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帕斯卡和费马两个人的结论看起来很简单，至少从梅尔的角度来看是这样的。但这些数字真正意味着什么呢？很多人在既定概率基础上对某一事件可能出现的结果有非常好的直觉，然而，这实际上蕴含着一个非常深刻的哲学问题。假设我在抛硬币的时候，落下来是正面的概率为50%，大致说来，这意味着如果我一次又一次地抛硬币，我抛出硬币正面的概率大概是一半。但是，这并不表明，我能够保证出现正面的概率正好是一半。如果我抛硬币100次，我抛出正面的次数可能是51次、75次或者100次，任何次数都是有可能出现的。那么，为什么梅尔就应该如此重视帕斯卡和费马的计算结果呢？他们并不能保证，梅尔的第一个策略就一定会成功啊。虽然从概率的角度来看，这个胜利的可能性会比较大，但是，在接下来的日子里，梅尔依然可能会面对这样的情况，那就是当某人连续掷4次骰子的时候，梅尔每次押注出现一个6，但或许一次都赢不了。这听起来似乎很古怪，但是，在概率理论（或者物理学理论）看来，任何情况都有可能会出现，不能排除。
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既然概率理论并不能保证某些事情在多大程度上一定会发生，那么，它又能告诉我们什么呢？如果当初梅尔也曾经考虑过这个问题，那么，他可能要等上很长一段时间才会得到一个答案了。事实上，这个时间长达半个世纪。第一个明确提出应该如何考虑概率与事件发生频率之间关系的是瑞士的一位数学家，名叫雅各布·伯努利（Jacob Bernouli），他是在1705年去世前不久才明确指出这一关系的。伯努利是这样解释的：如果每次抛到硬币正面的概率是50%，那么，当你抛硬币的次数越来越多时，你抛出正面的概率与50%之间的差距就会越来越小。当你抛100次硬币时，你有50%的可能性会抛出正面，当你只抛两次时，你也有50%的可能性抛出正面，但是，前一种情况中的50%可能性要比后一种情况的50%可能性要大得多。这个答案可能会让人感觉靠不住，值得怀疑，因为它是用概率论的思想来解释可能性到底意味着什么。如果你对此迷惑不解，这表明你可能会做得更好。伯努利并没有意识到这一点，事实上，直到20世纪，这一问题才彻底被解决，但是我们能够证明，如果你每次抛硬币出现正面的概率是50%，当你抛的次数多达无穷时，很有可能（从本质上来看）出现正面的次数正好占一半。或者，依据梅尔的策略，如果他玩掷骰子的游戏次数无穷多，他依然每次押注数字6，那么他最终获得胜利的概率应该是51.7477%。这一结果其实就是我们所熟悉的大数定律（the law of large numbers），这一定律是概率论中最重要的理论基础之一。
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帕斯卡自己从来不参加赌博，有些滑稽的是，他在数学领域里面所做出的重要贡献竟然来自赌博。更令人啼笑皆非的是，帕斯卡之所以名气大振，竟然是因为一个以他的名字命名的赌局。1654年底，帕斯卡遭遇了一场神奇的经历，而这也改变了他的人生轨迹。他停止了在数学领域里面的所有研究工作，全身心地投入到詹森派（Jansenism）运动中。詹森派是17世纪上半叶在法国出现并流行于欧洲的基督教教派。自那时起，帕斯卡撰写了大量的与神学相关的文章，今天我们所熟悉的帕斯卡赌注（Pascal’s Wager）率先出现在他宗教文章里的脚注中。他辩论说，你可以把选择相信上帝当成一次赌博：基督教上帝可能存在，也可能不存在，一个人可以选择信仰上帝存在，也可以选择不信仰上帝存在。但是，在任何赌博开始之前，你肯定想知道，你获胜的概率有多大，以及你赢了会出现什么情况，输了又会出现什么情况。帕斯卡的推理是：如果你赌上帝是存在的，并且按照上帝教导我们的那样去生活，那么，你所做的事情都是对的，你将会升入天堂享受永生。如果你赌输了，你将会死去，而什么都不会发生。因此，同样地，如果你赌上帝不存在，而且你赌对了，你的生活将会一如既往。但是如果你赌上帝不存在，但是你赌输了，那么，你注定将会被打入万劫不复的地狱。正是因为他按照这一思路去考虑问题，帕斯卡觉得是否决定相信上帝应该是一个很简单的决策。
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对冲之王：华尔街量化投资传奇（经典版） [:1703413472]
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市场是一个超级大赌场
