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体重部分取决于遗传因素。女儿的一半基因来自母亲，所以她们的BMI之间存在直接的因果关系。当然，这种因果关系并不完全。母亲的BMI只解释了女儿BMI的25.6%（r2）的变异值，该项研究测量的其他因素也影响了女童的BMI。
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我们可以用例7中的r或r2说明有多少遗传因素对女童的BMI产生了影响吗？不能。还记得交叉影响吗？BMI高的母亲很可能给女儿做了少锻炼、过量饮食和长时间看电视的坏榜样，女童也有了这些坏习惯，从而遗传因素的影响和环境的影响混杂在一起。因此，我们无法说清楚母亲和女儿BMI之间的相关性有多少来自遗传因素。
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图15-5表明如何用变量间的潜在联系来解释相关性。虚线代表变量x和y之间可以观察到的相关性，一些相关性可由变量间的直接因果关系解释。图15-5的第一个图用x到y的箭头表明“x造成了y”。第二个图表示的是共同反应，即x和y之间的相关性是由潜在变量z造成的。这种共同反应即便在x和y之间没有直接关系的情况下也可以构成相关性。第三个图展示了交叉影响，解释变量x和潜在变量z可能一起影响了反应变量y。变量x和z之间是相关的，所以无法区分出z和x各自对y产生的影响。
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在例7中，母亲和女儿的BMI之间存在着因果关系。尽管如此，研究测量的其他一些因素也影响了女儿的BMI。这是一个交叉影响的例子，在图15-5的（c）上，x代表母亲的BMI，z代表其他因素，y代表女儿的BMI。
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图15-5 相关性的解释。虚线表明相关性，箭头代表直接的因果关系。x是解释变量，y是反应变量，z是潜在变量
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共同反应和交叉影响都包含了潜在变量z对反应变量y的影响。我们无法区分这两种关系的不同，只能记住，在考虑变量之间的关系时，一个值得汲取的建议是“留意潜在变量”。
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例8 学术能力评估测试分数和大学的学习成绩
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在学术能力评估测试中，得高分并不意味着在大学也会取得好成绩。两者之间的相关性（r2是27%）表明学习能力、习惯和保持头脑清醒等变量在其中共同发生作用。图15-5（b）展示了这种情况，z代表学习能力，x代表学术能力评估测试分数，y代表大学的成绩。
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在学术能力评估测试中，考高分的能力部分预测了大学的学习表现，但二者之间不是因果关系。我们只需要知道学术能力评估测试分数和大学成绩在过去几年的关系，将继续对今年的高中毕业生有效。再想想前面讲过的始祖鸟化石的例子，股骨长度很准确地预测了肱骨长度。这种强相关关系可以用始祖鸟的年龄和体型大小的共同反应来解释。因此，预测并非一定要有因果关系。
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以上例子的讨论带来了更多关于因果关系的事实：
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统计数据与因果关系（续）
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• 两个变量之间的关系可能源于直接的因果关系、共同反应或交叉影响。其中两个或多个因素可能会同时起作用。
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• 只要过去的数据表现出的模式仍有效，那么不需要有因果关系，也可以用来做预测。
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【统计学中的争议】 枪支管制和犯罪率
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严格管制枪械，尤其是手枪，是不是能减少犯罪率呢？对许多人来说，答案是肯定的。在美国所有的谋杀案中，超过一半的凶器是手枪。美国的谋杀率（以每10万人口计）是加拿大的1.7倍，以手枪为凶器的谋杀率，更是比加拿大高出15倍。显然，手枪助长了犯罪案件的发生。芝加哥大学的经济学家约翰·洛特做了一项大规模的统计研究，用了1977~1994年的18年间美国所有3054个县的数据。洛特发现，在许多州放松枪械管制，允许成年人携带枪支之后，犯罪率下降了。他的结论是，拥有枪支让人们可以自卫，也让罪犯有所畏惧，所以犯罪率下降了。
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洛特用线性回归的方法来寻找犯罪率和许多解释变量之间的关系，并且通过对其他解释变量做出调整，将允许个人持有枪支的效应分离出来。你可以在www2.lib.uchicago.edu/~llou/guns.html上找到洛特的研究成果。
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洛特的观点引发的争论非常热烈，至今还在进行。人们对于枪支管制的反应很强烈，大部分人对洛特研究的反应，是根据他们喜不喜欢他的结论而定的。支持个人拥有枪支的人把洛特形容成摩西，终于将真相呈现在世人面前；反对者却认为他既不对又邪恶。
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洛特的观点到底对不对？根据你所学的统计学知识，你认为他的这项研究中存在什么缺陷？
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练习
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15.3 汽水价格和热狗价格。表14-2列出了大联盟棒球赛各个场地的一瓶16盎司汽水的价格和一个热狗的价格，它们之间的相关系数r=0.45。你认为这种关系是源于直接的因果关系、共同反应、交叉影响还是兼而有之？解释你的答案。
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因果关系的证据
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尽管存在困难，有时候仍可以在不做实验的情况下给出一个强因果关系的例子。吸烟导致肺癌，就是这样一个没有足够证据的例子。
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长期以来，医生观察到大多数肺癌患者都吸烟。研究比较了吸烟者和“相似的”（指在年龄、性别和健康状况方面）不吸烟者，结果显示在吸烟和患肺癌之间具有强相关关系。这种相关性是否由研究中无法测量的一些潜在变量导致的？比如存在一种使人更易对尼古丁上瘾和罹患肺癌的遗传因子？即便吸烟对于肺部没有直接影响，吸烟和肺癌也是强相关关系。这些反对意见该如何应对？
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让我们用通用的术语回答这个问题吧。当我们无法做实验时，确定因果关系的标准是什么呢？