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那么结果是：
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（1）按照最多数票规则，A当选总统；
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（2）按照复赛决胜规则，票数领先的两位接着表决，则B当选总统；
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（3）按照逐轮淘汰规则，每轮末位淘汰，则C当选总统；
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（4）按照波达记分规则，以5、4、3…记分，则D当选总统；
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（5）按照依次对决规则，每两位按多数规则对决，则E当选总统。【69】
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既然每种规则在程序和技术上都同等公平，人们就无法决断了。人们在解决投票悖论上前仆后继，但阿罗定理毁灭了这一希望，阿罗证明了，完全公平的选举是不可能的，因为没有一种选举规则能够同时满足表达理性公平所需的各个条件，因此投票悖论无法消除，除非采取某种强加的专制规定，可是那样的话，民主就变成专制了。人们又试图逃脱阿罗定理，布莱克以及森等人提出过几种重要方案，但可惜都不是真正的解决，因为所有克制悖论的方案都包含某种强加于人的限制条件。只要对人们的偏好自由形成干涉，就不再是真正的民主了，而且，一旦允许强加某种限制规则，就等于为任何一种专制规则打开了大门。看来，投票悖论所以解决不了，并非人类智力不够，而是因为人类偏好本来就包含各种循环或两难，就是说，人本来就不像机器人那样，在偏好上总能满足A＞B＞C……这种非循环的传递性。除非把人做成机器人，否则无法避免偏好循环。
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民主归根到底不是数学问题，我们有理由质疑追求无懈可击的投票规则是否有根本性的意义。投票悖论吸引了人们太多的注意力，可问题是，即使将来万一人们天才地解决了投票悖论，也并不能使民主变成公正的，因为以多胜少规则本身就已经不公正了。其实，最简单也是最传统的解决方案是，如果采取只有两种候选方案（比如两党制）的“理想投票状态”，偏好循环的客观条件消失了，投票悖论也就自动消失了。这时就回到了民主的经典难题上：即使是绝对多数规则也不是公正的，它只不过反映了超过半数的民心。反正总是多数伤害少数，那么51％：49％还是40％∶30％又有什么本质区别？这才是投票的根本难题。
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我们必须改变思考方向。人们原来思考的是，什么样的投票规则才能准确地反映多数人的偏好，这一思考方向是错误的。人不是数字，数字优势不能转换为道义优势。“多数”并不蕴含“更好”或“更正确”，相反，多数为胜必然蕴含对少数人的非正当伤害，所以说，如何减少民主的伤害，才是更应该思考的投票问题。因此，关键不在于投票规则多么精巧，而在于如何设计一种最小伤害的投票规则去减弱以多胜少的危害。当改变了思考方向，就不难发现，投票悖论其实是个陷阱，我们完全可以绕过这个陷阱，不与纠缠。既然每种投票规则在程序上都同样合理，那么无需吹毛求疵，基于简洁性的考虑，只要采取单轮多数决胜规则就足够好了（无需超过半数，以最多票为胜）。现在问题在于如何改进单轮多数决胜规则以减少多数人对少数人的伤害。
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考虑这样的情况：方案a有利于所有人，每个人收益为n；但方案b有利于51％的人，收益为n＋1，而有损于41％的人，收益为n－1。多数人为了利益最大化就非常可能昧良心选择b。按照多数规则，b显然通过，而抑制b是不可能的，这正是民主的典型坏处。现在根据最小伤害原则去改进投票规则，为了给无视输家利益的赢家方案增加通过的难度，同时使弱势方拥有更强能力去抵抗伤害，我们就必须在赞成票之外再引入反对票，于是，每人都有两票——赞成票和反对票。一人双向两票的好处是显而易见的，这一制度使人们的肯定性偏好和否定性偏好都同样得以表达。双向偏好都得到表达才是偏好的全面充分表达，人们“不要什么”比“要什么”甚至更重要，因为“不要什么”涉及人的安全和自由的问题，人们只有凭借“不要什么”的权利才得以自保，而“要什么”涉及的只是利益甚至是奢华利益的问题，人们往往在“要什么”的权力中膨胀而堕落。因此，人们的否定性偏好比肯定性偏好更基本也更重要，更不容忽视也更需要优先表达，尤其不能以肯定性偏好去替代否定性偏好，这两者不能兑换。
