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在上面这个例子的基础上，我们可以进一步将期望值延伸到美国职业橄榄球领域。之前提到，在比赛中触地得分之后，球队将会面临两个选择，要么直接射门再得一分，要么进行一次两分投球的尝试。如果选择前者，则在三码线处定点踢球穿过球门柱即可；如果选择后者，则需要从三码线处将球带到或传到球门区把对方逼成死球，可以想象其难度之大。因此，球队可以选择简单的打法得1分，也可以选择难度高的打法得2分。应该怎么选？
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统计学家或许不玩橄榄球，也从不和啦啦队队长约会，但他们却能够为球队教练提供指导。在前文中已经提到，触地后成功点射的概率为0.94，也就是说这一尝试的期望值为0.94,因为回报（1分）乘以成功概率（0.94）得到的结果为0.94分。没有队伍能在比赛中打出0.94分，但这个数字能够量化触地后的一种选择，从而与另一种选择——2分尝试进行直观的比较。2分尝试的期望值要低得多，才0.74分，虽然回报很高（2分），但成功率却低得可怜（0.37）。由此可见，如果比赛只剩下一秒钟的时间，一支队伍在触地得分后还落后对手2分，这支队伍别无选择，只能进行2分尝试；但如果某支队伍处于领先，其目标只是在比赛中扩大比分优势，那么就应该采取得1分策略。
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运用与上述例子相同的基础性分析，我们还可以解释为什么永远不要买彩票。在伊利诺伊州，每张彩票的背面都印着不同玩法和等级的中奖概率，假如我买了一张1美元的即开型彩票，在彩票背面印着的细小文字里我可以找到不同等级奖金的中奖概率：1/10（1美元，即免费再来一张）、1/15（2美元）、1/42.86（4美元）、1/75（5美元），一直到概率为1/40000的1000美元。我将每一个等级的中奖概率乘以奖金额度，最后将得到的结果相加，计算出购买此类彩票的期望值。结果是这种1美元彩票的回报期望值约为0.56美元，所以这绝对是一项糟糕的投资。但我的运气还不错，中了2美元。
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虽然我中了2美元，依然无法改变购买彩票是一种愚蠢行为的事实，这就是概率教给我们的重要经验之一。通过概率计算得出的好决策，有时会得到坏的结果；而坏的决策——如在伊利诺伊州购买1美元即开型彩票——有时还是会有好处，至少从短期来看是这样。但最终“笑傲江湖”的还是概率，因为谁也打败不了概率。有一个重要的定律叫作大数定律，即随着试验次数的增多，结果的平均值会越来越接近期望值。是的，我今天买彩票的确中了2美元，我明天也有可能再中2美元，但如果长年累月地买下去，每天买的都是这种预期回报为0.56美元的1美元即开型彩票，那么赔钱将是毋庸置疑的事，到了买齐100万张彩票的那一天（也就意味着我花了100万美元），我最终的中奖金额约为56万美元。
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我们也可以用大数定律来解释为什么赌场从长期来看总是挣钱的问题。赌场内所有项目的概率都是有利于赌场老板的（出“老千”的赌客不考虑在内）。如果赌场的营业时间足够长，吸引的下注人数也足够多，那么赌场从赌桌赚到的钱肯定要比付出的要多。通过大数定律，我们还可以解释为什么施利茨要在“超级碗”中场休息时邀请100位而不是10位啤酒爱好者来参与啤酒盲品测试。下面是“施利茨型”测试的“概率密度函数”，测试人数分别为10、100和1000。不要被这个函数的名称吓到，其实函数本身并不复杂，X轴罗列了各种可能出现的结果，Y轴表示的是对应结果出现的概率。需要在这里重申一遍的是：我们的前提是所有品牌啤酒的口感是差不多的，品尝选择的过程类似于扔硬币，每位盲品者选择施利茨的概率都为50%。我们可以从以下的3幅函数图中看到，随着盲品者人数的增多，越来越多的预期结果向中间（也就是有一半的人选择施利茨啤酒）集中；与此同时，位于曲线两端的极端结果出现的概率则下降得非常厉害。
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图5-1选择施利茨啤酒的盲品者人数
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图5-2选择施利茨啤酒的盲品者人数
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图5-3选择施利茨啤酒的盲品者人数
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在前文中我说过，如果有大于或等于40%的米切罗啤酒爱好者在盲品测试中选择了施利茨啤酒，那么施利茨的高层就满意了。下面就列举了不同盲品人数的条件下得到满意结果的概率：
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10人：0.83。
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100人：0.98。
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1000人:0.9999999999。
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1000000人：1。
