1702644010
1702644011
1702644012
举个简单的例子，假设在一次“选举后测验”中，在选举当天投出选票的500位选民里有53%投给了美国共和党候选人，45%投给了美国民主党，还有2%投给了第三方的候选人。如果以美国共和党的支持率作为参照，那么这次“选举后测试”的标准误差就是。
1702644013
1702644014
为了方便起见，我们将这次的“选举后测试”的标准误差约等于0.02。到现在为止，这只是一个数字，要怎样才能赋予0.02这个数字更多的意义呢？假如这次民意测验刚刚结束，在一家电视台工作的你就急于在最终结果出来之前向全美国观众率先宣布这场比赛的赢家是谁。你现在已经算得上是一名“半专业”的数据分析师了（因为你已经读完了本书2/3的内容），节目制片人向你咨询：我们能否以这次“选举后测试”的结果作为宣布共和党获胜的依据？
1702644015
1702644016
你解释说，这要看你在这条选情预测新闻里的“置信区间”有多少了。更具体地说，你愿意为播出内容的错误承担多大的风险？需要记住，标准误差为样本比例（“选举后测试”）是否接近于现实中的人口比例（选举结果）提供了理性的概率参考。我们已知的是，样本比例约有68%的概率落在最终结果一个标准误差的范围内（在这个例子中指的是共和党53%的选民支持率），因此，你可以告诉你的制片人，你有68%的把握认为共和党会获得53%±2%的支持率，也就是51%〜55%。与此同时，“选举后测试”显示民主党候选人获得了45%的选票，假设民主党的支持率有相同的标准误差（至于为什么可以这样简化，我等一下会向大家解释），那么我们也可以有68%的把握声称，民主党会获得45%±2%（43%~47%）的支持率。根据这一计算，我们的结论是共和党会在选举中获胜。
1702644017
1702644018
图文组的同事会在第一时间制作出一张适合于电视播放的立体统计图，这样你就可以显示在荧屏上给观众演示了。这张统计图里肯定会包含以下信息：
1702644019
1702644020
共和党53%
1702644021
1702644022
民主党45%
1702644023
1702644024
独立党派2%
1702644025
1702644026
（误差幅度±2%）
1702644027
1702644028
首先，你的制片人面对这样的一个结果肯定会印象深刻并且兴奋不已，很大程度上是因为上面的这张统计图竟然是彩色3D版的，而且还能在屏幕上进行360°旋转。但是，当你向她解释道，“选举后测试”的结果约有68%的概率落在真实情况一个标准误差的范围内时，这位两次被法庭强制要求参加愤怒管理课程的制片人在脑子里迅速作了一个减法：那剩下的32%是什么情况？
1702644029
1702644030
接下来，你解释说会有两种可能：（1）共和党的支持率比民调结果更高，在这种情况下我们的预测依旧是正确的；（2）也有一定的可能性是民主党获得了比民调高得多的支持率，如果是这种情况，就意味着之前彩色的、可以旋转的3D图错误地预测了选举的获胜方。
1702644031
1702644032
制片人听完后一言不发，随手将桌上的一个咖啡杯扔了出去，杯子在空中划出了一条完美的弧线，并最终落在了房间的另一端，摔得粉碎。接着，她大声呵斥道：“我们怎么才能保证播出的是一个正确的结果？”
1702644033
1702644034
作为统计学专家，你指出，除非将所有选票都清点出来，否则没有人能够准确无误地预测选举结果。但你还是将置信区间扩大到了95%,在这种情况下，那张3D统计图出错的概率就降到了5%。
1702644035
1702644036
制片人点上了一支烟，看上去比刚才放松了一些。你决定还是不提醒她办公场所禁止抽烟的规定，因为上一次就是因为这句善意的提醒而引发了一场灾难。但是，有一些坏消息是不得不说的。电视台在播出新闻时如果要让自己的可信度提升，就必须扩大“误差幅度”，一旦这样做了，就意味着选举结果中不再有一个清晰的赢家了。你将新制作好的统计图拿给你的制片人看：