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双向票的结果可能非常不同于单向票。双向票规则如下：（1）净支持率计算。如果A获得51％赞成票，但同时获得41％的反对票，则51％－41％＝10％净支持票；如果B获得41％赞成票，但同时获得21％的反对票，则41％－21％＝20％净支持票，于是B胜出。容易看出，这一结果完全不同于单向票表决。这一规则体现了考虑伤害率而不仅仅考虑得利率的最小伤害原则。（2）支持率比较。如果A和B碰巧获得同等净支持率，则按照传统的多数胜出规则，比如A获得51％－41％＝10％而B获得41％－31％＝10％，那么A胜出。
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可以看出，双向票的好处是它能够相对增强弱势群体的自保能力。假如采用双向票规则，任何一个政治集团为了增加胜出的可能性，就不得不对其利益最大化的自私欲望有所控制，就会去改进其候选方案以避免获得太多的反对票。而弱势集团本来就没有能力去过分伤害其他人群，因此获得的反对票可能就相对比较少。由双向票规则所引导的博弈必定迫使博弈各方都尽量公正地思考问题和分析形势，最后，无论是哪一个集团的方案胜出，可以想象，这个中选方案必定比较有利于社会普遍利益和公共利益。当然，强势集团的获胜机会仍然较大，但双向票毕竟能够有效限制强势集团的过分要求。双向票的根本设计意图正是体现最小伤害原则，而最小伤害原则背后的理由则是共同体中每个人的自由和安全高于多数集团的利益。按照双向票的规则设计，大概能够保证：（1）输家在与赢家的合作中的收益仍然明显大过不合作的收益，因此能够有效维护共同体的政治稳定，避免共同体分裂；（2）使赢家对输家的损害降到最低，从而使公共选择的利益分配尽量接近和谐和公正（尽管不可能达到完全和谐和公正）。这样就使民主获得某种程度的正当性，同时比较有效地促进社会合作。
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除了投票制度，民主还必须有另一方面，即公议制度。在民主政治中，公议制度甚至比投票制度更基本也更重要。民主本就发源于古希腊的公议制度（agora，广场制度，今称公共领域）。所有公民都有同等资格参与关于公共选择的公议，这是古希腊民主的核心，而投票只是一个辅助性的技术性制度。公议是投票的前提，只有先通过公议摆明问题，发表意见，自由辩论，使人们对所要解决的问题以及各种可能方案有了足够清楚的认识之后，投票才有意义。无公议的投票是盲目的，无知盲目的投票是非常冒险和不负责任的。公议和投票构成了民主中由“说”到“做”的两个环节：公议把事情说清楚；投票对事情做决定。正确的“说”是“做”正确之事的条件。由于现代社会变迁，现代民主特别推重投票制度而弱化了原本作为民主核心的公共领域，全民投票变成了现代民主的核心。现代民主这一转变与平等观念成为现代核心价值观有关，而平等观念的优势地位则显然因为现代社会的大众化性质。投票比公议更具平等色彩，可是单纯的投票抹杀了智力和德性差异，因而更加偏离公正。不以公议制度为核心的民主是不合格的残废民主，公共领域的退化意味着民主的衰退。阿伦特和哈贝马斯等人要求修复足够强大和健康的公共领域，道理在此。
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公共领域比投票的问题更复杂。早在古希腊，公议制度就已经暴露出公共领域的内在困难。广场是公共领域的意见表达场所，公民们在广场公议城邦事务，所有公民都有发表意见和辩论的自由权利，于是agora就具有了双重功能：它既是意见的“广场”同时也是意见的“市场”（agora本来既指议政场所也指商业场所）。广场与市场双义合一暗示了公共领域的内在矛盾：一方面，广场是政治性的，人们的意见应该严肃认真为公益着想，因此，意见辩论的决胜标准应该是真理与理性规则（事实与逻辑）；但另一方面，市场是商业性的，人们发表意见是为了推销意见，就像推销商品，于是，更为成功的意见推销就需要花言巧语和欺骗，意见辩论的决胜标准变成了话语感染力和炒作欺骗的魅力。这个意见和话语的民主困境在古希腊表现为“辩证法与修辞术之争”。古希腊的辩证法指的是通向真理的理性论辩方法，大概相当于正确的逻辑分析和推论方法；修辞术是指以花言巧语说服别人的方法，大概相当于宣传炒作方法。意见困境就是公共领域如何去劣存优、去伪存真的问题。
