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曼德博之前就看见过一些不同寻常的分布。除了研究齐夫和巴施里耶的理论，他对另一种分布也非常熟悉，这个分布是他在巴黎的一位教授保罗·莱维发现的。莱维阅读了巴施里耶的论文中一个小章节之后，得出一个结论，他认为巴施里耶的研究存在错误。后来，莱维发现其实是他自己弄错了，于是向巴施里耶表示了歉意。莱维回过头来研究巴施里耶理论的一部分原因是他对随机游走过程和概率分布重新产生了兴趣。遗憾的是，莱维后期的这个研究得到的关注远远少于他早年的研究，他在职业生涯的末期也几乎被人遗忘了。
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为了研究随机过程，莱维研究了一些类别的概率分布，这个分布现在叫作莱维稳定分布（Lévy-stable distribution）。正态分布和柯西分布都是莱维稳定分布的例子，但是莱维稳定分布显示了随机性有一个范围，这个范围在前面所提到的两个分布之间变化。事实上，还有其他比柯西分布的随机性更加狂放的随机事件存在。狂放程度可以用一个数字来表示，它代表了莱维稳定分布的尾部，我们通常用α 表示（见图3-2）。正态分布的α 值为2，柯西分布的α 值为1。这个数值越小，随机过程的狂放程度就越高，同时肥尾也就越大。α 值小于等于1的分布不服从大数定律——实际上，想要找到狂放程度如此之高的数组的平均值也是不可能的。同时，α 值在1和2之间的分布有平均值，但是没有一个界定清晰的平均变化值（统计学家把它叫作波动幅度或者方差），这表明计算经验数据的平均值是十分困难的，即使是当平均值存在的时候。
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作为一名经济学家的霍撒克对莱维晚年的研究知之甚少，但是曼德博却早已经是莱维的信徒了。因此当他看到从霍撒克那里拿来的数据的时候，事情就豁然开朗了。棉花价格并不服从正态分布——同样，它也不服从柯西分布，在这一点上霍撒克是正确的。它的α 值为1.7，正处于1和2之间。棉花的价格是随机的，但是比巴施里耶和奥斯本能够想到的要狂放得多。
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棉花市场是曼德博找到莱维稳定分布的证据的第一个地方。他觉得很奇怪，既然棉花价格的变化非常大，为什么其他市场不会这样呢？曼德博立即动手收集各种各样的市场上的数据：其他的商品市场（例如黄金和石油）、股票、债券等。他发现了每一个案例都有一个共同之处：这些市场的α 都小于2，而且经常显著小于2。这意味着巴施里耶和奥斯本的关于随机游走的理论和正态分布存在一个很大的问题。
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正态分布和柯西分布是一类叫作莱维稳定分布的两个极端例子。莱维稳定分布的特征是存在一个参数α。如果α等于2，这个分布就是正态分布；如果α等于1，这个分布就是柯西分布。曼德博认为真实世界中的市场收益服从α值介于1和2之间的莱维稳定分布，也就是说收益率比巴施里耶和奥斯本所预测的狂放得多，但是不及喝醉的行刑队员。这张图展示的是三个莱维稳定分布。如图3-2所示，实线表示的是柯西分布，点虚线表示的是正态分布。另一根段虚线表示的是一个α为1.5的莱维稳定分布。它比正态分布更高更窄，它的尾部更加肥大，但是没有柯西分布呈现出来的那么极端。
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图3-2 莱维稳定分布
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对冲之王：华尔街量化投资传奇（经典版） [:1703413493]
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华尔街的抉择
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1960年，也就是奥斯本的第一篇论文发表后的第二年，曼德博找到了帕累托分布和莱维稳定分布之间的联系。1963年，他发表了论文，将这个结论推广到棉花价格的研究中。直到很多年之后，麻省理工学院的经济学家库特勒才把曼德博阐述他的替代理论的文章收录进一套论文集。库特勒编辑的这套论文集包括了巴施里耶和奥斯本的研究。这表明这卷将巴施里耶和奥斯本的研究推广给更多的经济学家和理论金融学家的书籍已经暗示了简单的随机游走模型并不是完善的。1965年左右，理论金融家们面临了一个抉择，当然当时他们绝对没有意识到这点。他们的选择是，他们可以追随奥斯本和其他认为传统的统计方法可以用来分析和模拟股票市场收益的学者，这些学者使用的方法很大程度上建立在物理学的基础之上；他们也可以追随曼德博，曼德博认为虽然传统方法有强大的功能，但我们依旧有理由认为那些方法有不足之处。传统方法的优势在于这种比较旧的方法更加容易理解，也更简单。同时，曼德博也掌握了很多表明他的方法更合理的数据。
