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必须承认，这听上去感觉很怪异，甚至有些不可思议。不过，要看看在现实中这到底是如何运行的，倒不是一件难事。首先，想象一下你现在正站在城市的人行道上，比如，站在曼哈顿中心市区的人行道上，这个地方的街道呈网格状分布。如果你在这个街区按顺时针走一圈，看看会发生什么。在这个过程中，你面对的方向始终保持一致，比如一直面向的是北方，也就是朝向布朗克斯（Bronx）。一开始的时候，你可能需要沿着住宅区往前走一阵子。当你到达下一个转角的时候，你将要向右转，向东穿过城市的街道。不过，这个时候，你不能在转角转动你的身体，因为你所面对的方向，必须始终保持一致，也就是始终都需要面向北方。这就意味着你必须保持横向行走的姿势穿过街道。当你再次到达下一个转角的时候，在这个地方，你必须向南转，于是，为了始终保持面向北方的姿势，你需要倒着走。如果你一直遵循这样的指令行走，顺时针走一圈都没有转动过身体，你会发现你回到起点的时候，你所面对的方向与你最开始行走时所保持的方向是完全一致的。
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这似乎一点儿都不会让人感到惊讶。毕竟，你从未转动过你的身体。现在，让我们将行走的旅程放得更长些，我们不再是围绕街区顺时针行走一圈。想象一下，当你环游地球一圈的时候，你试图始终保持面向同一个方向，比如，还是面向北方，看看会是一个什么样的情形。作为你环球旅行的第一站，假设你是从纽约出发，面朝东方，目标是欧洲。当你到达法国的时候，你将要以像螃蟹一样横着走的方式向亚洲出发，在这个过程中，你需要始终将脸朝向北极。在经过很长一段跋涉之后（可能会走得非常不舒服），你最终将会抵达太平洋，然后，跨过太平洋，前往加利福尼亚。当你最终再次回到纽约的时候，如果你在整个环游的过程中都没有转动过身体，那么，你到达纽约的时候，脸部依然朝向的是北方。
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我们再来看一个例子，起点和终点都是同一个地方，但却是另外一种完全不同的旅行。你在开始的时候，仍然是往东走，跟前面讲过的例子是一样的。不过，当你到达哈萨克斯坦的时候，开始绕道而行。不是像之前那样，直接前往中国，而是往北走，前往俄罗斯。至少这个时候，你行走的方向是你脸部正对着的方向。你一直朝着北极圈前行，身体从未发生过任何转动。当你到达北极的时候，你会发现，纽约就在你的正前方，也就是离你比较远的南方。你继续前行，先到达加拿大的北部，然后沿着哈得孙河前行，最终你也会回到纽约。但是，这一次，当你重新回到起点的时候，你面对的方向跟上一次却是完全不一样的：你面向的是南方！这中间出了什么问题呢？在整个旅途当中，你并没有转动你的身体，可到终点的时候，你面对的方向与最开始出发的时候竟然完全相反，同时也与你第一次环球旅行回到终点时所面对的方向完全相反。
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你第二次环游世界到达终点时，所面对的方向跟出发时完全相反的原因就在于地球的表面是弯曲的（见图8-1），而城市的街区则是平的。至少，坐落在地球表面上的城市街区看上去都是平的，但地球表面是弯曲的。只不过，你在比较短的距离范围内看不出弯曲的痕迹。如果你想象一下，在厨房的餐桌上，一只蚂蚁试图经历与你环球旅行类似的事情，你就会发现，不管蚂蚁选择什么样的路线爬行，最后结束的时候，它面对的方向都是相同的。这就是数学家们在探讨“平面或图形是平的”时所想要表达的意思：它向我们展示了“平行传输的路径独立”（path independence of parallel transport）。之所以说是平行传输，是因为我们的目标是试图让你的身体与最后要达到的方向总是保持平行。与此同时，对于弯曲的表面来说，在终点处，箭头所指的方向则是“路径依赖”（path dependent）。在不同的弯曲表面，不同的路径会导致不同的结果。