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话语和意见民主的困境原因在于，真理、知识以及理性分析远不如花言巧语、欺骗和诡辩那样有着蛊惑人心的魅力，因为：（1）真理和知识表达事实，而真实世界或事情真相总是没有人们期望的那么美好，人们不喜欢，而且人们也有权利不喜欢。花言巧语描述了不真实而美好事物，向人们许诺各种不靠谱而迷人的事情，人们即便明知为假，还是为之所惑；（2）真理和知识为了能够切实解决问题而使用理性分析方法，因此显得冷酷单调枯燥。花言巧语则动员了一切能够打动人心的资源，尤其是情感感染力；（3）真理和知识总有一定智力深度难度，不如花言巧语通俗易懂。总之，真理和知识的市场竞争力也即大众化能力不如花言巧语。这也是柏拉图和亚里士多德所以看不起民主的理由。意见和话语民主的本意是使各种观念都有自由表达的机会，以此克服专制一言堂，可又正是在民主的条件下，错误意见往往（尽管并非必然）在话语市场上胜过正确知识，于是形成民主悖论：有了思想的自由广场才能够有民主，但思想广场一旦是自由的，就难免蜕变为花言巧语控制的市场。
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当广场民主蜕变为市场民主就形成“民主丛林”。如果霍布斯丛林是个人主义的弱肉强食丛林，那么，民主丛林就是多数主义的以众暴寡丛林；霍布斯丛林以强权为真理，民主丛林则以声高为有理。显然，思想民主必须有一种制度或者规则使得民主无法随便为任何事情辩护。如果一种意见无论多么错误荒谬，无论多么低俗堕落，只要大多数人喜闻乐见，就能够胜出并且决定人类命运，那么民主就成为罪恶。公共领域的运作本是为了使投票表决具有清楚理智的意向，假如辩论民主退化成为投票民主，那么，任何丑恶的事情就都可能假民主之名而横行。因此，公议民主不能缩水为投票民主，公议民主需要不同于投票民主的原则。公议制度肯定不能采用以多为胜规则，这是解决公议问题的基本条件。为什么公议制度不能采取以多为胜规则？这是因为，无论多少人，只要支持的是同一种观点，这在思想上就等于一个人，所谓同心如一人，或者说，一种思想背后无论有多少人支持，它都只是一种思想，而不是多种思想。人数并非一种思想是否正确的变量。所以，意见公议不是比较人数，而是比较各种思想的合理性和优越性，不是某些人与另一些人的竞赛，而是一种观念与另一种观念的竞赛。公议民主关心的不是一种观念代表了多少人，而是一种观念是否代表了真理或更好选择。
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既然排除了以人数证明思想的合法性，那么，逻辑分析和推论（古希腊推崇的辩论标准）是否能够解决问题？毫无疑问，逻辑非常有用，它能够清除混乱模糊的表述和荒谬矛盾的观念，也就消除了大部分理性上不合格的意见。宣传家和煽动家最喜欢的就是混乱含糊的美丽话语，因为许诺给人们美丽而模糊的东西最能博得人们欢心。比如说，某种宗教可能声称能够使每个人幸福，声称它代表了真善美，能够拯救每个人，乃至包治百病，如此等等，但其中所有的美丽话语含义模糊，无一能够落实，甚至说不清到底指的是什么。美丽谎言不能说清楚，一旦说清楚就不再有魅力了，因为世上不存在无限好的事情。不过，逻辑虽能清除胡说，却不能决定什么是好的，逻辑无法管制内容，这正是古希腊的辩证法终究无法胜过修辞术的原因。逻辑有用但意义有限，不能解决问题。
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观念的抉择至少有两个根本困难：（1）指导行动的观念都在选择某种未来，可是无论多少知识积累都不可能形成关于世界的全部知识，也就不可能构成关于未来的必然推论，相当于不存在事先诸葛亮，因此，知识永远不能证明某个观念在未来实践中的正确性。这是休谟定理；（2）任何人都几乎不可能有一个满足传递性的偏好排序，即使在某个特殊时刻是可能的，也是不稳定的，原因是，人类价值体系中并不存在一种绝对的最高价值，而是多种价值并列为最重要价值，高下难分，因此总会遇到许多无法两全的两难选择，或者难以比较的选择。既然人在知识和价值上都无法绝对证明哪个观念更为可取，人不可能知道什么是确实正确的和真正想要的，我们就陷入了思想抉择的困境。这个思想困境本质上是一个事关未来的思想困境：我们的每个行动都在选择未来，可是不知道哪种未来是更好的。未来之事是人类思想极限，无人能够知道未来。事实上，人类所有的科学发展、经济发展以及政治制度都是对未来的冒险选择。对于这个困境，或许真的没有最好的解决，但并不意味着不存在相对合理的解决。
