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曼德博坐回到他的位置上，被这通指责“噎”住了。但是当老师念出下一道题目的时候，他又忍不住想到了空间图形。他一下子就能想出这个问题所涉及的是哪种图形。很快，他发现自己可以胸有成竹地做到这些。事实证明，曼德博拥有一个“特异功能”，能把抽象的代数问题视觉化。但是老师提醒他，仅仅靠用几何的方法来解释问题对他的考试毫无帮助。于是，曼德博开始思考如何将他的这个特异功能付诸实践。他不能仅仅凭借几何直觉来解决问题，至少这不是老师要求的方法。但是他可以迅速猜出答案是什么，并且他总是能够猜对。不久之后，虽然曼德博的应试准备并不充分，而且有着不同寻常的身份，但他还是融入了这所学校。
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1944年夏天，戴高乐宣布法国解放。8月底，芒德勃罗家族举家搬回了巴黎。尽管曼德博在里昂只待了6个月，也就是一个学期，但是这段经历却改变了他的人生道路。在这段时间里，他学习了大量的知识，发现了自己的几何天赋，更重要的是，他重新拾起了学业。他决定继续准备“大学校”的入学考试，并且在1944年进入巴黎一所最权威的预科学校。在取得优异的考试成绩之后，他收到了好几所“大学校”的入学通知书，其中包括最有竞争力的巴黎高等师范学院。
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曼德博选择进入巴黎高等师范学院，但仅仅两天之后，因为发现自己无法忍受象牙塔中的生活而放弃了。离开学校的这段时间，让他更关注现实生活中的问题。曼德博马上就转到了更加注重应用性和科学性的巴黎综合理工学院。这个选择预示着曼德博之后的学术道路：每一次，当必须在纯学术和实用主义之间二者选一的时候，曼德博总会选择后者。这样一来，曼德博将他的几何“特异功能”用到了以前被忽视的实用性问题以及那些似乎难以破解的问题上。就像巴施里耶一样，曼德博以他过人的数学天赋提出了许多前人尚未发现的问题，同时，他找到的答案足以改变科学家们看待世界的角度。
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对冲之王：华尔街量化投资传奇（经典版） [:1703413492]
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棉花市场，莱维稳定分布的证据
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多年之后，曼德博将他事业上的巨大成功归功于两件事。第一件就是不同寻常、时断时续的学业。曼德博最后读完了“大学校”，然后又取得了博士学位，但是这并不是一段轻松自在的旅途。而正是因为他没有走一条循规蹈矩的路，他才被历练成了一个更加睿智和独立的人。第二件就是一连串不经意的发现。这些发现引领着他拨开重重迷雾，逐渐看到了一个又一个智力谜团。齐夫的公式就是其中一个，这还是当他的叔叔将那篇文献综述扔到他脸上的时候发现的。另一个出现在几年之后，就是在他刚刚完成研究生学业不久的时候。
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那时，曼德博在IBM工作，IBM也是一家深深受益于物理科学工业化的企业。尽管曼德博常常表露出对自己在没有导师的情况下顺利完成学业的自豪感，但这件事在找工作的时候并没有对他带来任何帮助。他在普林斯顿高等研究院度过了一段清贫的博士后生活，然后他又回到欧洲，在法国政府的热力学研究中心工作了一段时间。但是由于得到一个全职正式员工的职位看起来是一件八字没一撇的事儿，曼德博对于在数学界施展拳脚的幻灭感开始与日俱增。1958年，曼德博终于收到IBM的邀请信，IBM向他提供了一个研究部门科技人员的职位。他当即蹦了起来，虽然用他自己的话来说，“那时候收到一份IBM的工作邀请并不是什么了不起的事儿”。
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IBM研究中心的工作目标之一就是为它最新的电脑拓展出一些应用领域。曼德博的工作是处理经济学方面的数据。他的老板希望他能够展示电脑在经济学领域的实用性，以便让银行和大型投资公司心甘情愿地为IBM的大型机埋单。具体来说，曼德博处理的是能描述整个社会收入分布的数据。银行并不一定会对这个特定的问题特别感兴趣；相反，这项工作的目的是将曼德博的研究作为一种概念性的证据，以证明计算机在处理需要大量数学运算的金融数据时是多么的高效。
