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通过改变之前的选择，参赛者就能从两次选择中获益，好处自然要比一次选择多。为了说服大家，我会用3种不同的方法来证明这一分析的正确性。
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第一种是从经验主义角度出发的。2008年，《纽约时报》专栏作家约翰•泰拿尼专门就“蒙提·霍尔现象”写了一篇文章。随后这份报纸还在网站上开辟了一个互动专题，读者可以亲身体验这个游戏，包括提示你是否要改变选择，游戏的最后甚至还有可爱的小羊和小轿车从门后跳出来揭晓答案。这个游戏会记录下你改变和坚持最初选择的成功率，你可以试一下。我特地让我的小女儿玩了100次这个游戏，每次都在打开一扇有羊的门后改变最初的选择；然后又找她的哥哥玩了100次，全都坚持一开始的选择。我的女儿有72次中了大奖，儿子只中了33次。他们都从我这里获得了两美元的辛苦费。
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《让我们做个交易》节目每期的统计结果也印证了这一点。《醉汉的脚步》的作者列纳德•蒙洛迪诺也证实，那些改变选择并得到大奖的参赛者人数是坚持最初选择并中奖的参赛者的两倍。
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我的第二个解释是从直觉出发。假设游戏规则有变，首先参赛者会在1、2、3号门中挑选一扇，然后主持人蒙提在打开一扇门之前，问道“你是否愿意放弃你之前的选择，换取另外两扇门后面的奖品？”也就是说，如果你选择的是1号门，你可以放弃那扇门，从而获得2号和3号门后面的奖品；如果你选择的是3号门，你可以换成1号和2号门。
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这并不是一个非常难作的决定。显而易见，你应该放弃一扇门换取两扇门，这样你中大奖的概率就从1/3上升到了2/3。接下来，就是见证奇迹的时刻了：蒙提•霍尔在节目中展示一扇门后的羊，其实做的是相同的事情。一个最基本的道理，如果你能选择两扇门，那其中肯定有一扇门的门后是羊。主持人在问你是否要更换选择之前，打开了一扇门后有羊的门，实际上是为你做了一件大好事！他的言下之意就是，“你没有选的那两扇门有2/3的概率中大奖，而且你看，我已经帮你排除一扇门了！”
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我们试想一下，假设你选择了1号门，蒙提接着问你是否要换成2号和3号门，然后你接受了，放弃一扇门换来两扇门，你此时得到轿车的概率也就上升为2/3。而就在这个时候，蒙提打开了3号门——也就是你选择的两扇门中的一扇——发现门后是一头羊，你会有什么感受？是觉得自己中奖的希望变渺茫了？当然不是！如果轿车藏在3号门的后面，那么他打开的肯定会是2号门！蒙提可以说是什么都没干。
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如果游戏正常进行，蒙提实际上是给你提供了两个选择，要么坚持最初选的那扇门，要么选择剩下的两扇门——只不过其中有一扇后面是羊的门被打开了，在这个过程中，蒙提还告诉了你另外两扇门中哪一扇门后面没有大奖，因此在如下的两种情况中你中大奖的概率是相同的：
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1. 先选择1号门，然后在任何一扇门打开之前同意换成2号和3号门。
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2. 先选择1号门，然后在蒙提打开有羊的3号门之后同意换成2号门（或者在蒙提打开有羊的2号门之后同意换成3号门）。
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在这两种情况下，通过改变选择，你中奖的概率都由原来的一扇门增加到两扇门，因此你的赢面也从1/3上涨为2/3。
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我的第三种解释更像是第二种解释的极端版。假设摆在你面前的不是3扇门，而是100扇门。当你选择其中一扇门（比如说47号门）之后，蒙提•霍尔在剩下的99扇门中打开了98扇有羊的门，此时就剩两扇门没有打开了，一扇是你最初选择的47号门，一扇是蒙提剩下的（比如说61号门），你要换吗？
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绝对要换！小轿车有99%的概率藏在你没有选的那99扇门的后面，而蒙提还好心地为你打开了其中的98扇门，他知道这98扇门的后面都没有小轿车。也就是说，如果你坚持最初的选择（47号门），那么你开着小轿车回家的概率仅为1%,牵一头羊回家的概率却高达99%;如果你的最初选择是错误的，那么小轿车就肯定藏在另外一扇门后面（61号门），如果你想中大奖，那就应该将最初的47号门换成最后剩下的61号门。
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简言之，如果你有机会参加《让我们做个交易》节目，当蒙提·霍尔（或者是他的继任者）问你是否要改变选择时，你要毫不犹豫地点头。更夸张的说法是,这个例子告诉我们，你对概率的本能理解有时候会将你引入歧途。
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赤裸裸的统计学：除去大数据的枯燥外衣，呈现真实的数字之美 第7章 黑天鹅事件
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7%的小概率风险如何在2005年成为击垮美国华尔街的天鹅”，井毁了全球金融体系。
