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再看一下图15-1。这5件化石的肱骨长度的变异性很大，最短的是41厘米，最长的是84厘米。从散点图上可以看出，我们只要看看股骨长度和回归直线，就几乎可以解释所有的变异值了。当股骨长度增加时，肱骨长度也会随之增加。除此之外，肱骨长度的变异值就没剩几个了。剩下的这些变异值，从图上看，就是与直线还有些距离的点。因为这组数据的r=0.994，所以r2=0.9942=0.988，也就是说，由于股骨长度增加而使肱骨长度也随之增加，可以解释肱骨长度98.8%的变异值。散布在直线两侧的点只是剩下的1.2%的变异值，这说明预测得很准。
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再看一下图15-2。1980年和1984年的民主党支持率之间虽然存在线性相关关系，但是点在直线两侧的位置比较分散。这组数据的r=0.704，r2=0.496，我们观察到的1984年民主党支持率的变异值，大约只有一半可以用回归直线来解释。把1980年民主党支持率为45%的州和支持率为30%的州做比较，你还是会预测前者在1984年的民主党支持率更高。但是，在1980年民主党支持率相同的各州，1984年的支持率有不小的变异。造成这部分变异的是其他原因，诸如两次选举的主要议题不同，以及里根的两位民主党竞争对手来自不同地区等。
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通常在报告回归直线时，也会同时提到r2的值，它被当作回归直线预测反应变量有多成功的一个指标。当你看到一个相关系数的时候，把它平方，你会更清楚相关性的强度。完全相关系数（r=-1或r=1）代表所有的点都落在一条直线上，此时r2=1，表明一个变量的所有变异值，都可以用它和另一个变量的线性相关关系来说明。若r=-0.7或r=0.7，则r2=0.49，表明只有差不多一半的变异值可以用线性相关关系来解释。以r2的值为标准的话，相关系数±0.7差不多在0和±1的中间。
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练习
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15.2 棒球场。表14-2给出了大联盟棒球赛各个场地一瓶16盎司汽水的价格和一个热狗的价格。它们之间的相关系数r=0.45。热狗价格中有多大比例的变异值可以由热狗价格与16盎司汽水价格的线性回归方程式来解释？
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因果关系
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抽烟和肺癌死亡率之间有很强的相关性，那么，是不是抽烟导致人们患肺癌呢？在一个国家里，容不容易取得手枪和该国枪杀事件的发生率之间也有很强的相关性，那么，容易取得手枪是否导致发生更多谋杀案？香烟包装上已明白写着吸烟导致癌症，而有更多的人拥有手枪是否导致更多谋杀案却引起了热烈的辩论。为什么呢？我们已经知道统计数据中与因果关系有关的三大事实。
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统计数据与因果关系
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• 即使两个变量间有很强的相关性，也不一定意味着改变其中一个变量的值会引起另一个变量值的改变。
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• 两个变量之间的相关性，常常受其他潜在变量的影响。
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• 证明存在因果关系的最好证据，来自随机比较实验。
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例6 看电视会延长人们的预期寿命吗？
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统计一下世界各国人均拥有的电视机台数x和民众的预期寿命y，你会发现两者之间存在很强的正相关关系：人均拥有电视机数量多的国家，其民众的预期寿命也比较长。
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因果关系的基本意义是，只要改变x的值，就可以使y的值改变。我们能不能运一堆电视机到博茨瓦纳，以延长那里的民众预期寿命呢？当然不行。富国的电视机数量比穷国多，而富国民众的预期寿命之所以长，是因为他们有较好的营养条件、干净的水以及较好的医疗资源。电视机数量与预期寿命之间没有因果关系。
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例6说明了三大事实的头两项。这类相关被叫作“胡说相关”：相关是事实，胡说的部分是“改变其中一个变量的值会导致另一个变量值的改变”的结论。像例6中的国家财富这种潜在变量会同时影响x和y的值，形成x和y之间的强相关关系，即使x和y之间其实并没有什么直接的关系。我们称其为“共同反应”（common response），即解释变量和反应变量都会对某个潜在变量产生反应。
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“依照第三世界的新脱贫计划，援助组织今天开始送出100000台电视机。”
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例7 女童肥胖症
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是什么原因导致了儿童肥胖症？遗传因素、饮食无度、缺乏体育锻炼和看电视时间长都被视为解释变量。
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一项对美籍墨西哥裔的9~12岁女童的研究结果具有一定的代表性。研究者测量了那些女童和她们母亲的身体质量指数（BMI），这是一个体重相对于身高的量度，BMI高的人偏重或肥胖。他们还记录了她们看电视的时间、体育锻炼的分钟数以及一些食物的摄入量。结果表明，女童的BMI与体育锻炼、饮食和看电视之间具有弱相关关系（r=-0.18），而较强的相关关系（r=0.506）存在于女童和她母亲的BMI之间。
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体重部分取决于遗传因素。女儿的一半基因来自母亲，所以她们的BMI之间存在直接的因果关系。当然，这种因果关系并不完全。母亲的BMI只解释了女儿BMI的25.6%（r2）的变异值，该项研究测量的其他因素也影响了女童的BMI。
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我们可以用例7中的r或r2说明有多少遗传因素对女童的BMI产生了影响吗？不能。还记得交叉影响吗？BMI高的母亲很可能给女儿做了少锻炼、过量饮食和长时间看电视的坏榜样，女童也有了这些坏习惯，从而遗传因素的影响和环境的影响混杂在一起。因此，我们无法说清楚母亲和女儿BMI之间的相关性有多少来自遗传因素。
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图15-5表明如何用变量间的潜在联系来解释相关性。虚线代表变量x和y之间可以观察到的相关性，一些相关性可由变量间的直接因果关系解释。图15-5的第一个图用x到y的箭头表明“x造成了y”。第二个图表示的是共同反应，即x和y之间的相关性是由潜在变量z造成的。这种共同反应即便在x和y之间没有直接关系的情况下也可以构成相关性。第三个图展示了交叉影响，解释变量x和潜在变量z可能一起影响了反应变量y。变量x和z之间是相关的，所以无法区分出z和x各自对y产生的影响。
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在例7中，母亲和女儿的BMI之间存在着因果关系。尽管如此，研究测量的其他一些因素也影响了女儿的BMI。这是一个交叉影响的例子，在图15-5的（c）上，x代表母亲的BMI，z代表其他因素，y代表女儿的BMI。
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