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这里，pit是yit=1而不为0的概率，其余各项与方程15.1中的定义一样。此外，我们需要假设在个体内，yi1和yi2彼此独立。因此
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Pr（yi1=0，yi2=0）=（1-pi1）（1-pi2）
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Pr（yi1=1，yi2=0）=pi1（1-pi2） （15.20）
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Pr（yi1=0，yi2=1）=（1-pi1）pi2
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Pr（yi1=1，yi2=1）=pi1pi2
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因为我们的目标是在控制不随时间变化的协变量时估计μt和β，所以我们只用个体内的变化估计这些参数。因此，由于那些结果变量yit在时点1和时点2之间不变化的个体没有提供任何信息，因此我们从样本中删除了他们。结果剩下方程15.20的中间两行。我们对这些概率的比率取对数，得到一个把zi和αi“差分掉”（differences out）的方程：
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代入方程15.19中的右边各项，我们有：
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注意，对于那些在时点1和时点2结果变量取值不同的人，方程15.22中的结果变量与时点2“正”结果的对数比率是等价的。因此，方程15.22可简化为一个传统二项逻辑斯蒂回归方程，其中预测变量是各x的差分值。然而，因为方程15.22只对那些结果发生变化的个体进行估计，通常样本规模相对于整体样本而言有较大缩减，所以在解释FE逻辑斯蒂回归结果时，应记住这个问题。
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可以借助条件最大似然估计将FE估计一般化为允许每个人有两个以上时点（或在一个分析单元中有2个以上的个体）的观测值。也就是说，当每个单元存在两个以上的观测值时，问题变为一项条件逻辑斯蒂回归分析〔所涉及的代数知识在Allison（2005：57-59）中有简要介绍；也可以参见StataCorp（2007）中-clogit-的命令条目以及引用的文献〕。
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量化数据分析：通过社会研究检验想法 [:1702644837]
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量化数据分析：通过社会研究检验想法 针对二分结果变量的随机效应模型
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与连续型变量的情况一样，除了FE模型，我们也可以估计RE二分逻辑斯蒂回归模型。二分结果的RE模型不仅有助于估计相同分析单元内不随个体变化的变量效应，而且其分析不局限于结果随时间变化的观测值。与连续型变量的情况一样，这里的逻辑斯蒂回归RE模型也对未观测效应有同样的假设：它们是一个期望值为0、方差为常数的正态分布，且独立于随时间变化和不变的观测变量。与连续型变量的情况一样，独立性假设可以用Hausman检验进行检验。
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量化数据分析：通过社会研究检验想法 [:1702644838]
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量化数据分析：通过社会研究检验想法 一个二分结果变量的具体例子：迁移对南非黑人入学的影响
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为了说明如何推导和解释二分结果的FE和RE模型，我来介绍Lu和Treiman（2007）研究的一部分，他们分析了在南非劳动力迁移和汇款对子女上学的影响。由于种族隔离时代对居住权利的限制，许多南非黑人被迫居住在农村的“黑人家园”，这些地区是南非最贫瘠的地方。结果是：许多人——主要是男性，有时也有女性——离开他们的家园并在南非“白人”地区寻找工作。大多数情况下，劳动迁移者都会给他们的家庭汇款。
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Lu和Treiman研究的问题是：汇款是否有益于家中留守的孩子，即是否能提高孩子入学的可能性。有人会认为汇款提供的额外收入增加了入学的可能性。但也可能是父母希望他们的孩子继续上学，因此决定外出打工以挣得相关费用。也就是说，也许有同样的未被测量到的家庭特征同时决定了迁移决策和上学决策。如果这是事实，那么汇款与入学之间的相关系数将是有偏的。然而，一个跨时期（over-time）FE分析可以控制这种情况（这需要假设所有其他未测量特征不随时间变化）。
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Lu和Treiman利用在2002年9月至2003年9月间开展的南非劳动力调查中南非黑人的这部分数据（黑人人口占南非总人口的78%），研究了2002～2003年间入学率的变化，把入学率变化作为家庭迁移—汇款状态变化及其他随时间变化的家庭特征（家庭收入、家庭成员获得的最高学历、家中的子女数、家庭的户主是否为女性，以及调查年份）的函数。此外，他们把孩子的年龄也作为预测变量。尽管此变量被看作不随时间变化，因为时点2的值是时点1的值的完全线性变换（age2=age1+1），回想方程15.7，为了检验效应随时间变化的可能性，这些变量可以被纳入FE方程中；与这些变量相关的系数提供了时点2相对于时点1效应大小的差异。在当前的例子中，我们猜测，对南非黑人来说，孩子的年龄对入学的影响在种族隔离时代结束后会逐年下降，因为上学已经变得越来越有可能。
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表15-3展示了三种估计：FE模型、RE模型和用全部样本而不是像FE模型所要求的那样只包含改变了入学状态的那部分样本的RE模型（有关如何进行分析的详细内容，参见可下载文件“ch15_2.do”和“ch15_2.log”）。
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表15-3 迁移和汇款对2002～2003年南非黑人儿童入学影响的OLS模型和FE模型估计值的比较〔N（FE）=2408个儿童；N（full RE）=12043个儿童〕