1702644037
1702644038
共和党53%
1702644039
1702644040
民主党45%
1702644041
1702644042
独立党派2%
1702644043
1702644044
（误差幅度±4%）
1702644045
1702644046
由中心极限定理我们得知，样本比例约有95%的概率会落在真实群体比例的两个标准误差（这个例子中这一比例为4%）的范围内。因此，假如我们想要增加“选举后测试”的可信度，就必须减少我们对结果准确度的野心。如上述所示（请原谅我没有为大家展示炫目的彩色3D和旋转效果），电视台可以有95%的把握向观众播报，美国共和党候选人的得票率为53%±4%,即在49%〜57%的区间范围内，与此同时，美国民主党候选人的得票率为45%±4%,占全体选票的41%~49%。
1702644047
1702644048
是的，我们现在又有了一个新问题。如果置信区间扩大到了95%，我们就无法推翻两党候选人打成平手（各获得49%选票）的可能性。这是一个无法避免的妥协，在没有新数据补充的情况下，如果想要提高民调结果的正确率，就只能降低预测的精度。举一个与统计学无关的例子，假如你告诉你的朋友，你“确定”托马斯•杰斐逊是美国的第三或第四任总统，你如何让自己的历史知识可信度更高？扩大范围吧！你可以“绝对肯定”地说托马斯•杰斐逊是美国前5位总统中的一位。
1702644049
1702644050
制片人让你打电话订一个比萨，作好通宵加班的准备吧。就在这个时候，统计学的“万丈光芒”又照在了你的身上。第二次“选举后测试”的结果出现在你的办公桌上，这一次的样本数量为2000人，占比结果是：共和党（52%）、民主党（45%）、独立党派（3%）。你的制片人已经彻底发疯了，因为这一次的民意测验显示两个主要党派之间的差距进一步缩小了，也就是说，在官方结果出来之前对选举进行预测变得难上加难。但此时你（英勇地）指出，这次的样本数量是上一次的4倍，因此标准误差会大大缩小，共和党候选人的新标准误差为；0.52x0.48/2000=0.1。
1702644051
1702644052
假如制片人此时还愿意接受95%的正确率，那么你便可以大声地宣布共和党将会赢得选举。在新的0.1的标准误差的前提下，95%的置信区间意味着共和党候选人获得了52%±2%,即50%〜54%的选票，民主党获得了45%±2%，即43%〜47%的选票。两个置信区间之间不再有重叠，你可以在电视上恭喜美国共和党候选人了，而且这次预测正确的概率超过95%。
1702644053
1702644054
但在这个例子中，你还可以做得更加完美。中心极限定理告诉我们，样本结果位于真实情况3个标准误差范围以内的概率为99.7%。如果将置信区间扩大到99.7%,那么两党的投票情况是：共和党获得的选票为52%±3%,即49%〜55%;
1702644055
1702644056
民主党获得的选票为45%±3%，即42%〜48%。介于两党的结果依然没有重叠，你便放心地在电视上预测共和党的胜利，你和制片人基本上不可能因为误播而被辞退，所以记得一定要请组织那次2000人民意测验的同事吃饭。
1702644057
1702644058
你可以看到，样本数量越大，标准误差就越小，这也是为什么大型的全美民意测验的结果往往准得惊人。同理，一个小容量的样本会使得标准误差变大，从而导致一个更大的置信区间（用民意测验的专业术语来说，就是“抽样误差范围”）。《纽约时报》和CBS联合民意测验报告的小字部分内容指出，有关美国共和党初选问题的抽样误差为5%,而其他问题的抽样误差只有3%。由于报名参加共和党初选的选民数量有限，因此该问题组的抽样人数只有455人（而其他问题组的抽样人数都达到了1650人）。
1702644059