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收入分布以前就被学者们研究过，其中最著名的要属意大利工程师、实业家、经济学家维弗雷多·帕累托（Vilfredo Pareto）。作为一个自由放任主义经济学的忠实信徒，帕累托深深地痴迷于自由市场和资本积累的研究。他想要搞清楚的是：人们是如何变得富有的，谁控制了财富，资源是怎样被市场的力量支配的。为了达到这个目的，他搜集了大量关于财富和收入的数据，这些数据来源广泛，包括了整个欧洲的房地产交易和个人收入数据以及税收的历史记录。帕累托精心绘制了详尽的图表来分析这些数据，把收入水平和财富绘制在一根坐标轴上，把相对应的人数绘制在另一根坐标轴上。
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帕累托发现他搜集到的数据都反复出现一个简单的规律。他描述到，在任何一个国家、任何一个地区，80%的财富掌握在20%的人手中。这个规律如今被叫作帕累托定律（Pareto’s Principle），有时也被称为80-20法则（80-20 rule）。当时，帕累托对此给出的解释和齐夫使用的解释方法如出一辙。帕累托认为，“社会法则”表明财富不是随机分布的，而是被一些神秘的、能左右市场和社会的力量所支配的。当帕累托使用这个定律时，他发现它几乎可以运用到所有的事情上。一个公司80%的销售额来自仅仅20%的客户。20%的罪犯引发了80%的犯罪事件，现实中还有许多这样的例子。直到现在，帕累托定律在许多场合也都近似成立。
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在曼德博看来，帕累托的研究中最有趣的并不是帕累托搜集的数据揭示了社会的数学法则，而是整个国家的收入分布和这个国家中一小部分人的收入分布之间的特定关系。帕累托认为，80-20法则至少近似地对整个国家来说都是成立的。但是如果你问一个略微有些差别的问题：控制着绝大多数财富的20%的人口的收入分布是怎样的呢？引人注目的是，同样的规律又出现了。如果你只看一个国家中最富有的那部分人，你会发现他们拥有的财富中的80％也掌握在20%的人手里。这些特别富有的人几乎和之前的那些富有的人一样控制着和他们的数量不成比例的财富。实际上，这种规律会一直持续下去。掌握在特别富有的人手中的财富的80%被那些超级富豪所占有，以此类推。
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你现在应该觉得这个规律是多么的眼熟了吧。一个国家的财富分布显示出一种自相似性，或者说一种分形形态。事实上，帕累托发现的这个分布叫作帕累托分布，它也是一种肥尾分布，显示了收入分布的一种狂放的随机性，虽然这种随机性的狂放程度远远不及喝醉的行刑队员射击的随机性那样高。当曼德博处理IBM的数据时，他还没有创造出分形的概念。他对海岸线悖论的开创性研究也是将近10年之后的事情。和帕累托的研究一样，还有一件早在半个世纪前和这种规律有关的事使曼德博备感震惊，那就是齐夫的研究，齐夫发现了一个古怪的有关单词频率分布问题的自相似性，曼德博还基于齐夫的研究完成了博士论文。
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尽管曼德博已经远离学术界，但是他为IBM所做的、有关财富分布的研究还是引起了主流经济学家们的兴趣，因此他偶尔会被邀请做学术汇报。1961年，正当他要开始一个讲座之前，他获得了他的第二个“不经意”的发现。
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这次演讲的地点是哈佛大学经济系。在演讲将按计划开始之前，曼德博遇见了一位教授，一位叫亨得里克·霍撒克（Hendrik Houthakker）的经济学家。当他走进霍撒克的办公室时，他注意到黑板上画着的一幅图。这幅图和他打算在演讲中使用的一幅图几乎一模一样。曼德博的图是对收入分布和帕累托定律进行讨论的一部分。曼德博猜想霍撒克应该也在研究一个相似的问题，于是对他们共同的兴趣做了几句评价。没想到霍撒克却只是茫然地看了他一眼。
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经过一两次艰难的沟通，曼德博意识到有些地方不对劲。他折回去，指着黑板上的图问道：“难道这不是一幅描述财富分布的图吗？”霍撒克听了感到十分困惑，他解释说他的黑板上画的这张图是一天前和一个研究生会面留下的，当时他们讨论了棉花的历史价格。这幅图是棉花市场的每日收益图。
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霍撒克继续解释道，他已经对棉花市场进行了一段时间的研究，但是手头的数据并不支持理论。那个年代，巴施里耶的研究又再次得到了重视，经济学家们开始接受市场遵循随机游走的观点，就和巴施里耶和奥斯本论证过的一样。霍撒克对通过观察历史数据来验证这个假设非常有兴趣。如果随机游走理论是正确的，那么你会看到棉花价格在一天、一星期，或者一个月中有许许多多小的变化，但是应该几乎没有大的变化。然而，霍撒克的数据显示的并不像理论所预测的那样：他不仅看到了很多的小变化，而且看到了很多大的变化。更糟糕的是，他几乎无法得出一个像巴施里耶理论所预测的必定存在的价格变化的平均值。每一次当霍撒克观察新的一组数据时，平均值都会变化，而且非常显著。换句话说，棉花的价格更像是喝醉的行刑队员，而不是坎昆的醉汉。
