测出y
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要写出这个线性方程式，还像以前一样，x代表解释变量，y代表反应变量。方程式如下：
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y=a+bx
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b是直线的“斜率”（slope），就是x增加一个单位时y的改变量。a是“截距”（intercept），是当x=0时y的值。要利用这个方程式做预测，只要把x值代入方程式中，计算出y值即可。
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知识普及 向平均数回归
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“回归”这个词本来的意思是往回走，为什么利用解释变量来预测反应变量的统计方法要叫作“回归”呢？最先把回归方法用在生物与心理学数据上的高尔顿爵士，检视了诸如儿童身高与其父母身高之间的相关关系等。他发现身高超过平均数的父母，通常孩子的身高也超过平均数，但是并没有父母那么高。高尔顿称这种现象为“向平均数回归”，之后这种统计方法便以此命名。
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例3 应用回归方程式
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在例1中，我们用一种简便的方法预测了股骨为50厘米的化石的肱骨长度。其线性回归方程式是：
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肱骨长度=-3.66+（1.197×股骨长度）
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这条直线的斜率是b=1.197。这表示对于这些化石来说，股骨长度每增加1厘米，肱骨长度就会增加1.197厘米。回归直线的斜率对于理解数据来说通常很重要，斜率是变化率，即当x增加一个单位时y的改变量。
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线性回归方程式的截距是a=-3.66，它是当x=0时y的值。虽然要画出直线需要知道截距，但是只有当x的值实际上有可能接近于0时，截距才有统计意义。而股骨长度不可能是0，所以截距没有统计意义。
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要用方程式来做预测，只要把x值带入方程式中算出y即可。对应50厘米长的股骨，化石的肱骨长度预测值是：
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肱骨长度=-3.66+1.197×50=56.2厘米
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要在散点图上画出这条直线的话，用两个不同的x值分别计算出y值，就可以得到两个点，把它们连接起来就是我们要的直线了。
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练习
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15.1 始祖鸟化石的肱骨长度。用线性回归方程式
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肱骨长度=-3.66+1.197×股骨长度
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预测一件股骨为70厘米长的始祖鸟化石的肱骨长度。
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了解预测的意义