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20.25 网上练习。如练习19.25所说，有一些网站可以生成随机数字。这些网站能够在做模拟选取随机数字时替代表A。第2章例4提到的Research Randomizer（www.randomizer.org）就是这样的网站。为了使用Research Randomizer做模拟，你需要在“你希望集合中的每个数是唯一的吗”这个问题跳出来时选择“no”，这样就可以让同一数字重复出现。如果你做过了练习20.14、20.17、20.18、20.19、20.20、20.21、20.22中的任何一个，用Research Randomizer替代表A作为随机数字生成器，重新做模拟。
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20.26 网上练习。有关篮球运动员的信息可以在www.basketball-reference.com网站上查找。找到史蒂夫·纳什的职业生涯三分球数据（纳什是三分球命中率最高的运动员之一），平均而言，在一场比赛中，他要投多少个三分球才能命中一个？换言之，我们想知道他在投中第一个三分球之前需要投篮多少次。做10次模拟直到他投中第一个三分球，估算这个期望值。
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统计学的世界（第8版） 第3部分 内容回顾
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有些现象是随机的，虽然其各个结果事前无法预知，长期下来却呈现出一种有规则的模式。赌博用具（色子、轮盘赌）和抽取简单随机样本都是随机现象的例子。概率和期望值是我们描述随机性的语言。随机性其实是某种秩序，它有一种长期规律性，既非毫无章法，也不能事前预知事件的结果。在第17章我们讨论了随机性，在第18章提出了一些和概率相关的基本事实，在第20章介绍了期望值。
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当有随机性存在时，概率可以回答“长期下来某事件有多频繁地发生”这样的问题，期望值可以回答“长期下来平均数是多少”这样的问题。由于期望值用概率来定义，两个问题的答案因此息息相关。概率模型对所有可能的结果分配概率，任何一个概率模型都必须符合概率规则。有一种概率模型用的是密度曲线，例如用正态分布曲线下方的面积来分配概率。个人概率代表对于某个事件有多大机会发生的个人判断。个人概率要合理，就必须符合概率规则。
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如果要计算一个较复杂事件的概率，而且不用数学方法，那么可以用随机数字来模拟许多次。期望值也可以用模拟方法来估算，第19章教你如何做模拟。先要建立所有可能结果的概率模型，然后分配随机数字来模拟概率的分配，之后再用随机数字表模拟许多回合。把某一事件在多次模拟中的发生频率记录下来，就可以当作对该事件发生概率的估计，把平均结果记录下来就可以估计期望值。
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重要知识点
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以下是你读完本书第17~20章后，应该掌握的重要知识点。
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A.随机和概率
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• 分得出有些现象是随机的，概率可以描述随机现象的长期规律性。
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• 了解某件事的发生概率，是指某一随机现象重复许多次以后，该事情发生次数的比例。用“概率是长期比例”这个概念来思考概率问题。
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• 了解随机现象在短期之内并不一定会显示出概率所描述的规律性。相信随机现象在短期内是无法预测的，并且不要试图为随机发生的结果寻找可能的解释。
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B.概率模型
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• 能根据基本的概率规则，判断出不合理的概率分配。任意概率都应该是在0~1之间的数，而且分配给所有可能结果的概率之和必定是1。
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• 能根据基本的概率规则，算出其他事件的发生概率；一个事件不发生的概率，是1减去它的发生概率。如果两个事件不可能同时发生，则至少其中之一会发生的概率，是两个事件各自发生概率之和。
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• 将概率分配给各个结果，若要估算某一事件的发生概率，就把组成该事件的各个结果的概率加起来。
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• 若概率是根据正态分布曲线来分配的，要估算某一事件的发生概率，就去看曲线下方的面积。
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C.期望值
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• 所谓期望值，就是随机现象重复许多次之后所得数值结果的平均数。
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• 能根据所有可能结果及其概率的概率模型来算出期望值（如果结果是数值）。
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D.模拟
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• 能建立简单的概率模型为每一个不同阶段分配概率，各个阶段之间彼此独立。
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• 会借助随机数字表来做模拟。
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