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尽管巴施里耶对机会和概率的研究非常感兴趣，但是他自己的生活却并没有那么幸运。他努力工作的领域包括物理学、金融学和数学，不过他并没有在学术方面取得突破性的进展。每一次好运气似乎都要光临他，可是，往往总是在最后一刻从指尖溜走了。巴施里耶于1870年出生在法国西北部港口城市勒阿弗尔（Le Havre），在年轻的时候，他是一个非常有前途的学生。高中时期，他在数学方面表现出惊人的天赋，并于1888年10月获得了中学毕业会考科学专业的文凭。他的成绩相当优异，足以让他有权利选择进入法国的“大学校”学习，而进入“大学校”学习是成为国家公务员或学者的前提条件。巴施里耶来自一个中产阶级的商人家庭，业余爱好是科学和艺术。如果能够进入“大学校”，这将会为巴施里耶打开成为学者和教授的大门，而这些机会是他父辈或祖辈们所不曾享有的。
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可是，正当巴施里耶准备申请的时候，他的父母相继去世了，家中只剩下一个还没有结婚的姐姐和一个3岁的弟弟。在接下来的两年时间里，巴施里耶打理着家族的酒业，直到1891年，他进入部队服兵役。一年以后，当他完成兵役，从部队退伍，他才得以继续他的学业。那个时候，他重新回到学校，当时的他只有二十来岁，由于没有家庭的经济支持，他的选择面临诸多限制。由于年纪太大，他不能再申请进入“大学校”学习。于是他去了巴黎大学，这也是没有办法的选择，因为巴黎大学的名气要比“大学校”差许多。
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不过，在当时，巴黎大学依然有一部分最优秀的人在那里当教师，因为巴黎大学是法国为数不多的、可以让教师全身心投入到科研活动中而不需要考虑教学的大学之一，这也就是在索尔邦大学（巴黎大学的前身）各个研究室里产生一流的研究成果的原因。巴施里耶很快就在同龄人中认清了自己，他的成绩在学校里并不是最好的，比他还厉害的那一少部分学生中，有保罗·郎之万（Paul Langevin）和阿尔弗雷德-玛丽·利纳德（Alfred-Marie Lienard）。现在来看，这些人在数学领域的成就与巴施里耶同样有名。有这样的同学在一起学习是一件幸运的事情。在完成了本科学习后，巴施里耶留在巴黎大学继续攻读博士学位。他的研究工作吸引了当时最聪明的那群人的注意，随后他开始将这些研究成果写成论文，也就是萨缪尔森后来找到的那篇论文，他的论文主要研究的是金融市场的投机理论。巴施里耶的合作研究者是亨利·庞加莱（Henri Poincare），法国当时最著名的数学家和物理学家。
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庞加莱是指导巴施里耶的最佳人选。庞加莱在他感兴趣的每一个领域都取得了巨大的成绩，这些领域包括纯数学、天文学、物理学和工程学。在庞加莱年轻的时候，尽管他是作为本科生进入“大学校”学习的，但学习的内容与巴施里耶在巴黎大学研究生学习的内容类似。庞加莱在课余时间也做兼职，职位是矿物探测员。事实上，庞加莱一生的大部分时间都是以矿产工程师的身份参加工作的，最终他成为法国矿业集团的首席工程师。同时，他还能充分发挥应用数学的重要作用，甚至在不寻常的金融领域（在当时来看是这样的）也能够充分发挥数学的作用。如果没有一位像庞加莱这样知识渊博、研究领域广泛的老师做指导，对巴施里耶来说，想要完成他的论文，将是一件不可能实现的事情。更进一步说，庞加莱所获得的巨大成就使得他在当时法国的文化界和政界都是一个响当当的人物，所以，即使他的学生研究的主题与当时的学术界是难以相融的，庞加莱也可以通过自己的影响力给予重要的支持。
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就是在这样的情况下，巴施里耶于1900年完成了他的那篇论文。论文的基本思想是运用由卡尔达诺、帕斯卡和费马于16世纪和17世纪在数学领域新开拓的概率理论来帮助理解金融市场。换句话说，我们可以把市场理解为一个超级大赌场。当然，今天我们将股票市场比喻成赌场已经很平常，不过，这正是来源于巴施里耶的伟大思想。
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不管以什么样的学术标准来评判，巴施里耶的论文都是相当成功的，似乎无论未来出现什么情况，一切看上去都在巴施里耶的预料之中。然而，对学术界而言，这却是一个灾难。为什么这样说呢？问题出在读者身上。实际上，巴施里耶是站在即将来到的革命的最前沿阵地上的（毕竟，他刚刚创建了数理金融学），令人悲伤的是，在他那个时代，没有人能够正确地评价他所做的贡献。对巴施里耶做出评价的并不是一群跟他思想相近的学者，而是数学家和有深厚数学功底的物理学家们。在随后的时间里，即使是这些人，对巴施里耶所做的工作也表示同情。但是在1900年，欧洲大陆的数学界还是非常保守封闭的，众多数学家们的数学思想和概念仍停留在1860年左右发生危机时所形成的数学理论。在这一时期，一些非常著名的理论都被证明含有某些错误。这让数学家们感到焦虑，担心他们的理论基础摇摇欲坠。因此，数学界掀起一场运动，特别是那些没有被严密的方法证实过的问题，很多都成为被关注的焦点，目的是保证充斥在学术期刊的新的研究结果不再像过去的老成果那样带有瑕疵。对严谨和形式上的过分关注大大地阻碍了数学的发展，使得应用数学，甚至包括数学物理都成为主流数学家们另眼相看的对象。将数学应用到新领域，甚至更夸张一点，用来自金融学领域的直觉推动数学领域的新发展，被认为是令人厌恶和可怕的想法。