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归根结底，数据还是数据，肯定没有数据使用者聪明，但有些时候，数据也会让聪明绝顶的人干蠢事。我能想到的近几年来最不负责任的数据使用案例就是2008年金融危机爆发之前华尔街的风险评估机制了。那时候，整个美国金融行业使用的都是同一个风险晴雨表——风险价值（VaR）模型。理论上说，VaR既是一个简洁的指标（将大量信息整合为一个单独的数字），又有强大的概率学支撑（对每家公司的资产和交易头寸都给出了预期收益和损失值），是一个不可多得的投资工具。该模型认为，公司的每一项投资都存在着大量可能的结果，比如投资通用电气的股票，这些股票既有可能升值，也有可能贬值。如果在一个相对较短的周期内（比如一周）采用VaR模型进行投资评估，最有可能得到的结果是购入的股票在短期内基本维持原状，上涨或下跌10%的概率很小，上涨或下跌25%的概率就更小了，也就是说，变化越大，概率越小。
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在分析了以往市场变动的数据之后，公司的数量分析专家（这是行业内的称呼，但在其他地方，人们更愿意称他们为“有钱的呆子”）会给出一个数字（比如说1300万美元），用来表示一项投资在一个特定周期内有可能让公司蒙受的最大损失，出现这种结果的概率为1%。也就是说，这项投资在99%的情况下会使公司的损失低于1300万美元，但还有1%的概率造成重大损失。
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请记住上一段内容里的最后一句话，这句话至关重要。
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在2008年金融危机爆发之前，各大公司对VaR模型信任有加，在量化整体风险时都会采用这一统计模型。假设一个交易商手上有923项不同的“敞口头寸”（即可能会出现涨跌的投资），每一项投资都能像通用电气股票的例子那样进行VaR分析，然后再计算得出该交易商手中的证券组合的总体投资风险，该公式甚至还考虑到不同投资之间的相关性。例如，如果两项投资的预期回报呈负相关关系，即一项投资的损失会被另一项投资的收益所抵消，那么这两项投资的整体风险要小于其中任意一项投资。一般而言，投资部门的主管会知道其手下的交易员鲍勃•史密斯的24小时VaR为1900万美元，即在接下来的24个小时内，鲍勃最多会让公司亏损1900万美元，而且这一情况发生的概率仅为1%。
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更妙的是，该投资部门在任何时候都可以得出全公司的风险指数，只需要在上述基础上稍微向前推进一步即可。当然，这其中所包含的数学运算是非常复杂的，因为要考虑到公司所参与的种类繁多的金融产品，而且还涉及多国货币，每项投资的杠杆率（进行投资的贷款额）也不一样，不同国家的资金流动率也存在差别等。但这些都不能阻碍投资经理们在任何时候得出一个看上去十分精确的风险指数，正如《纽约时报》前财经作家乔·诺切拉所解释的那样，“VaR最吸引人的地方，也是其最大的卖点就在于将风险描述为一个单一的数字——一个美元数据，仅此而已，而那些恰好不擅长数量分析的人就会趋之若鹜。”摩根大通公司是VaR模型的创始者，经过不断的开发和完善，每日的VaR如今已经有了一个新的名称——4
:15报告，因为在每天下午的4点15分，即当天的美国金融市场休市没多久，每一位公司高管的桌子上就都会出现VaR报告。
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按理说这是一件好事，通常情况下总是信息越多越好，尤其当与风险联系在一起的时候。毕竟概率是一个非常强大的工具，施利茨啤酒公司的高管们在砸重金举办“超级碗”中场盲品活动直播之前，不是也借助了概率学吗？后来的效果，大家不也看到了吗？但那时的概率计算和现在的一样吗？
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这可真不好说。有人说VaR模型是“潜在的灾难”，也有人认为赋予其“欺诈犯”，以及其他一些不适合写入“统计学家谱”的邪恶称呼，这一模型甚至还被看作2008年金融危机的始作俑者和罪魁祸首，那次金融危机之所以会爆发且程度严重，就是因为VaR。对于VaR模型最主要的诟病在于，金融市场的潜在风险并不像抛硬币或啤酒盲品会那么容易预测，该模型呈现出的“伪精准”会给投资者带来虚幻的安全感。VaR模型就像是一个不准的车速表，错误的速度数据对司机来说比没有车速表更危险。如果你对一个失准的车速表过于信任，你就会忽略其他提示车速不安全的信息；但如果车里压根儿就没有车速表，你反而会小心地注意四周，寻找能够告诉你车辆当前行驶速度的参照物。
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大约在2005年，每个工作日的4点15分被放在投资经理办公桌上的VaR报告，见证着华尔街正在变成一条通往财富的“金光大道”。可是不幸的是，VaR模型的风险档案里隐藏着两个巨大的问题。第一，模型构建的概率基础参照的是过去的市场行为，然而金融市场和啤酒盲品会不一样，前者的未来不一定是历史的重复，没有任何的理论证据可以保证1980〜2005年间的市场动态是2005年之后市场表现的最佳预测参照物。从某些方面来看，这一缺乏想象力的行为总是认为即将开始的战争与上一场战争的情况差不多。从20世纪90年代开始一直到21世纪初，商业银行的房屋按揭业务所使用的贷款模型都认为房价出现大幅度下跌的概率为零。在以前，美国房价从来没有像2007年跌得那么惨、那么快，但这就是活生生的事实。美联储前主席格林斯潘在接受美国国会委员会质询时解释：“在2007年夏天，金融领域的理论大厦完全坍塌，这是因为之前的风险管理模型所收集的数据只涵盖了过去20年一经济快速增长的狂欢的20年。我认为，如果我们的模型能够充分地考虑历史上出现的几次危机，让模型更加完善的话，银行在放贷时的资本要求会更高，金融世界就会在更加健康和稳定的状态下运行。”
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