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在报纸上读到的绝大多数研究成果，都是以回归分析作为基础的。研究人员发现，在幼儿园长大的孩子升人小学后比没上过幼儿园的孩子更容易出现行为问题，这项研究并没有将几千名儿童随机分配给幼儿园或家人抚养，也不是简单地将在不同环境中长大的小学生进行比较，而忽略了其他可能会对他们的行为造成影响的根本性因素。不同的家庭对孩子的抚养决策是不同的，这是因为每个家庭和每个孩子都是不同的。一些家庭双亲俱在，一些家庭则没有那么幸运；一些家庭的双亲都有工作，一些家庭则并非如此；一些家庭更加富裕，家长的受教育程度也更高，一些家庭却没有这么好的条件。所有这些因素都会影响到家长的育儿决策，而这些决策会进一步影响到孩子在小学期间的表现。如果处理得当，回归分析能够排除其他因素的影响（如家庭收入、家庭成员结构、家长受教育水平等），辅助我们认清幼儿园对孩子升入小学后的行为影响。
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在上述这句话中，有两个关键词。第一个关键词是“处理得当”，如果具备充足的数据和一台笔记本电脑，一个关于6岁小孩的回归分析就能在一个基础的统计程序上生成。电脑的出现让回归分析变得毫不费力，因此问题的核心不是回归分析的技术性部分，而在于确定分析过程中要用到哪些变量以及如何才能将这些变量的作用发挥到最佳。回归分析就像是一件外观华丽、功能强大的工具，使用起来非常容易，但若要使用得好，就得下一番功夫了，而且如果使用不当，还会带来意想不到的危害。
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第二个关键词是“辅助”，刚刚那个研究并没有给我们提供一个关于幼儿园与孩子在小学的行为表现之间关系的“正确”回答，而是针对某个特定时间段内的某群特定儿童量化了这一关系。我们能够从中得出可以推而广之的结论吗？当然，但是和其他类别的推断一样，我们也是有限制和条件的。首先，抽取的样本必须能够代表我们所关心的群体，一项包含2000名瑞典儿童的调查并不能指导我们如何在墨西哥的乡村地区开展最好的学前教育。其次，不同样本之间应该存在差异。在抽样方法完善且相似的前提下，如果我们抽取不同的样本进行研究，每一份样本的结果彼此之间应该存在细微的差异。
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回归分析与民意测验相类似。好消息是，在样本数量大、具有代表性且方法论成立的情况下，样本数据所呈现的相关性基本上与全体人口的现实情况差别不大。假如样本容量均为10000人，那么每周锻炼3次或以上样本组的人的心血管疾病发病率要大大低于从来不锻炼的样本组的人（但这两组人在其他重要方面都相似），对于全体人口来说，锻炼和心血管疾病之间就很有可能存在类似的关系。这也是为什么我们要进行这些研究（记住，研究的重点并不是在研究结束时告诉病患年轻时应该多做运动）。
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坏消息是，我们并不能确切地证明运动可以预防心脏病，我们只是推翻了“运动与心脏病无关”的零假设。具体来说，该项研究的作者在报告中写道，如果运动与心脏疾病并无相关关系，那么经常运动的人和不运动的人得心脏病的比例出现如此巨大差异的概率将不到5%，如果将统计学的基本概率门槛设定为5%，那么这一个发现就具有了统计学意义。
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等一下，让我们先好好思考一下上述这个例子。假设这项研究对比的是一群定期打壁球的人和一群从不运动的人——两类人的体重相当。打壁球的确对增强心脏功能有好处，但是，我们也不能忽略壁球这种运动并不是一般人能长期消费得起的，那些有打壁球习惯的人通常是社会的上流人士，他们加入的一些俱乐部常常有壁球场地供他们使用。同时，富有的人所能接触到的医疗资源自然更为丰富，这也有利于他们保持心脏健康。如果研究人员想草草了事，当然可以将这些人的心脏健康归功于打壁球，但事实上真正的健康受益于足够支撑壁球运动习惯的财富（打马球也是相同的道理，有人说参与马球运动的人更健康，其实这也是财富和优质医疗的功劳，不用想都知道打马球的过程中真正锻炼了身体的主要是马）。
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还有可能是因果关系倒置，会不会是拥有了健康的身体才更愿意运动呢？当然有可能。那些体弱多病的人，尤其是心脏有先天性缺陷的人不宜从事剧烈运动，他们不大可能定期去打壁球。但如果研究分析过于敷衍和简单化，就会说运动有益于身体健康，而实际上却是那些天生身体不好的人不经常从事运动。照这个观点，打壁球并没有让任何人变得更健康，而只不过是将健康的人与体质差的人区分开罢了。
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回归陷阱的形式多种多样，在下一章中我将会为大家介绍一些最“恶名昭著”的错误。现在，让我们把焦点放在正确的做法上。回归分析的强大能力表现在：将我们所关心的统计关联隔离出来，如工作中的支配力和心脏病，同时还不忘考虑其他可能会对这一相关关系产生影响的因素。
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具体是如何做到的呢？如果我们得知英国政府中低级别雇员的身体要比他们上司的体质更弱，那我们怎么确定在心血管健康状况不佳的致病原因里，有多少比例源于他们低级别的工作，多少比例因为吸烟？这两个因素看上去似乎是彼此缠绕、密不可分的。
