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想要估计比例p，先要明确“成功”指什么。新闻报道说有20%的青少年吸烟，这令人震惊。而事实上，这个比例是指上个月至少抽过一次烟的青少年的百分比。如果我们把吸烟者定义为过去30天中至少有20天抽过烟，且在抽烟的日子里每天至少抽半包烟，那么青少年中的吸烟者比例不足4%。
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因为两张图比一张图好，我们在图21-4里就从另外一个角度来看置信区间。例4和图21-3强调的是，反复抽样的结果会不同，而我们只能够确认95%的样本会产生正确的结果。图21-4是从问题的背后进行探讨。垂直直线代表总体比例的真实值p，图上方的正态曲线是样本统计量的抽样分布，中心在p值的位置上。我之说以说这是从问题的背后探讨，是因为在真实世界中我们通常是不知道p值的。
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从25个简单随机样本得到的25个95%置信区间，分别被标示在正态曲线下方。箭头线段上的黑点代表值，位于区间的正中央，点两边的箭头一直延伸到区间的两端。长期下来，所有区间中有95%会涵盖真实的p值，有5%则不包含真实的p值。在图21-4的25个区间当中，有24个包含了真实参数值，有一个没有。（记住，概率描述的是长期的情况，因此我们不能期望25个区间中恰好有95%包含真实参数值。）
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图21-4 从同一总体中抽出的25个样本所产生的25个95%置信区间。长期来说，在这样的区间中，有95%会包含真实的总体比例，在这个图里表示为垂直直线
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我们的区间只是近似的95%置信区间，而不是确切的95%置信区间。原因有两个：样本比例的抽样分布并不是百分之百的正态分布，值的标准差也不完全正确，因为我们在公式中用替代了未知的p。这两个弱点造成的影响，会随着样本量n的增加而减小。所以，我们的公式只适用于较大的样本，而且，我们的方法假设总体很大——至少是样本量的10倍。专业的统计学家使用较复杂的方法，会把总体规模也纳入考虑，所以这些方法，也适用于小样本。但是，我们的方法在实际情况中已经够好用的了，更重要的是，这个方法让我们学到怎样从统计量的抽样分布中找到置信区间。任何置信区间背后的道理都是这样。
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总体比例的置信区间
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我们用了68-95-99.7规则中的95的部分，得到总体比例的95%置信区间。也许你觉得一个在95%的时候管用的方法还不够好，希望能有99%的置信度。这样一来，你必须先找到正态分布的中间99%的部分在哪里。对任意在0~1之间的概率C，都存在一个数字z*，使得任何正态分布在平均数两侧z*个标准差范围内的概率是C。图21-5展示出概率C和z*之间的关系。
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图21-5 正态分布的临界值z*。在任何正态分布中，在平均数两侧z*个标准差范围内，曲线下方的面积（概率）是C
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表21-1里有不同C值对应的z*值。为了方便应用，表中的C用百分比表示，z*被称为正态分布的“临界值”（Critical value）。从表21-1可以看出，任意正态分布在平均数±2.58个标准差范围内的概率是99%，任意正态分布在平均数±1.96个标准差范围内的概率是95%。在68-95-99.7规则中，用2来代替临界值z*=1.96，就实际应用来说已经够好了，但表21-1中是更精确的C值。
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表21-1 正态分布的临界值
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从图21-5可以看出，样本比例p的值会落在p的z*个标准差范围内的概率是C。也就是说，从观察到的p值往两侧各延伸z*个标准差所得到的区间，会包含未知的p的概率是C。的标准差用估计值代替，就可以得到下面的公式。
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总体比例的置信区间
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从一个总体中抽取一个大小为n的简单随机样本，总体中的成功比例为p，样本中的成功比例为。当n足够大时，在置信度为C的情况下，p的置信区间为：
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公式中的z*是表21-1中对应置信水平C的临界值。
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例5 99%置信区间
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