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辛普森悖论
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在有数值变量的情况下，潜在变量的影响会改变甚至消除两个类别变量之间的关系。我们继续研究例1和例2所提及的招生性别歧视问题。为了便于说明问题，这些数字都做了人工处理，但足以展示经常在实际数据中出现的情况。
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例7 招生性别歧视
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一所大学计划只招收两个专业的学生，一个是工程学，一个是英语。申请这两个专业是竞争性的，女权组织怀疑在录取过程中存在歧视女性的问题。他们从该所大学获得了以下数据，这是一个关于所有申请人的性别和录取状态的双向表：
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我们研究了例1和例2中的数据，发现在申请者的性别和录取比例之间存在相关性。特别是：
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啊哈！近乎一半的男性申请者被录取了，而女性申请者中只有1/3的人被录取。这难道不是歧视女性的证据吗？
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该大学回复说，尽管这个相关性是正确的，但这并不是因为歧视女性。为了做出反驳，该大学列了一个三向表（three-way table），将申请者按照性别、录取状态和申请专业进行分类。我们把一个三向表用两个或更多个双向表并排展示出来，每个表示三个变量中的一个。在这里是两个双向表，每个代表一个专业：
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我们现在可以看出，工程学专业正好录取了男性申请者和女性申请者中的各一半，英语专业则录取了男性申请者和女性申请者中的各1/4。在这两个专业里，都没有出现性别和录取比例之间的相关性。
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在任何一个专业中都没有相关性，却为何在整合之后产生了强相关关系呢？我们观察数据可知：英语专业很难申请，而大多数女性申请者都申请了这个专业；工程系更容易申请，但它吸引的主要是男性申请者。申请英语专业的有40名女性和20名男性，申请工程专业的有60名男性和20名女性。原来的双向表并没有反映出这种专业之间的差异，具有误导性。这是“辛普森悖论”（Simpsom’s Paradox）的一个例子。
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辛普森悖论
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在几个组别中都存在的相关关系，可能在数据整合成一组后消失甚至出现相反的关系。这种情况被称为辛普森悖论。
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辛普森悖论是在存在潜在变量时，观察到的相关关系可能具有误导性的一种极端表现形式。请记住第15章的提醒：留意潜在变量。
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例8 抵押贷款歧视
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一项关于人们向银行申请住房抵押贷款的研究显示出很强的种族歧视特征：银行拒绝黑人房贷申请者的百分比远高于白人申请者。华盛顿特区的一个关于银行贷款歧视的案件指出银行拒绝黑人房贷申请者的比例为17.5%，而白人房贷申请者被拒绝的比例只有3.3%。
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银行答复说，潜在变量可以解释这种差异。黑人的收入较低（平均而言），信用记录较差，而且工作稳定性不如白人。不考虑种族因素，仅根据这些合法的理由，银行就可以拒绝黑人的抵押贷款申请。这些潜在因素和种族因素是交叉产生影响的，银行认为这导致黑人房贷申请者被拒绝的百分比较高。考虑到辛普森悖论，甚至有可能出现银行接受黑人房贷申请的比例高于白人，如果黑人申请者拥有和白人申请者同样的收入和信用记录。
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哪一方是对的？双方都将聘请统计学家检视潜在因素的影响，提交统计数据，以支持或否定银行在房贷中存在种族歧视的指控。不幸的是，没有对法官和陪审团如何评估统计数据的官方指引，而法官和陪审员不一定具备统计学专业知识。即便让专家来找寻差异出现的原因，潜在变量和诸如辛普森悖论这样的因素，也会让他们感到非常棘手。法庭将尽力做出公正的判决，但这项判决可能不会建立在统计数据的基础之上。
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小结
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本章要点
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• 类别变量把个体归类到不同的组别。要想呈现两个类别变量之间的相关关系，可以用一个包含各组计数的双向表。我们通过比较某些特定的百分比，来描述类别变量之间相关关系的本质。