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学术界最终选择了奥斯本。库特勒在1962年的世界计量经济学会上用这段话反驳了曼德博对棉花价格的研究：
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曼德博和丘吉尔首相一样，他告诉我们没有乌托邦，一切都是流血、汗水和眼泪。如果曼德博是正确的，那么几乎所有我们现在在使用的统计工具都应该被摒弃……我们前辈们的劳动成果无一例外地都没有任何意义。当然，在把几个世纪以来的研究统统扔进垃圾堆之前，我们必须反复确认我们所有的研究是不是真的毫无意义。
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大多数学者也持有相同的观点。此时，虽然温和的随机游走理论还不成熟，但是越来越多的研究者，也包括库特勒在内，已经把自己的事业的筹码押在了这个理论上。显而易见的是，库特勒那带有反对意味的评论所带有的实际目的是想要避开一个年轻的学者，这个年轻人不久前发现了一些研究上的错误。能够肯定的是，曼德博是这样认为的。而事实上，许多实践工作者和理论学家已经意识到了肥尾分布的重要性。他们当中最著名的是《黑天鹅》的作者塔勒布，他是一位对冲基金经理，同时也是纽约大学理工学院的一位教授。他和曼德博认为金融界在1965年做了一个错误的选择，理论界继续假设随机性是温和的，而事实上金融市场是狂放的。
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然而这个观点忽略了一个很重要的问题，即金融科学是怎样发展起来的。20世纪60年代，传统的统计学是一个拥有大量研究工具的成熟学科。曼德博仅仅向前迈了一小步，提出了一些建议和几张图。在此期间，如果不使用传统的统计工具，根本就不可能取得奥斯本、萨缪尔森和其他在金融学和经济学领域工作的学者所取得的成果。曼德博的理论不够简单易懂。这就好比你告诉一个木匠螺丝钉比钉子更加牢固，但是这个木匠手里仅有一把锤子，当时螺丝刀还没有被发明出来。即使如果用螺丝钉，房子会造得更加坚固，至少在一段时间里你还是得用锤子和钉子。
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因为这个原因，当曼德博和他的支持者在攻克有关分形和自相似性的难题时，如果想要取得进展，使用更加简化的工具将是一个合情合理的选择。科学领域有一条不成文的规定：你要用最简单的理论开始研究，将这条理论用到极致，然后回过头去思考你创建的这个理论的问题所在。在这种情况下，一旦你确定股票市场的价格是随机的（至少在某种程度上），下一步就是用最简单的方法假设它们是随机的：它们确实服从随机游走模型。巴施里耶就是这样做的。后来奥斯本指出这样做是不正确的，因为这意味着股票的价格会成为负数，因此他将模型稍微修改得复杂了一些，假设市场的回报率服从随机游走模型。然后他证明了这个理论比巴施里耶的模型更好地解释了数据。
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接着曼德博出现了，他认为奥斯本的理论同样也不完全正确。如果你仔细观察价格数据，你会发现它们所呈现出的规律并不是奥斯本认为自己已经发现的那个规律，尽管差别不是特别显著。曼德博所发现的规律并不能说明价格不是随机的，只是价格的这种随机性和奥斯本认为的略有不同。我们不能对奥斯本模型和曼德博模型之间的区别忽略不计，但这种区别仅仅在碰到极端事件的时候才有重要意义。在普通的一天里，几乎不会有任何极端事件发生（根据这两个模型都会得出这个结论），因此你通常不会注意到这两个模型之间有什么区别。
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因为这个原因，就像我们会在接下来的几个章节中看到的一样，当那些对金融市场感兴趣的经济学家试图将库特勒的书中提出的概念进行推广时，当他们想将股票市场价格的随机性付诸实践时（例如用统计学去预测金融衍生品的价格，或者计算一个投资组合的风险程度），他们需要在一个简化的理论和一个处理起来更加困难的理论中做出选择：前者在大多数时候能给出令人满意的结果，而后者能将一些特定的极端事件考虑进去。从最简单的模型开始，观察会发生什么，这种做法是很有道理的。如果你做了很好的假设，并且有效地将模型理想化，你通常能够应对一些特别复杂的问题，并且能够找到一个近乎正确的解决方法，即使有一些细节上的小瑕疵。当然，你必须知道你的假设并非一直是非常正确的（市场并不是完全有效的；收益服从简单的随机游走，而价格则不然）。而这仅仅只是一个开始。
