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有一点必须再次强调：这一公式只适用于相互独立的事件，也就是说，一个事件的发生及其结果对另一个事件不会造成任何影响。例如，你第一次抛硬币得到正面朝上的概率扦不会影响你第二次抛硬币得到正面朝上的概率。相反的，今天下雨的概率与昨天是否下雨并不是相互孤立的，因为下雨作为一种天气现象具有连续性，有时候经常连续几天都下雨。同样的，你今年出车祸的概率与明年出车祸的概率也不是相互孤立的，今年导致你出车祸的原因很有可能也会导致你明年发生类似的车祸，比如你有可能经常酒后驾车、喜欢跟别人飙车、习惯开车时发短信，或者车技很差。这也是为什么你的车险费率会在发生车祸后上升，并不仅仅是因为保险公司想要从你这里挽回一点儿它们为你支付的赔偿金，更重要的是，它们拥有了关于你未来发生车祸概率的新信息——当你开车撞向你的车库大门之后，这个概率就上升了。
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假如你对发生这个事件或发生那个事件的概率感兴趣，也就是出现结果A或出现结果B的概率（再次假设两个事件是相互独立的），这个概率就是A和B各自的概率之和：A概率+B概率。举个例子，掷一次骰子得到1点、2点或3点的概率就是它们各自的概率之和：1/6+1/6+1/6=3/6=1/2。这个问题理解起来应该不难，掷骰子会得到6种可能的结果，点数1、2或3出现的概率占了所有出现概率的1/2，因此我们有50%的概率掷出1、2或3点。如果我们在拉斯韦加斯赌双骰，掷出7点或11点的概率就是两颗骰子点数相加为7或11的组合数除以总共可能出现的点数组合数，得到的答案是8/36。
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通过概率的计算，我们还可以得到在所有管理决策的过程中，尤其是在金融领域是最实用的统计工具：期望值。期望值是基础概率学的升级版。某个事件如买彩票的期望值或收益，实际上就是所有不同结果的和，其中每个结果都是由各自的概率和收益相乘而来。跟往常一样，我们还是用例子来说明这个问题。假设你参与了一个掷骰子的游戏，游戏规则是掷出1点可以获得1美元，掷出2点可以获得2美元，掷出3点可以获得3美元，以此类推。那么在这个游戏中，掷一次骰子的期望值是多少？每一个结果都有1/6的概率，因此期望值为：
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1/6（1美元）+1/6（2美元）+1/6（3美元）+1/6（4美元）+1/6（5美元）+1/6（6美元）=21/6,即3.5美元。
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粗略看一下，3.5美元的期望值似乎是一个无效数据，毕竟你不可能掷一次骰子就获得3.5美元（因为所有收益都是整数）。但事实上，期望值是一个非常有用的参考数据，通过比较成本投人和期望收益，你就能知道做这件事是不是“值得”。如果在上述游戏中，每掷一次骰子需要缴纳3美元，你还玩吗？当然，因为期望回报（3.5美元）要高于游戏成本（3美元）。这虽然并不代表你第一次玩就保证能赚到钱，但至少可以帮助你认清哪些事情值得冒险。
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在上面这个例子的基础上，我们可以进一步将期望值延伸到美国职业橄榄球领域。之前提到，在比赛中触地得分之后，球队将会面临两个选择，要么直接射门再得一分，要么进行一次两分投球的尝试。如果选择前者，则在三码线处定点踢球穿过球门柱即可；如果选择后者，则需要从三码线处将球带到或传到球门区把对方逼成死球，可以想象其难度之大。因此，球队可以选择简单的打法得1分，也可以选择难度高的打法得2分。应该怎么选？
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统计学家或许不玩橄榄球，也从不和啦啦队队长约会，但他们却能够为球队教练提供指导。在前文中已经提到，触地后成功点射的概率为0.94，也就是说这一尝试的期望值为0.94,因为回报（1分）乘以成功概率（0.94）得到的结果为0.94分。没有队伍能在比赛中打出0.94分，但这个数字能够量化触地后的一种选择，从而与另一种选择——2分尝试进行直观的比较。2分尝试的期望值要低得多，才0.74分，虽然回报很高（2分），但成功率却低得可怜（0.37）。由此可见，如果比赛只剩下一秒钟的时间，一支队伍在触地得分后还落后对手2分，这支队伍别无选择，只能进行2分尝试；但如果某支队伍处于领先，其目标只是在比赛中扩大比分优势，那么就应该采取得1分策略。
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运用与上述例子相同的基础性分析，我们还可以解释为什么永远不要买彩票。在伊利诺伊州，每张彩票的背面都印着不同玩法和等级的中奖概率，假如我买了一张1美元的即开型彩票，在彩票背面印着的细小文字里我可以找到不同等级奖金的中奖概率：1/10（1美元，即免费再来一张）、1/15（2美元）、1/42.86（4美元）、1/75（5美元），一直到概率为1/40000的1000美元。我将每一个等级的中奖概率乘以奖金额度，最后将得到的结果相加，计算出购买此类彩票的期望值。结果是这种1美元彩票的回报期望值约为0.56美元，所以这绝对是一项糟糕的投资。但我的运气还不错，中了2美元。