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读到这里，我想很多人已经能够领会“千万别为标价99美元的打印机购买保修延长服务”的含义了。整个保险行业都是建立在概率的基础之上，保修只不过是保险的一种表现形式而已。为某件东西上保险也就意味着与保险公司签订了合同，明确规定当某些意外发生时，投保人能够获得一定数额的赔付。例如，在你的汽车被盗或撞到树上之后，你就可以根据所购买的车险合同进行索赔。但在享受到这一项保障服务之前，你需要支付一笔费用，以换得一定期限的保障。对于保险公司来说，为了从你这里获得定期定额的保费，它们需要承担你的车被盗、撞毁，甚至因为你的差劲儿的驾驶技术而引起的各种车辆损坏风险。
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为什么这些公司愿意承担这些风险？原因就在于，如果保险公司制定的保费标准正确合理，从长期来看将会给公司带来不菲的收益。好事达保险（财富500强公司之一）承保的车辆中肯定有一些会被盗，还有一些车会因车主驾车撞到消防栓而送进修理厂，我高中时的女朋友就遇到过这种情况，不仅她的车辆撞坏，她还要赔偿那个被撞坏的消防栓贵到令人无语。但无论是好事达还是其他任何一家保险公司，它们承保的车辆中绝大部分都不会发生事故。为了挣到钱，保险公司只需要保证收取的保费多于付出的赔偿金就行了，为了做到这一点，公司必须清楚地知道合同里每一项条款可能会带来的赔偿金额，行业术语叫作“预期损失”。这和预期值是完全相同的概念，只不过是套上了保险的外衣。假设车的赔偿额度为4万美元，每年被盗的概率是1/1000,那么该车的年预期损失为40美元，车险保费组成中盗窃险种的定价就应该高于40美元，这样看来，保险公司和赌场、伊利诺伊州彩票的性质是一样的，它们都需要付出，但从长期来看，得到的肯定要比付出的多。
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作为消费者，你应该知道，从长远来看，保险并不能为你省钱。保险能为你做的是，当你遭遇一些难以承受的巨大损失时，如价值4万美元的汽车被盗、35万美元的房子被烧毁等，为你提供赔付，帮你渡过难关。从统计学的角度来看，购买保险是一项“糟糕的投资”，因为平均来看，你支付给保险公司的钱永远要比得到的赔付多。但如果想防止一些足以毁掉你生活的结果出现，保险就是一个理性的工具。讽刺的是，一些巨富如巴菲特倒是可以不用买车险、房屋险，甚至医疗保险，从而省下不少钱，因为就算有再糟糕的事情发生在他的身上，他都能承担得起。
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最后，我们来说说你那价值99美元的打印机。假设你刚刚从百思买或其他地方精挑细选了一台好评如潮的激光打印机。当你结账的时候，销售人员会向你提供一份详细的保修延长清单，比如说额外支付25美元，可以延长一年的免费修理或更换服务，支付50美元可以延长维修服务两年。现在你对概率、保险以及基础经济学已经有了一些基本的了解，你可以很快联想到以下几点：（1）百思买是一个以赢利为目的的商家，因此追求利润最大化是它不变的追求；（2）销售助理正在竭尽所能地劝你购买保修延长服务；（3）从前两点能够推测出，购买保修延长服务的代价要高于商家为你修理或更换打印机的预期成本，如果不是这样，那么商家就不可能会如此卖力地推销了；（4）就算价值99美元的打印机坏了，你需要自掏腰包来修理或换一台新机器，也不会给你的生活造成太大的困扰。
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一般来说，你为延长保修服务所支付的金额要高于打印机的修理费。你应该时刻谨记为那些你无法轻松承受的意外上保险，而其他情况就不要浪费钱了，这是个人理财的核心原则之一。
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有些事情可能会在不同时间段出现各种不同的意外状况，在面临这类复杂抉择时，预期值同样能够帮助我们理清思路。假设你的一个朋友建议你向一家研究中心投资100万美元用于开发男性防脱发产品，你或许会问成功的概率有多大，而你的朋友的回答很复杂。由于这是一个研发项目，因此研发团队研制成功的概率只有30%,如果最终研制产品失败了，那么你将收回25万美元，因为这部分资金原本是留着用于市场推广（用户测试、广告宣传等）的；即使最终产品研制成功了，美国食品药品监督管理局认为这一神奇的治疗脱发的产品对人体安全并批准进入市场的概率也只有60%;到了那个时候，即使我们的产品安全有效，依然还有10%的概率会出现一个强劲的竞争对手，带着更好的产品与我们一同进入市场，占据全部的市场份额。如果一切顺利——产品安全、有效，而且竞争者也没有出现，那么你将获得最多2500万美元的投资回报。
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你动心了吗？
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朋友提供的信息量令人眼花缭乱。潜在的回报很诱人，回报的金额是投资额的整整25倍，在这一过程中，同样充满了各种潜在的陷阱和失败。如果每一个结果的出现概率都是准确的，那么画一张决策树形图，能够帮助我们理清信息，决定下一步应该做什么、怎么做。决策树形图标出了每一个不确定因素的来源，还有所有可能出现的结果及其概率。在树形图的下方，给出了所有回报可能的金额和概率。如果我们将每一个回报额乘以概率，再将得到的结果相加，就可以算出这一投资机会的期望值。通过观看下图能够帮助我们更好地理解问题。