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注意，不随时间变化的预测变量γzi和未观测变量的效应αi都被“减出”了方程15.3，这就是为什么这类方程被称为第一差分方程（first-differenced equations）的原因。也就是说，方程15.3已经排除了所有不随时间变化的未测量因素，以及任何不随时间变化的已测量的因素。因此，方程15.3解决了忽略变量偏误问题——假设没有效应随时间变化的未测量因素；这是一个经常被忽略的重要假设。如果满足以下两个条件，方程15.3可以用OLS估计：①至少存在一些xi，满足xi2≠xi1，且xi2和xi1并不完全相关（如年龄就不能作为备选变量）；②观测到的预测变量在两个时点都与异质性误差项εi1和εi2不相关；也就是说，观测到的预测变量是严格外生的（strictly exogenous）——这至关重要，即它们不依赖于在先前时点观测到的结果。
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允许X变量的斜率变化
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注意，在方程15.3中我们假设预测变量x的效应不随时间变化。这个假设可以通过估计允许x变量的斜率变化的第一差分方程进行检验。为了理解这一点，设想下面的一对方程：
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yi1=μ1+β1xi1+γzi+αi+εi1
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和 （15.4）
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yi2=μ2+β2xi2+γzi+αi+εi2
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这里，用方程15.4中的第二个方程减去第一个方程，得到：
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yi2-yi1=（μ2-μ1）+β2xi2-β1xi1+（εi2-εi1）=（μ2-μ1）+β2（xi2-xi1）+（β2-β1）xi1+（εi2-εi1） （15.5）
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也就是说，为了检验各个x变量的斜率随时间变化的假设，我们同时纳入时点1的变量和差分值（difference score）。那么，如果时点1变量的系数显著地不等于0，我们可以得出结论：两个时点的斜率不相等，并且可以从时点2变量的系数中减去差分值的系数得到时点1的斜率值。
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检验取值不随时间变化的变量效应是否随时间变化
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我们也可以允许取值不随时间变化的变量系数随时间变化。为了理解这一点，设想下面一对方程：
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yi1=μ1+βxi1+γ1zi+αi+εi1
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和 （15.6）
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yi2=μ2+βxi2+γ2zi+αi+εi2
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用15.6中的第二个方程减去第一个方程，得到：
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yi2-yi1=（μ2-μ1）+β（xi2-xi1）+（γ2-γ1）zi+（εi2-εi1） （15.7）
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我们从方程15.7看到，评估zi的效应不随时间变化这个假设是可能的，即检验与变量z相应系数的显著性。注意，这些系数没有反映出各个z的效应，而是反映出时点2和时点1之间z效应的差异（differences）。
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取值不随时间变化的变量和取值随时间变化的变量之间的交互项
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正如前面讲过的，我们一般不能从FE模型中得到取值不随时间变化的变量效应〔但可参考Bollen和Brand（2008）的特殊处理〕。然而，我们可以得到取值不随时间变化的变量与取值随时间变化的变量x的交互项效应。为了理解这一点，设想下面一对方程：
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yi1=μ1+βxi1+γzi+δxi1zi+αi+εi1
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和 （15.8）
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yi2=μ2+βxi2+γzi+δxi2zi+αi+εi2
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用15.8中的第二个方程减去第一个方程，得到：
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yi2-yi1=（μ2-μ1）+β（xi2-xi1）+δzi（xi2-xi1）+（εi2-εi1） （15.9）
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例如，回到性别对收入的影响例子，FE模型不能直接估计性别在产生收入差异方面的作用。然而，它允许我们分析（个人）表现评估分数的变化对收入变化的影响是否存在性别差异。假设性别编码1代表男性，0代表女性，而x（这里代表的是一个变量而不是一组变量）是（个人）表现评估分数的测量指标。于是我们有：对于女性：yi2-yi1=β（xi2-xi1）+…
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