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庞加莱的强大影响力足以保护巴施里耶的论文能够突破重重困难，但即使这样，他也被迫得出这样的结论，那就是，巴施里耶的论文与当时法国数学界的主流观点相去甚远，从而不能获得最高等级的成绩。巴施里耶的论文获得了一定级别的赞赏，但不是最优的成绩。由庞加莱主笔的答辩委员会报告，反映出庞加莱对巴施里耶所做工作的大力赞赏。庞加莱不仅称赞巴施里耶开拓了数学的新领域，同时还大大称赞了他对金融市场所表现出来的远见卓识。不过，按照当时的标准，想要给这篇数学论文最高的等级是不可能的，因为这篇论文的主题并不是在研究数学问题（在当时看来）。由于这篇论文没能获得最高等级的成绩，巴施里耶想要成为一名职业数学家的理想也随之破灭。在庞加莱的大力支持下，巴施里耶依然留在巴黎。他从巴黎大学和其他一些独立基金会获得了一些小小的资助，用以维持他简单的生活。从1909年开始，他被允许在巴黎大学讲课，但是却没有薪水。
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对巴施里耶来说，1914年是最残酷的一年，因为所有的大逆转都是在这一年发生的。在这一年的早些时候，巴黎大学董事会授权科学院院长为巴施里耶设立一个永久性的岗位。让巴施里耶梦寐以求的职位终于近在眼前了。然而，就在职位即将被最终确认的时候，命运再次让巴施里耶跌到了谷底。这一年的8月，德国军队穿过比利时，入侵法国。为了应对战争，法国在全国实行总动员。9月19日，这位引发金融学革命的44岁的数学家在没有任何征兆的情况下被征加入了法国军队。
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对冲之王：华尔街量化投资传奇（经典版） [:1703413473]
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随机游走模型的诞生
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想象一下，阳光穿过布满灰尘的窗户照进阁楼。只要你将眼睛集中在穿透窗户射进来的光线中，你会发现无数的尘埃在光线中飞舞。看上去，它们就好像悬浮在空气中一样。如果你再仔细地观察，它们在空气中都是随机地跳动，变化着方向，一会儿向上飘，一会儿向下落。如果你能够看得更细微一些，比如，在显微镜下观察，你会发现，这些灰尘都是以粒子的状态做连续不断的随机运动。按照罗马诗人提图斯·卢克莱修（Titus Lucretius）的看法（大约是在公元前60年的时候所作的诗中表达的观点），这些看上去的随机运动表明确实存在着非常细小且看不见的微粒，从各个方向连续冲撞着这些尘埃颗粒，使得它们一会儿按照这个方向运动，一会儿又按照另外一个方向运动，他将它们称为“最原始的单位”。
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两千多年之后，为了证明原子的存在，爱因斯坦也做过类似的论述。只是他的论述比卢克莱修的描绘更贴切一些：他运用了数学分析框架来帮助他精确地描述由更小单位的微粒撞击引发的尘埃的运动轨迹。在接下来的6年时间里，在该领域，法国物理学家简-巴普蒂斯特·佩林（Jean-Baptiste Perrin）建立了一套实验分析方法来追踪悬浮在液体中的微粒运动，实验足以清楚地表明微粒确实是按照爱因斯坦所描述的方式运动的。这些实验充分地打消了那些仍然怀疑原子存在的争论。但是，遗憾的是，卢克莱修的贡献却并没有得到相应的认可。
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爱因斯坦感兴趣的微粒运动方式其实就是布朗运动（Brownian motion）的例子，布朗运动是以苏格兰植物学家罗伯特·布朗（Robert Brown）的名字命名的。布朗是在1826年研究悬浮在水中的花粉粒时，注意到它们都是在做随机运动的。对布朗运动的数学分析通常被称为“随机游走”（random walk），有时候被更形象地称为“醉汉游走”。想象一下从坎昆（Cancun）某个酒吧出来的醉汉，敞开瓶口的防晒霜从他衣服后面的口袋里往下滴。他摇摇晃晃地往前走了几步，停了下来，下一步，他可能往这个方向走，也可能往那个方向走，选择往哪个方向走，完全是随机的。他先定了定神，朝某个方向前进了几步，然后又蹒跚地选择下一个行走的方向。这个醉汉蹒跚前进的方向完全是随机的，至少，在一定范围内，他的行走对抵达目的地没有任何帮助。如果这个醉汉走的路程足够长，最后回到了宾馆（或者他最终想要到达的地方），那么滴在路上的防晒霜可以显示他所走过的轨迹，而这个轨迹与我们看到光线中悬浮的尘埃所飞舞的轨迹如出一辙。
