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图21-7的其他三条密度曲线分别展示了从总体中抽取2、10和25个样本的平均数的抽样分布。当样本量增大时，分布的形状变得更接近于正态分布了。平均数保持不变，标准差以μ/的比例减小。10个观察值的分布仍有点儿右偏，但已经接近于正态分布了；n=25的密度曲线更接近于正态分布。总体平均数的分布和10个、25个观察值的平均数分布相较，二者的区别很明显。
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图21-7 样本平均数的分布在样本量增大时会更接近于正态分布。单一观察值（n=1）的分布远非正态分布。2、10和25个观察值的平均数的分布越来越接近于正态分布
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总体平均数的置信区间
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的标准差同时取决于样本量n和标准差σ。我们知道n，但不知道σ。当n很大时，样本标准差s接近于σ，而且可以用s来估算σ，就像我们用样本平均数估算总体平均数μ一样。因此，估算标准差的公式就是s/。
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现在，我们可以用计算p的置信区间的方法算出μ的置信区间。最重要的是，为了覆盖正态曲线下的中心区域C，我们必须从平均值开始向两侧各延伸z*个标准差的距离。从图21-5中可以看出C和z*之间的关系。
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总体平均数的置信区间
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从一个平均数为μ的大型总体中抽出一个样本量为n的简单随机样本，这个样本的平均数是。当n足够大时，μ的近似置信度C的置信区间是：
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其中z*是置信度C的临界值（表21-1）。
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我们在估算p时的提醒也适用于此，这个方法只在样本为简单随机样本且样本量n足够大时才有效。样本量多大才算足够大呢？答案取决于总体分布的真实形状。样本量n≥15通常足够大了，除非存在极端的异常值或明显的偏斜。对于明显偏斜的分布，样本量n≥40通常足够大了，如果没有异常值出现。
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当样本量n增加时，误差范围也以的比例减小。和s受异常值的影响很大，当出现异常值时，用和s做统计推断是存疑的，应该留意观察你的数据。
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例7数学测试平均分
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全美教育计划评估（NAEP）中包括一个对中学高年级学生的数学测试，分数范围为0~300。用毕达哥拉斯定理计算直角三角形的斜边长度，就是基础水平要求掌握的一个知识技能，高级水平要求掌握的知识技能之一是用三角函数计算三角形的边长。
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2009年，有51000名12年级学生作为NAEP的样本参加了数学测试。平均分=153，标准差s=34。假设这51000名学生是全体12年级学生的一个随机样本，基于这个样本，我们如何估计所有12年级学生的平均分μ？
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μ的95%置信区间的计算，采用表21-1的临界值z*=1.96。这个置信区间是：
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我们有95%的把握认为，所有12年级学生的数学平均分在152.7到153.3之间。
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练习