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古希腊为公议埋下了自相矛盾的追求：在不存在真理的地方，人们就试图以公议去对共同命运做出公共选择；可是同时，人们又希望能够说出真理并使真理获得普遍支持。公议既是一个知识活动又是一个政治活动。民主这个概念很容易误导人们对公议的理解。公议有一个秘密：公议虽是民主政治的一部分，但公议的本质是自由而非民主。正因为古希腊民主政治以公议为内核，所以柏拉图认为民主制的首要德性是自由。可是，民主所承认的平等很容易毁掉民主所追求的自由。民主的两个方面，投票和公议，分别表现了平等和自由两个原则，而这两个原则之间存在矛盾。为了保证民主的有效性，投票和公议必须始终分别坚持平等原则和自由原则，万万不能混为一谈。如果平等原则越俎代疱去主导公议，使思想服从多数决胜规则，则必定毁灭公议。公议的意义就在于保护思想自由，反对思想独断。思想自由的必然结果就是拒绝绝对真理（但不包括逻辑和科学），在这个意义上，古希腊怀疑论是对的：既然不能证明何者为绝对真理，那么就应该拒绝独断，使思想处于“无决断”状态。但是，思想可以无决断，行为却不能无决断。唯一的出路就是，在行为的公共选择问题上必须摆脱知识论思路，公议必须放弃真理这一过高目标，而转向可取的价值目标。
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当代复兴公共领域的努力无疑是修复民主的重要贡献，如哈贝马斯的对话理论以及近来流行的“审议民主”理论。这些理论批评了投票民主的局限性，重新明确了理性公议的重要性，但这些仍然还是虚话，仍然说不出公议到底应该如何生产出可靠的公共选择。需要解决的关键问题是：既然意见不能采取加总方式并按多数原则决胜，那么，什么才是意见胜出的理由和标准？我们凭什么必须同意某种意见成为公共选择？
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一般来说，正当的公议至少需要这样一些条件：（1）公议民主的计算单位是意见而不是个人。即使一种意见获得无数人的支持，而另一种意见只获得寥寥数人的支持，这两种意见都只计算为同等的一个单位。这一条件否定了多数决胜原则在公议中的合法性。（2）每种意见都不被歧视，都有自由表达的机会和权利，而且一切相关知识和信息公开和共享。这是古希腊的广场原则。（3）不同意见只能通过公开对话、讨论和辩论去争取共识，并且，对话和辩论必须遵循理性所能理解和所能确认的规范，至少符合哈贝马斯交流理性的“理想谈话条件”。尽管哈贝马斯条件并不完美，不足以解决比较复杂或比较深刻的冲突，但理性对话和辩论至少能够充分摆明问题和展开解决问题的各种可能方案。这样一组条件大致定义了理性公议。可以说，理性公议条件已经几乎穷竭了公议所必需的知识论条件。对于公议，知识论条件固然重要，但无论多么好的知识论条件都不能保证有效解决意见冲突，因此公议问题最终还需要谋求价值论上的解决。
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既然公议民主的目的是获得能够普遍接受的公共意见，那么，公议的最优标准应该是最大兼容原则，它意味着：任何一种试图成为公共选择的意见如果是普遍可接受的，就必须至少与某种普遍价值是兼容的，即与某种普遍价值不矛盾或暗含对某种普遍价值的承认，而且，如果一种意见与更多普遍价值是兼容的，那么这种意见的可接受度就越高。普遍价值对于所有人都有效，因此不存在反对普遍价值的理性理由。假如一种公共选择与任何普遍价值都不能兼容，就显然是不正当的。至此，唯一的遗留问题是如何确定普遍价值，这是非常困难的问题，尚无充分有效的解决，在此不论。
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根据以上分析，可以获得关于民主的两个基本理解：
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（1）民主不是也不可能是一种自身完整的政治制度，民主必须与保证个人自由的法治相配合，否则没有政治正当性，也不会有政治效率。中国传统的“治乱”标准是一种非常优越的社会评价标准。一个社会如果是好的，首先必须是治世，然后才谈得上其他各种政治原则，如果是乱世，无论什么价值都将土崩瓦解，没有什么原则能够幸免于乱。现代社会的治乱首推法治，在不存在法治和自由的情况下，民主就是坏过专制的暴政。只有法治和自由才能有效预防失控民主给个人带来的灾难性伤害，同时预防民主可能导致的社会动乱。
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（2）民主至少包括两个方面的公共选择制度：公议制度和投票制度。公议制度用于意见的理性辩论并且促成普遍可接受的公共意见；投票制度用于形成有关权力和利益的公共选择。对于公议制度，意见的决胜标准是在公正的表达和辩论条件下的最大兼容原则，这是一个反多数决胜规则；对于投票制度，表决标准是满足最小伤害原则的双向票多数决胜规则。如果没有健康的公议制度，民主将是盲目、糊涂和危险的，因此，公议制度比投票制度更为基本。
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