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图21-4 从同一总体中抽出的25个样本所产生的25个95%置信区间。长期来说，在这样的区间中，有95%会包含真实的总体比例，在这个图里表示为垂直直线
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我们的区间只是近似的95%置信区间，而不是确切的95%置信区间。原因有两个：样本比例的抽样分布并不是百分之百的正态分布，值的标准差也不完全正确，因为我们在公式中用替代了未知的p。这两个弱点造成的影响，会随着样本量n的增加而减小。所以，我们的公式只适用于较大的样本，而且，我们的方法假设总体很大——至少是样本量的10倍。专业的统计学家使用较复杂的方法，会把总体规模也纳入考虑，所以这些方法，也适用于小样本。但是，我们的方法在实际情况中已经够好用的了，更重要的是，这个方法让我们学到怎样从统计量的抽样分布中找到置信区间。任何置信区间背后的道理都是这样。
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总体比例的置信区间
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我们用了68-95-99.7规则中的95的部分，得到总体比例的95%置信区间。也许你觉得一个在95%的时候管用的方法还不够好，希望能有99%的置信度。这样一来，你必须先找到正态分布的中间99%的部分在哪里。对任意在0~1之间的概率C，都存在一个数字z*，使得任何正态分布在平均数两侧z*个标准差范围内的概率是C。图21-5展示出概率C和z*之间的关系。
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图21-5 正态分布的临界值z*。在任何正态分布中，在平均数两侧z*个标准差范围内，曲线下方的面积（概率）是C
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表21-1里有不同C值对应的z*值。为了方便应用，表中的C用百分比表示，z*被称为正态分布的“临界值”（Critical value）。从表21-1可以看出，任意正态分布在平均数±2.58个标准差范围内的概率是99%，任意正态分布在平均数±1.96个标准差范围内的概率是95%。在68-95-99.7规则中，用2来代替临界值z*=1.96，就实际应用来说已经够好了，但表21-1中是更精确的C值。
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表21-1 正态分布的临界值
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从图21-5可以看出，样本比例p的值会落在p的z*个标准差范围内的概率是C。也就是说，从观察到的p值往两侧各延伸z*个标准差所得到的区间，会包含未知的p的概率是C。的标准差用估计值代替，就可以得到下面的公式。
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总体比例的置信区间
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从一个总体中抽取一个大小为n的简单随机样本，总体中的成功比例为p，样本中的成功比例为。当n足够大时，在置信度为C的情况下，p的置信区间为：
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公式中的z*是表21-1中对应置信水平C的临界值。
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例5 99%置信区间
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BRFSS在2010年访问了一个包含6911名加州大学毕业生的随机样本，发现792人在过去一年有过酗酒经历。我们想找出所有加州大学毕业生在过去一年中酗酒人数比例的99%置信区间。在表21-1中，对应99%置信度，z*=2.58个标准差。以下是计算过程：
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我们有99%的把握认为，真实的总体比例在0.1052~0.1248之间。也就是说，我们得到这个区间的方法，在99%的时候会产生正确的结果。
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比较例5和例3中95%置信区间的计算过程，会发现两者唯一的差别就在于，95%置信度时所用的2在99%置信度时被临界值2.58所取代。这样做导致99%置信度的误差范围较大，置信区间较宽。较高的置信度可不是免费的，代价就是较宽的置信区间。从图21-5可以看出为什么会这样。要涵盖正态曲线下方的较大面积，从中心点往两边走的距离就会远一些。
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练习