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曼德博简直被这些东西迷住了。他问霍撒克可不可以让他仔细看一眼这些数据，霍撒克毫不犹豫地答应了。霍撒克告诉曼德博，其实他可以拿走所有的数据，因为他自己已经准备放弃这个项目了。
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回到IBM，曼德博有一个程序员组成的小团队，他们对霍撒克搜集的所有关于棉花价格的数据进行了处理，详细分析了里面的每个细节。他们很快证实了霍撒克找到的最令人费解的发现：回报率的平均值并不存在。价格看起来好像在随机游走，但是它们并不能被标准的统计工具或者巴施里耶和奥斯本的理论所解释，这其中一定发生了奇怪的事。
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曼德博之前就看见过一些不同寻常的分布。除了研究齐夫和巴施里耶的理论，他对另一种分布也非常熟悉，这个分布是他在巴黎的一位教授保罗·莱维发现的。莱维阅读了巴施里耶的论文中一个小章节之后，得出一个结论，他认为巴施里耶的研究存在错误。后来，莱维发现其实是他自己弄错了，于是向巴施里耶表示了歉意。莱维回过头来研究巴施里耶理论的一部分原因是他对随机游走过程和概率分布重新产生了兴趣。遗憾的是，莱维后期的这个研究得到的关注远远少于他早年的研究，他在职业生涯的末期也几乎被人遗忘了。
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为了研究随机过程，莱维研究了一些类别的概率分布，这个分布现在叫作莱维稳定分布（Lévy-stable distribution）。正态分布和柯西分布都是莱维稳定分布的例子，但是莱维稳定分布显示了随机性有一个范围，这个范围在前面所提到的两个分布之间变化。事实上，还有其他比柯西分布的随机性更加狂放的随机事件存在。狂放程度可以用一个数字来表示，它代表了莱维稳定分布的尾部，我们通常用α 表示（见图3-2）。正态分布的α 值为2，柯西分布的α 值为1。这个数值越小，随机过程的狂放程度就越高，同时肥尾也就越大。α 值小于等于1的分布不服从大数定律——实际上，想要找到狂放程度如此之高的数组的平均值也是不可能的。同时，α 值在1和2之间的分布有平均值，但是没有一个界定清晰的平均变化值（统计学家把它叫作波动幅度或者方差），这表明计算经验数据的平均值是十分困难的，即使是当平均值存在的时候。
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作为一名经济学家的霍撒克对莱维晚年的研究知之甚少，但是曼德博却早已经是莱维的信徒了。因此当他看到从霍撒克那里拿来的数据的时候，事情就豁然开朗了。棉花价格并不服从正态分布——同样，它也不服从柯西分布，在这一点上霍撒克是正确的。它的α 值为1.7，正处于1和2之间。棉花的价格是随机的，但是比巴施里耶和奥斯本能够想到的要狂放得多。
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棉花市场是曼德博找到莱维稳定分布的证据的第一个地方。他觉得很奇怪，既然棉花价格的变化非常大，为什么其他市场不会这样呢？曼德博立即动手收集各种各样的市场上的数据：其他的商品市场（例如黄金和石油）、股票、债券等。他发现了每一个案例都有一个共同之处：这些市场的α 都小于2，而且经常显著小于2。这意味着巴施里耶和奥斯本的关于随机游走的理论和正态分布存在一个很大的问题。
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正态分布和柯西分布是一类叫作莱维稳定分布的两个极端例子。莱维稳定分布的特征是存在一个参数α。如果α等于2，这个分布就是正态分布；如果α等于1，这个分布就是柯西分布。曼德博认为真实世界中的市场收益服从α值介于1和2之间的莱维稳定分布，也就是说收益率比巴施里耶和奥斯本所预测的狂放得多，但是不及喝醉的行刑队员。这张图展示的是三个莱维稳定分布。如图3-2所示，实线表示的是柯西分布，点虚线表示的是正态分布。另一根段虚线表示的是一个α为1.5的莱维稳定分布。它比正态分布更高更窄，它的尾部更加肥大，但是没有柯西分布呈现出来的那么极端。
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图3-2 莱维稳定分布
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