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虽然我中了2美元，依然无法改变购买彩票是一种愚蠢行为的事实，这就是概率教给我们的重要经验之一。通过概率计算得出的好决策，有时会得到坏的结果；而坏的决策——如在伊利诺伊州购买1美元即开型彩票——有时还是会有好处，至少从短期来看是这样。但最终“笑傲江湖”的还是概率，因为谁也打败不了概率。有一个重要的定律叫作大数定律，即随着试验次数的增多，结果的平均值会越来越接近期望值。是的，我今天买彩票的确中了2美元，我明天也有可能再中2美元，但如果长年累月地买下去，每天买的都是这种预期回报为0.56美元的1美元即开型彩票，那么赔钱将是毋庸置疑的事，到了买齐100万张彩票的那一天（也就意味着我花了100万美元），我最终的中奖金额约为56万美元。
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我们也可以用大数定律来解释为什么赌场从长期来看总是挣钱的问题。赌场内所有项目的概率都是有利于赌场老板的（出“老千”的赌客不考虑在内）。如果赌场的营业时间足够长，吸引的下注人数也足够多，那么赌场从赌桌赚到的钱肯定要比付出的要多。通过大数定律，我们还可以解释为什么施利茨要在“超级碗”中场休息时邀请100位而不是10位啤酒爱好者来参与啤酒盲品测试。下面是“施利茨型”测试的“概率密度函数”，测试人数分别为10、100和1000。不要被这个函数的名称吓到，其实函数本身并不复杂，X轴罗列了各种可能出现的结果，Y轴表示的是对应结果出现的概率。需要在这里重申一遍的是：我们的前提是所有品牌啤酒的口感是差不多的，品尝选择的过程类似于扔硬币，每位盲品者选择施利茨的概率都为50%。我们可以从以下的3幅函数图中看到，随着盲品者人数的增多，越来越多的预期结果向中间（也就是有一半的人选择施利茨啤酒）集中；与此同时，位于曲线两端的极端结果出现的概率则下降得非常厉害。
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图5-1选择施利茨啤酒的盲品者人数
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图5-2选择施利茨啤酒的盲品者人数
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图5-3选择施利茨啤酒的盲品者人数
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在前文中我说过，如果有大于或等于40%的米切罗啤酒爱好者在盲品测试中选择了施利茨啤酒，那么施利茨的高层就满意了。下面就列举了不同盲品人数的条件下得到满意结果的概率：
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10人：0.83。
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100人：0.98。
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1000人:0.9999999999。
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1000000人：1。
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读到这里，我想很多人已经能够领会“千万别为标价99美元的打印机购买保修延长服务”的含义了。整个保险行业都是建立在概率的基础之上，保修只不过是保险的一种表现形式而已。为某件东西上保险也就意味着与保险公司签订了合同，明确规定当某些意外发生时，投保人能够获得一定数额的赔付。例如，在你的汽车被盗或撞到树上之后，你就可以根据所购买的车险合同进行索赔。但在享受到这一项保障服务之前，你需要支付一笔费用，以换得一定期限的保障。对于保险公司来说，为了从你这里获得定期定额的保费，它们需要承担你的车被盗、撞毁，甚至因为你的差劲儿的驾驶技术而引起的各种车辆损坏风险。
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为什么这些公司愿意承担这些风险？原因就在于，如果保险公司制定的保费标准正确合理，从长期来看将会给公司带来不菲的收益。好事达保险（财富500强公司之一）承保的车辆中肯定有一些会被盗，还有一些车会因车主驾车撞到消防栓而送进修理厂，我高中时的女朋友就遇到过这种情况，不仅她的车辆撞坏，她还要赔偿那个被撞坏的消防栓贵到令人无语。但无论是好事达还是其他任何一家保险公司，它们承保的车辆中绝大部分都不会发生事故。为了挣到钱，保险公司只需要保证收取的保费多于付出的赔偿金就行了，为了做到这一点，公司必须清楚地知道合同里每一项条款可能会带来的赔偿金额，行业术语叫作“预期损失”。这和预期值是完全相同的概念，只不过是套上了保险的外衣。假设车的赔偿额度为4万美元，每年被盗的概率是1/1000,那么该车的年预期损失为40美元，车险保费组成中盗窃险种的定价就应该高于40美元，这样看来，保险公司和赌场、伊利诺伊州彩票的性质是一样的，它们都需要付出，但从长期来看，得到的肯定要比付出的多。
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