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通过回归分析就能将它们解开。为了让大家都能理解其中的奥妙，我必须从基础说起，无论是哪种形式的回归分析——从最简单的统计学关联到诺贝尔奖获得者搭建的复杂模型，都离不开的基本概念。最核心的一点是，回归分析寻找的是两个变量之间的最佳拟合线性关系。举个简单的例子，身高和体重的关系。虽然不是绝对的，但身高较高的人一般体重应该更重。我们将一组大学毕业生的身高和体重标记在坐标轴上，不知道你会不会回忆起我们在前文中讲过的内容。
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图12-1 身高与体重散点分布图
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如果让你描述一下上面的图，你或许会说“体重看上去似乎随着身高的增加而增大”之类的话，说得很对，但离满分还有点距离。回归分析能够让我们更进一步，用更加精确的话语来描述这两个变量之间的线性关系。
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大致来看，符合身高和体重数据趋势的线有很多条，但我们如何知道哪一条才是“最佳”的？我们又如何定义“最佳”这两个字？回归分析的一个常用方法为最小二乘法（OLS）,为什么OLS能够得出最佳拟合线性关系，我们留给更高阶的课本去解释，这里的关键点在于，OLS直线可以让所有数据的残差平方和为最小——别慌，这句话其实并没有那么难以理解。在我们的身高与体重数据组中，每一个数据都有一个残差，即距离回归线的垂直高度差，而对于那些直接落在回归线上的数据点，它们的残差则为零。在下图中，A同学的残差（用e表示）被标了出来。如果残差的和越大，则回归线就越不准确，这一点很好理解。OLS公式中唯一不好理解的地方在于，在相加之前，我们需要将每个数据的残差平方（这就增加了那些离回归线特别远的数据，即极端异常值在结果中的比重）。
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下图就展示了一条可以让所有数据的残差平方和为最小的OLS直线。
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图12-2身高和体重的最佳拟合回归线
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如果前文中提及的技术性描述让你感到头疼的话，请记住一点：OLS是两个变量线性关系的最佳描述。当然，结果不仅仅是一条直线，如果你还记得高中几何课程的话，一定能回想起一个直线方程，也就是我们所说的回归方程：y=a+bx，其中y表示体重（磅），a为截距（当x=0时y的值），x为身高（英寸）。而OLS所决定的直线的“坡度”，就描述了这个例子中身高和体重之间的“最佳”线性关系。
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当然，回归线不可能把数据组中的每一个点都包含进去，但若要在身高和体重之间寻找到一个有意义的关联，回归线是我们所能做到的最佳描述。同时，每一个数据都可以用一个方程式来表示：体重=a+b（身高）+e,其中e作为残差,代表的是相同身高条件下不同体重的人的差异。最后，通过这条回归线我们还可以得出，该组数据中如果根据身高猜测体重，最准的办法是求出a+b（身高）的值。虽然绝大部分的数据并非恰好落在回归线上，它们的残差之和依然有可能为零，这是因为有些人的体重超过回归线的预测体重，而有些人的体重却比回归线的预测体重轻。
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是不是快要对本章内容失去耐心了？那我们就一起来看一些取自“变化的一生”项目研究的真实数据吧。首先，还是向大家介绍几个基本术语。被解释的变量——在这个例子中变量为体重——被称作因变量（这是因为它依赖于其他因素），而我们用来解释因变量的变量被称作解释变量，有些时候，解释变量又被称作自变量或控制变量。我们先用身高来解释“变化的一生”项目的研究对象的体重，随后再加入其他潜在的解释因素。在“变化的一生”研究中，一共有3537名成年美国人参与，即我们的数据量n（有些研究论文会记作n=3537）。接下来，我们对这些研究对象的数据进行简单的回归分析，视体重为因变量，视身高为唯一的解释变量，便得到了如下结果：
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体重=-135+4.5x身高
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a=-135。这是回归线在Y轴上的截距，本身并没有什么特别的含义。（如果仅从表面上理解，它代表的是一个人如果身高为零英寸，则体重为-135磅，但这显然是不可能发生的事。）我们也会将其称为恒量，因为这是计算所有体重的起点。
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b=4.5。我们称为回归系数（或身高系数）的b经计算为4.5，此为对“变化的一生”项目的研究对象的身高和体重关系的最佳描述。我们对回归系数有一个简单、实用的解读：自变量（身高）每增加一个单位，因变量（体重）就增加4.5个单位。放在我们的数据样本中，就意味着身高每增加1英寸，体重就会相应增加4.5磅。在没有其他额外相关信息的情况下，我们对“变化的一生”里一个身高为70英寸的参与者体重的最佳预测为-135+4.5x70=180磅。
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看到了吧，这就是回报，因为我们已经量化了“变化的一生”项目的研究对象身高与体重的最佳线性关系。通过同样的原理，我们还可以解释更加复杂的关系和解决更加具有社会意义的问题。对于任意一个回归系数，我们只需要关心3件事情就行了：正负、大小和含义。