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图3-1 柯西分布
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柯西分布最主要的特征是它并不服从大数定律：喝醉的行刑队员射击出的子弹打中的位置永远不会趋向于一个固定的数字。如果行刑队射击1000次，你可以记录每颗子弹击中的位置，然后计算出一个平均值，就像你可以在玩投硬币游戏中计算出你的盈利的平均值一样。但是这个平均值是非常不稳定的。行刑队中的一名队员完全可能在下一次射击之前突然转身，以至于子弹的飞行方向几乎和墙面平行。它可能飞行几百公里（假设这是一些威力巨大的枪支），飞得足够远，实际上，如果当你将这个最新的结果加到之前的结果上，得到的平均值将和之前得到的平均值完全不同。由于这个分布存在肥尾，所以喝醉的行刑队员射出的子弹击中的位置从长期来看也是无法预测的。
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就像曼德博所描述的那样，尤其是在维希政府统治的刚开始的两年中，战争在一段较长的时期内并没有影响到法国的大部分地区。但是不久之后，战火蔓延开来，造成了严重的破坏，然后又是一段时间的平静。因此，曼德博被这些“突然的暴动”所吸引，被这些绝不是平淡的赌场游戏的随机过程所吸引。他把这些服从柯西分布的事件称为“狂放随机”（wildly random），目的是把它们和普通的温和的随机游走区别开来。曼德博投入了大量的精力来研究这些。当曼德博开始迈入职业生涯的时候，大多数统计学家认为这个世界充满了正态分布的事件，尽管柯西分布和其他“肥尾”分布偶尔也会出现，但是它们都是一些特例。曼德博却列举出了许许多多这样的特例，并且他列举出的特例的数量多于任何一个人。
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让我们再回头来讨论一下英国海岸线长度的问题。假设你想测量出一个海角或者任何一块陆地上凸起的长度。你必须先从可以测量的东西开始动手，比如岩石和防波堤。你将所有这些东西的长度取平均值。你还没有大功告成，因为你发现这些岩石和凸起本身也是半岛的一部分。因此你再次拿出测量工具，开始测量起这些半岛的长度。它们的数量不是很多，但是比你已经测量过的岩石和防波堤大得多，并且你现在得到了一个比第一轮测量所得出的结果大得多的新平均值。更有甚者，你还没有考虑到更大的结构，比如康沃尔郡。或者说，你没有考虑到整个英国的西海岸，因为从地理的角度来说，它就是欧亚大陆的凸起部分。同时当你看到这个的时候，也要考虑到一些细小一些的结构。为什么把几十厘米长的岩石计算进去了，却没有把几厘米长的岩石也计算进去呢？
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每一次你测量的范围越大，你获得的平均值的变化就越显著。你似乎无法把范围缩小到一个简单的数字。令那些在做无用功的勘测员感到沮丧的是，海岸线上的任何一样东西的平均长度都没有一个期望值。分形具有一个来自于它们的自相似性的一般性特征。一方面，它们排列得非常完美并且规则；另一方面，它们带有狂放的随机性。如果像曼德博认为的那样，分形无处不在，那么这个世界将被极端所支配，我们对平均值和常态的认识只会使我们迷失方向。
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非凡的几何直觉
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尽管曼德博从没有提到过任何细节，但他经常顺带提起1943年底那段特别悲惨的经历，当时他正和法国的反抗组织躲藏在一起。后来，反抗组织意识到曼德博不能再留在蒂勒了，于是他们将他弄到一个安全的地方，让他以一个预科学校研究生的身份留在里昂（Lyon）。
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转移曼德博是一个异常危险的举动。无论对犹太人还是反对派支持者来说，里昂无疑都是法国南部最危险的城市之一。曼德博恰巧同时属于这两种人。当时德军党卫军军官尼古拉斯·巴比（Nikolaus Barbie）在城市中央的一个旅馆里指挥着当地的盖世太保。他被称为“里昂屠夫”，后来在里昂法庭因战争罪行受到审判，罪行是迫害将近1000名在这个地区生活的犹太人。曼德博怎么看也不像是一个乡村短工，照顾他的反抗组织成员不得不找个不那么引人注目的地方安置他。于是找一所学校便成了一个折中的选择：曼德博正处于合适的年纪，并且爱将自己打扮得像个学者。他以一个伪造的身份去上学，并且住进了学校的宿舍。虽然已经做了充分的伪装，但曼德博还是不敢离开学校半步。他是一个学生，同时也是一个囚犯。
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为了掩人耳目，曼德博坐在教室里老老实实地上课，但是没有人认为他能学进去多少。这所学校的办学宗旨是培养最聪明的学生，使他们能够通过难度系数非常高的“大学校”的入学考试。学校里的气氛总是充满竞争而且快节奏的。曼德博从1942年春天开始一直到1944年初都没有再迈进过学校一步，因此入学之后他再一次远远地落在了同龄人的后面。面对这些聪慧过人、而且遥遥领先于他的同学们，曼德博似乎永远无法赶上他们的步伐。
