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图15-3展示了最小二乘法的概念。这个图把图15-1的中间部分放大，聚焦在三个点上。图中画出了这三个点与回归直线之间的垂直距离。要用最小二乘法找出回归直线，就必须用到所有的垂直距离，把每一个距离值平方，然后移动直线，直到距离平方和的值达到最小。图15-1和图15-2的散点图中所画的直线，就是用最小二乘法找到的回归直线。我们无须列出计算公式，这是电脑的工作。
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图15-3 找到回归直线的目的是从x预测出y
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要写出这个线性方程式，还像以前一样，x代表解释变量，y代表反应变量。方程式如下：
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y=a+bx
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b是直线的“斜率”（slope），就是x增加一个单位时y的改变量。a是“截距”（intercept），是当x=0时y的值。要利用这个方程式做预测，只要把x值代入方程式中，计算出y值即可。
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知识普及 向平均数回归
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“回归”这个词本来的意思是往回走，为什么利用解释变量来预测反应变量的统计方法要叫作“回归”呢？最先把回归方法用在生物与心理学数据上的高尔顿爵士，检视了诸如儿童身高与其父母身高之间的相关关系等。他发现身高超过平均数的父母，通常孩子的身高也超过平均数，但是并没有父母那么高。高尔顿称这种现象为“向平均数回归”，之后这种统计方法便以此命名。
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例3 应用回归方程式
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在例1中，我们用一种简便的方法预测了股骨为50厘米的化石的肱骨长度。其线性回归方程式是：
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肱骨长度=-3.66+（1.197×股骨长度）
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这条直线的斜率是b=1.197。这表示对于这些化石来说，股骨长度每增加1厘米，肱骨长度就会增加1.197厘米。回归直线的斜率对于理解数据来说通常很重要，斜率是变化率，即当x增加一个单位时y的改变量。
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线性回归方程式的截距是a=-3.66，它是当x=0时y的值。虽然要画出直线需要知道截距，但是只有当x的值实际上有可能接近于0时，截距才有统计意义。而股骨长度不可能是0，所以截距没有统计意义。
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要用方程式来做预测，只要把x值带入方程式中算出y即可。对应50厘米长的股骨，化石的肱骨长度预测值是：
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肱骨长度=-3.66+1.197×50=56.2厘米
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要在散点图上画出这条直线的话，用两个不同的x值分别计算出y值，就可以得到两个点，把它们连接起来就是我们要的直线了。
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练习
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15.1 始祖鸟化石的肱骨长度。用线性回归方程式
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肱骨长度=-3.66+1.197×股骨长度
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预测一件股骨为70厘米长的始祖鸟化石的肱骨长度。
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了解预测的意义
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电脑使预测变得很容易而且是全自动的，即使对大量的数据而言也是一样。任何可以用全自动方式处理的事，处理时通常是不经过思考的。比如，即使数据之间存在曲线相关关系，回归软件仍然“乐于”给它们匹配（fitting）一条直线。此外，电脑也不能自行决定谁是解释变量，谁是反应变量。这一点很重要，因为如果解释变量不同，同一组数据会呈现出两条不一样的直线。
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在实际应用时，我们常常用多个解释变量来预测一个反应变量。大学在处理入学申请时，可能会用学术能力评估测试的数学与阅读分数，再加上高中时期的英语、数学与科学成绩（共5个解释变量）来预测大一新生的表现。虽然细节很复杂，但是所有用来预测反应变量的统计方法，都和线性回归方程式有一些共同的基本性质。
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• 预测根据的是为数据匹配的某个“模型”（model）。在图15-1和图15-2里，模型就是穿过散点图中的点的一条直线。其他的预测方法会使用较复杂的模型。
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