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有r行和c列的双向表所对应的卡方检验，用的是自由度为（r－1）（c－1）的卡方分布之临界值。
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图24-2中画出了三种卡方分布的密度曲线。当自由度增加时，密度曲线的偏斜程度会减小，而较大值出现的可能性加大。我们没有办法用纸笔计算出卡方分布密度曲线下方的面积从而找出P值，但可以用软件来算。表24-1是一条捷径，它列出了在不同的显著性水平下，卡方统计量χ2的值至少要多大，才能使结果具有统计学显著性。这虽然不如实际找出P值那么好，但通常也足够好了。每一种自由度在表中对应不同的行，比如我们可以从表中查到自由度为3的卡方统计量，如果值大于7.81，则有5%的统计学显著性水平；如果值大于11.34，则有1%的统计学显著性水平。
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图24-2 卡方分布组中三个成员的密度曲线
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表24-1 要在水平为α时具有统计学显著性，卡方统计量的值必须大于α对应的那一行的值
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例5 可卡因成瘾
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我们已经看到，去郁敏比锂盐、安慰剂明显有更多的成功案例，而失败案例较少。在比较观察到的计数和预期计数之后，我们可以得出卡方统计量χ2=10.5。最后一步是显著性评估。
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可卡因成瘾实验的双向表由三种处理方式和两种结果组成，共有3行2列，即r=3，c=2。卡方统计量的自由度是：
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（r－1）（c－1）=（3－1）（2－1）=2
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在表24-1中查看自由度df=2那一行，可以看到χ2=10.5大于α=0.01的显著性水平所对应的临界值9.21，而小于α=0.001的显著性水平对应的临界值13.82。因此，处理方式和戒瘾成功之间存在具有统计学显著性的相关关系（P＜0.01）。
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显著性检验只能证明处理方式和戒瘾成功之间有某种相关关系。我们还要检视双向表，了解这种关系的本质：去郁敏比另外两种处理方式对戒除可卡因瘾更有效。
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练习
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24.3 玩游戏和学习成绩。计算机、视频、在线和虚拟现实游戏的普及，引发了它们是否会对年轻人产生负面影响的讨论。近期的一项调查对康涅狄格州高中的1808名14~18岁的学生，按照其学习成绩和是否玩过这类游戏进行分类。下表是该调查发现的情况，同时给出了观察到的计数和预期计数：
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从上面的计数中，我们算出卡方统计量为6.74。这个研究是否能证明在玩游戏和考试成绩之间存在具有统计学显著性的相关关系？使用显著性水平0.05。
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如何应用卡方检验
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就像我们对总体比例做的检验一样，卡方检验也用了一些近似结果。观察值越多，结果就越精确。以下是何时适合使用卡方检验的大致规则。
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应用卡方检验所需的每格计数的下限
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当预期计数小于5的格所占比例不超过20%，而且每一格的预期计数都至少是1时，就可使用卡方检验。
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可卡因成瘾实验轻易就满足了这一要求，它所有格的预期计数不是8就是16。
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例6 易怒的人是否更易患心脏病？
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易怒的人似乎比较容易患心脏病。这是一项历时约4年的研究所得出的结论，该研究追踪了三地共计12986人的随机样本。所有实验对象在研究开始之前都没有心脏病，他们接受了斯皮尔伯格发怒量表测试，该量表用来度量一个人的易怒程度。以下是样本中血压正常的8474人的数据。CHD代表冠心病患者，包括患过急性心脏病的人，以及需要治疗的心脏病患者。
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