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最初，事情的发展与预期基本一样。曼德博在教室里安安静静地坐着，假装是个安分守己的学生。其实，他什么也听不懂。就这样，时间一周又一周地过去了。每一次当老师给出一些抽象代数的题目，要求学生们比赛谁能用最快的速度解出答案的时候，曼德博都不声不响地听着。他对课堂上发生的一切依旧没有头绪，他能够猜出老师出的那些题目问的是什么，却完全不知道从何处下手去解答，更不用说讨论一道题有几种不同的解法了，那种要求简直搞得他一头雾水。然而，不久后一件值得纪念的事情发生了。有一天，当老师给全班出了一个题目的时候，曼德博的脑子里突然闪现出一个图形。他连想都没想就举起了手。老师惊讶地请他回答。“这个问题是不是相当于问这两个平面是不是相交的？”曼德博问道，他同时描述了他想到的那两个图形的样子。老师同意这个问题也可以这样表述，但是提醒曼德博他们的目标是快速解出这道题，而不是用几何方法来解释这些问题。
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曼德博坐回到他的位置上，被这通指责“噎”住了。但是当老师念出下一道题目的时候，他又忍不住想到了空间图形。他一下子就能想出这个问题所涉及的是哪种图形。很快，他发现自己可以胸有成竹地做到这些。事实证明，曼德博拥有一个“特异功能”，能把抽象的代数问题视觉化。但是老师提醒他，仅仅靠用几何的方法来解释问题对他的考试毫无帮助。于是，曼德博开始思考如何将他的这个特异功能付诸实践。他不能仅仅凭借几何直觉来解决问题，至少这不是老师要求的方法。但是他可以迅速猜出答案是什么，并且他总是能够猜对。不久之后，虽然曼德博的应试准备并不充分，而且有着不同寻常的身份，但他还是融入了这所学校。
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1944年夏天，戴高乐宣布法国解放。8月底，芒德勃罗家族举家搬回了巴黎。尽管曼德博在里昂只待了6个月，也就是一个学期，但是这段经历却改变了他的人生道路。在这段时间里，他学习了大量的知识，发现了自己的几何天赋，更重要的是，他重新拾起了学业。他决定继续准备“大学校”的入学考试，并且在1944年进入巴黎一所最权威的预科学校。在取得优异的考试成绩之后，他收到了好几所“大学校”的入学通知书，其中包括最有竞争力的巴黎高等师范学院。
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曼德博选择进入巴黎高等师范学院，但仅仅两天之后，因为发现自己无法忍受象牙塔中的生活而放弃了。离开学校的这段时间，让他更关注现实生活中的问题。曼德博马上就转到了更加注重应用性和科学性的巴黎综合理工学院。这个选择预示着曼德博之后的学术道路：每一次，当必须在纯学术和实用主义之间二者选一的时候，曼德博总会选择后者。这样一来，曼德博将他的几何“特异功能”用到了以前被忽视的实用性问题以及那些似乎难以破解的问题上。就像巴施里耶一样，曼德博以他过人的数学天赋提出了许多前人尚未发现的问题，同时，他找到的答案足以改变科学家们看待世界的角度。
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棉花市场，莱维稳定分布的证据
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多年之后，曼德博将他事业上的巨大成功归功于两件事。第一件就是不同寻常、时断时续的学业。曼德博最后读完了“大学校”，然后又取得了博士学位，但是这并不是一段轻松自在的旅途。而正是因为他没有走一条循规蹈矩的路，他才被历练成了一个更加睿智和独立的人。第二件就是一连串不经意的发现。这些发现引领着他拨开重重迷雾，逐渐看到了一个又一个智力谜团。齐夫的公式就是其中一个，这还是当他的叔叔将那篇文献综述扔到他脸上的时候发现的。另一个出现在几年之后，就是在他刚刚完成研究生学业不久的时候。
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那时，曼德博在IBM工作，IBM也是一家深深受益于物理科学工业化的企业。尽管曼德博常常表露出对自己在没有导师的情况下顺利完成学业的自豪感，但这件事在找工作的时候并没有对他带来任何帮助。他在普林斯顿高等研究院度过了一段清贫的博士后生活，然后他又回到欧洲，在法国政府的热力学研究中心工作了一段时间。但是由于得到一个全职正式员工的职位看起来是一件八字没一撇的事儿，曼德博对于在数学界施展拳脚的幻灭感开始与日俱增。1958年，曼德博终于收到IBM的邀请信，IBM向他提供了一个研究部门科技人员的职位。他当即蹦了起来，虽然用他自己的话来说，“那时候收到一份IBM的工作邀请并不是什么了不起的事儿”。
