1702649403
1702649404
1702649405
1702649406
这里，θ是由未知参数组成的一个列向量；注意，也可能仅有一个未知参数，此处θ是一个标量（scalar）。因为观测值被假设为相互独立，所以公式12.B.1成立，这就意味着它们的联合分布可以被表示成单个边缘分布的乘积。然而，因为乘积表达式在数学上不太好处理，所以我们将公式12.B.1转变成对数形式（这样做是允许的，因为某一变量与其对数之间的关系是单调的）。因此，我们得到：
1702649407
1702649408
1702649409
1702649410
1702649411
1702649412
然后，我们找到使对数似然值最大的θ值（记为）；因为关系是单调的，这也使似然值最大化。
1702649413
1702649414
1702649415
1702649416
1702649417
量化数据分析：通过社会研究检验想法 [:1702644810]
1702649418
量化数据分析：通过社会研究检验想法 正态分布的均值
1702649419
1702649420
举一个简单的例子。从一个方差为σ2的正态分布总体中随机抽取一个观测样本，假设我们想找到这个样本均值μ的最大似然估计。因为对单个观测值的似然值为：
1702649421
1702649422
1702649423
1702649424
1702649425
所以，根据公式12.B.1和12.B.2，样本的对数似然值为：
1702649426
1702649427
1702649428
1702649429
1702649430
1702649431
然而，我们可以忽略公式右边最左边的一项，因为它并不依赖于xi。我们也可以忽略项，因为σ2是已知的。这样，我们就只留下对数似然值的核心部分：
1702649432
1702649433
1702649434
1702649435
1702649436
因此，我们剩下的任务就是使对数似然函数的核心部分最大化，即使公式12.B.5最大化。我们可以对μ取一阶导数，并令它为0。这样得到的值使得似然函数的核心部分取得最大值或最小值。我们接着取二阶导数，以判断究竟是最大值，还是最小值：二阶导数小于0表示取得最大值，因为极值所在区域的曲线是向上凸的。公式12.B.5对μ的一阶导数为：
1702649437
1702649438
1702649439
1702649440
1702649441
令公式12.B.6为0，并对μ求解，得到μ的最大似然估计：
1702649442
1702649443
1702649444
1702649445
1702649446
我们知道这是最大值，因为公式12.B.5对μ的二阶导数为-N/σ2，它始终小于0。注意，总体均值的最大似然估计就是样本均值。类似地，我们也可以证明对于一个正态分布来说，总体方差的最大似然估计就是样本方差。
1702649447
1702649448
1702649449
1702649450
1702649451
量化数据分析：通过社会研究检验想法 [:1702644811]
1702649452
量化数据分析：通过社会研究检验想法 对数线性参数