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有些人认为曼德博在早期发表了关于棉花的论文之后，马上就被人遗忘了，这种论断，实在是过于草率了。大多数经济学家在研究基于市场随机性的相关问题时都采用了奥斯本的方法。但是，也一些有探索精神的数学家、统计学家、经济学家中的核心人物将曼德博的理论用更加细化的数据和更为成熟的数学方法予以验证。这些数学方法中的绝大多数都是专门开发出来让人能更好地理解这个问题的：如果这个世界存在的随机性和曼德博描述的一样狂放，那么它会是什么样子的呢？这些研究证明了曼德博的基本理论，正态分布和对数分布不足以模拟市场的统计学特征，收益率分布存在肥尾。
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据说，这个故事还有一个小小的波澜。曼德博在他1963年发表的论文中提出了一个详细的结论：他认为市场是服从莱维稳定分布的。除了正态分布以外，莱维稳定分布的波动幅度是无限的，也就是说最标准的传统统计工具不能用来分析这样的分布。这就是库特勒提到的，“如果曼德博是正确的，那么几乎所有我们现在在使用的统计工具都应该被摒弃”的含义。如今，最充分的证据证明了这个关于无穷的波动幅度和不适用的传统统计工具的结论是错误的。这个研究过去了大概50年之后，学者们终于达成了共识，收益率分布存在肥尾，但不服从莱维稳定分布。如果这个共识是正确的，就像大多数研究这个问题的经济学家和物理学家认为的那样，那么标准的统计工具其实是适用的，虽然最简单的有关正态分布和对数分布的假设并不成立。不得不承认，评价曼德博的结论是一项令人非常头痛的工作，主要是因为他的研究课题和他最相近的替代理论之间的关键差别只有在遇到极端例子的时候才能体现出来，但是获取这些例子的数据非常困难。另外，即使在今天，对如何解释这些数据，仍存在分歧。
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曼德博的主张似乎太激进了，以至于很难对此做出评价。直到现在，仍有一些专家坚持认为曼德博并没有得到他应得的评价。我们应该这样合理地评判他：他的观点能够解决这个世界上存在的绝大多数问题。虽然这么说并不完全正确，但是，有些事情却是可以肯定的：极端事件出现的频率要远远高于巴施里耶和奥斯本所认为的那样，市场比正态分布所描述的更加狂放。为了全面地理解市场，并且最可靠地模拟市场，我们必须将这些事实考虑进去。曼德博异常执着地找出了巴施里耶和奥斯本模型中的缺陷，并开发出研究问题所必须用到的数学方法。完善每个细节是一个长远的过程，实际上，对数学模型的不断改进是一个永不停歇的动态过程。不可否认的是，曼德博向前迈出了至关重要的一步。
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在沉迷于市场的统计学工作10年之后，曼德博停住了他继续探索的步伐，他用其他的莱维稳定分布代替了正态分布。此时，他的随机理论和混沌理论已经开始在从宇宙学到气象学的广泛领域中显现出应用价值，在这些领域的应用更加符合他从事应用数学和应用物理学研究的初衷。曼德博在整个职业生涯都保持着与IBM的联系。1974年，他成为IBM的合伙人，这样他就可以像一个学术研究者那样自由地确立和发展自己的项目。
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随着曼德博的思想逐渐渗透到许多不同的科学领域中，他的研究开始受到了重视。他关于分形的著作从1975年开始多次再版，1982年最终定名为《大自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）。这本书引起了巨大的轰动，曼德博也因此成了半个公众人物。20世纪90年代初，曼德博获得了众多荣誉，其中包括1990年的法国荣誉军团勋章奖和1993年的沃尔夫奖。1987年，他开始担任耶鲁大学的兼职数学教授。1999年，曼德博被聘为终身教授，时年75岁。此后，他始终在世界各地发表演讲，从未停止过原创性研究，直到2010年10月14日病逝。
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20世纪90年代早期，曼德博意识到是时候将研究重心重新转向金融学领域了，他的事业也在此时更加飞黄腾达。在过去的30年中，他的观点已经进一步发展和成熟了起来，这大大受益于这些理论在其他领域的应用。因此，当回过头来研究经济学的时候，他发现自己拥有了更多的数学研究工具。同时，市场也发生了巨大的变化。越来越多的华尔街以及世界各地的从业人员已经有能力理解和运用曼德博的理论。此时，对肥尾分布的认识真正成为金融学主流研究的一部分。我并没有沿着时间轴来讲述这个故事，如果那样我应该从一副21点扑克牌和一个半瓶子醋的前物理学家开始娓娓道来，一直到讲到金融学领域能够充分利用这些真知灼见的那一天，先是巴施里耶，接下来是奥斯本，最后才是曼德博。
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