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IBM研究中心的工作目标之一就是为它最新的电脑拓展出一些应用领域。曼德博的工作是处理经济学方面的数据。他的老板希望他能够展示电脑在经济学领域的实用性，以便让银行和大型投资公司心甘情愿地为IBM的大型机埋单。具体来说，曼德博处理的是能描述整个社会收入分布的数据。银行并不一定会对这个特定的问题特别感兴趣；相反，这项工作的目的是将曼德博的研究作为一种概念性的证据，以证明计算机在处理需要大量数学运算的金融数据时是多么的高效。
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收入分布以前就被学者们研究过，其中最著名的要属意大利工程师、实业家、经济学家维弗雷多·帕累托（Vilfredo Pareto）。作为一个自由放任主义经济学的忠实信徒，帕累托深深地痴迷于自由市场和资本积累的研究。他想要搞清楚的是：人们是如何变得富有的，谁控制了财富，资源是怎样被市场的力量支配的。为了达到这个目的，他搜集了大量关于财富和收入的数据，这些数据来源广泛，包括了整个欧洲的房地产交易和个人收入数据以及税收的历史记录。帕累托精心绘制了详尽的图表来分析这些数据，把收入水平和财富绘制在一根坐标轴上，把相对应的人数绘制在另一根坐标轴上。
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帕累托发现他搜集到的数据都反复出现一个简单的规律。他描述到，在任何一个国家、任何一个地区，80%的财富掌握在20%的人手中。这个规律如今被叫作帕累托定律（Pareto’s Principle），有时也被称为80-20法则（80-20 rule）。当时，帕累托对此给出的解释和齐夫使用的解释方法如出一辙。帕累托认为，“社会法则”表明财富不是随机分布的，而是被一些神秘的、能左右市场和社会的力量所支配的。当帕累托使用这个定律时，他发现它几乎可以运用到所有的事情上。一个公司80%的销售额来自仅仅20%的客户。20%的罪犯引发了80%的犯罪事件，现实中还有许多这样的例子。直到现在，帕累托定律在许多场合也都近似成立。
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在曼德博看来，帕累托的研究中最有趣的并不是帕累托搜集的数据揭示了社会的数学法则，而是整个国家的收入分布和这个国家中一小部分人的收入分布之间的特定关系。帕累托认为，80-20法则至少近似地对整个国家来说都是成立的。但是如果你问一个略微有些差别的问题：控制着绝大多数财富的20%的人口的收入分布是怎样的呢？引人注目的是，同样的规律又出现了。如果你只看一个国家中最富有的那部分人，你会发现他们拥有的财富中的80％也掌握在20%的人手里。这些特别富有的人几乎和之前的那些富有的人一样控制着和他们的数量不成比例的财富。实际上，这种规律会一直持续下去。掌握在特别富有的人手中的财富的80%被那些超级富豪所占有，以此类推。
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你现在应该觉得这个规律是多么的眼熟了吧。一个国家的财富分布显示出一种自相似性，或者说一种分形形态。事实上，帕累托发现的这个分布叫作帕累托分布，它也是一种肥尾分布，显示了收入分布的一种狂放的随机性，虽然这种随机性的狂放程度远远不及喝醉的行刑队员射击的随机性那样高。当曼德博处理IBM的数据时，他还没有创造出分形的概念。他对海岸线悖论的开创性研究也是将近10年之后的事情。和帕累托的研究一样，还有一件早在半个世纪前和这种规律有关的事使曼德博备感震惊，那就是齐夫的研究，齐夫发现了一个古怪的有关单词频率分布问题的自相似性，曼德博还基于齐夫的研究完成了博士论文。
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尽管曼德博已经远离学术界，但是他为IBM所做的、有关财富分布的研究还是引起了主流经济学家们的兴趣，因此他偶尔会被邀请做学术汇报。1961年，正当他要开始一个讲座之前，他获得了他的第二个“不经意”的发现。
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这次演讲的地点是哈佛大学经济系。在演讲将按计划开始之前，曼德博遇见了一位教授，一位叫亨得里克·霍撒克（Hendrik Houthakker）的经济学家。当他走进霍撒克的办公室时，他注意到黑板上画着的一幅图。这幅图和他打算在演讲中使用的一幅图几乎一模一样。曼德博的图是对收入分布和帕累托定律进行讨论的一部分。曼德博猜想霍撒克应该也在研究一个相似的问题，于是对他们共同的兴趣做了几句评价。没想到霍撒克却只是茫然地看了他一眼。
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经过一两次艰难的沟通，曼德博意识到有些地方不对劲。他折回去，指着黑板上的图问道：“难道这不是一幅描述财富分布的图吗？”霍撒克听了感到十分困惑，他解释说他的黑板上画的这张图是一天前和一个研究生会面留下的，当时他们讨论了棉花的历史价格。这幅图是棉花市场的每日收益图。
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