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在物理学和化学领域，爱因斯坦用数学语言对布朗运动的解释赢得了所有人的认同，他于1905年发表了论文。而正是这篇论文，吸引了佩林的眼球。但实际上，爱因斯坦还是晚了5年的时间。因为早在5年前的1900年，巴施里耶在他的论文中就已经用数学语言对随机游走做了相关的描述。与爱因斯坦不同的是，巴施里耶对尘埃撞击微粒产生的随机运动并不感兴趣，他所感兴趣的是股票价格的随机波动。
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设想一下，坎昆的醉汉现在回到了宾馆。他走出电梯门，然后在经过一条长长的走廊时，左一下右一下，来回摇晃。走廊的一头是700号房间，走廊的另一头是799号房间。他出电梯门的时候正好是在中间，但是，他不知道应该往哪个方向回到自己的房间。于是，他在走廊里来回地踱步，一半的时间是往一个方向行走，另外一半的时间又是往相反的方向行走。这就是随机游走的数学理论想要回答的问题所在：假定这个醉汉所走的每一步，都有50%的机会让他离走廊一头的700号房间更近一步，当然也有50%的机会让他离走廊另外一头的799号房间更近一步，那么，在他走了100步，或者说1000步之后，他到达自己房间门口的概率是多少呢？
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为了检验这一数学思想对理解金融市场有什么样的帮助，你可以将某一只股票的价格想象成坎昆的醉汉。在任何时候，股票的价格都有可能上涨，当然，也有可能下跌。这两种可能性就像走出电梯门的醉汉，在走廊里来回踱步，既有可能走向700号房间，也有可能走向799号房间。因此，在这种情况下，数学是这样描述这个问题的：如果股票有一个初始的既定价格，它接下来的涨跌都遵循随机游走的规律，那么，在经过某一段固定时期之后，股票价格到达特定价格水平的概率是多少呢？换句话说，在走出电梯门后，经过100步或者1000步的折腾，醉汉最终会在哪个房间门口停下来呢？
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这就是巴施里耶在他的论文中想要回答的问题。他提出，如果股票价格遵循随机游走的模式，经过某一段固定时期之后，股票价格到达特定价格水平的可能性可以通过正态分布曲线（钟形曲线）加以描述。正如曲线名称所要表示的那样，这条曲线的形状看上去就像一口钟，中间顶部的位置最高，两端分布较广。曲线最高的部分是以股票初始价格为中心，这意味着在绝大多数情况下，股票的价格都是围绕其初始价格波动。与顶部中心位置离得比较远的地方，曲线快速下落，表明股票价格大幅波动的概率很低。尽管股票的价格很大程度上是以随机游走的形式出现的，然而，随着时间的推移，曲线显著性地变宽，且顶部高度有所下降，这表明，经过一段时间，股票价格偏离最初价格水平的概率在增加（见图1-1）。
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巴施里耶发现，如果股票价格以随机游走的方式波动，那么股票价格在未来到达某一价格水平的可能性就可以通过我们所熟悉的正态分布曲线计算出来。这些图片向我们展示了当股票的价格是100美元时变化的情况。图（a）是标准的正态分布曲线，计算的是从现在开始的未来某一段时间的价格，比如从现在开始的5年时间。在5年时间里，股票价格出现的概率就是曲线下方的区域面积。例如，在图（b）中，阴影面积表示的就是未来5年时间里，股票价格在60美元和70美元之间的概率。图形的形状取决于你对未来分析的时间跨度设定为多长。在图（c）中，点虚线表示的是从现在开始的1年时间里股票价格的概率分布，段虚线表示的是从现在开始的3年时间里股票价格的概率分布，而实线表示的是从现在开始的5年时间里股票价格的概率分布。你会注意到，随着时间越来越长，曲线高度在降低，但变得更厚实了。这意味着，随着时间越来越长，股票价格波动远离其初始价格的可能性在不断增大，我们可以从图（d）中看得更明显。我们会发现，在60美元到70美元的价格区间中，实线下面阴影部分的面积要比虚线下面阴影部分的面积大许多，它表明从现在开始的5年时间里，股票价格在60美元和70美元之间波动的概率要比从现在开始的1年时间里股票价格在60美元和70美元之间波动的概率高很多。
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图1-1 巴施里耶模型的概率分布
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