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路径依赖与弯曲之间的关系，对于非数学领域的专业人士来说，可能并不是很熟悉。但是，路径依赖的基本思想却不难理解。在日常生活中，我们很容易找到哪些事情是路径依赖的，哪些事情是路径独立的。如果你去商店买日用品，当你回家的时候，你所购买的牛奶的数量就属于路径独立。从商店回到家，牛奶的数量并不会因为你选择不同的路径而发生改变。不过，你油箱里面的油量就属于路径依赖。如果选择开车走直线回家，当你到家的时候，通常情况下，你油箱里面剩下来的油量比你选择走观光路线回家剩下来的油量要多。平行传输中的路径依赖正好就是常见事实中的一个特殊案例，所谓常见事实就是很多时候，事情的结果不仅取决于你从哪里开始和你在哪里结束，同时还取决于你走哪条路到达目的地。
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如果你沿着弯曲的表面移动一支箭，务必要小心，确保箭头所指的方向在整个过程都是一样的，当完成所有的移动过程，最终到达目的地的时候，箭头所指的方向取决于你选择什么样的移动路径。数学家们将这一弯曲表面的特征称为“平行传输的路径独立”。在本图中，围绕球体一周有两种路径供选择。第一条路径是从A点出发，围绕赤道一周，然后重新回到A点。当移动过程结束时，箭头所指的方向与最开始所指的方向是相同的。第二条路径也是从A点出发，沿着赤道前行，但只前进到一半。在球体的另一边，移动路径开始转向北极，然后再经过北极回到A点。当移动过程结束时候，箭头所指的方向与最开始所指的方向完全相反。韦尔观察到这有可能推导出新的物理学理论，不仅考虑到路径依赖的方向问题，同时还可以考虑到箭的长度。真实的物理世界并不是按照那种方式运行的，但是，在韦尔第一次提出他的这个理论（他将这个理论称为规范理论）之后的几年时间里很多物理学家和数学家开始对他发明的这一数学理论进行修正和调整，用来解决其他的问题，并取得了越来越多的成功。
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图8-1 路径独立与路径依赖
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从某种意义上来讲，“空间和时间是弯曲的”就源于平行传输的路径依赖，爱因斯坦的广义相对论就是对这一事实的完美运用。不过，韦尔认为爱因斯坦的分析还不够深入。在广义相对论中，如果你在一开始的时候用一支箭进行移动，当环绕一圈重新回到起点的时候，箭头所指的方向可能完全相反。但是，在这种情形下，路径长度都还是一样的。韦尔觉得这是一个比较随意的差别，可能并没有物理学上的意义。于是，他提出了一个修正理论，在这个修正理论中，韦尔认为长度也是路径依赖的。因此，如果你用一把尺子对这两条路径进行测量就会发现，当重新回到起点的时候，两条路径的长度是不一样的，长度取决于路径。
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韦尔将他的这一新理论称为规范理论。他第一次提出这个概念，是基于这样一个思想，即并不存在一个普遍的、一劳永逸的方法，可以“规范”或者衡量尺子的长度。
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假设你和你的邻居一大早都准备开车去单位上班。你们俩开的车是完全一样的，也在同一个地方工作。当你们到达目的地后，如果某人向你们俩问起，谁车油箱里面的油剩下来的更多些，你们俩该如何回答呢？你可能会瞅一眼你的油表，发现你的油箱是满的，然后你会问你的邻居，他的油箱里面还剩下多少油。不过，这对正确回答这个问题并没有提供足够的信息。答案取决于你和你的邻居上班所走的路是哪一条：你可能选择走的是直线道路，而你的邻居可能行驶的是观光道路；你的邻居可能行驶高速，而你却依然选择走市区道路。不管是哪一种情况，当到达目的地后，你们俩车里所剩下的油量都取决于你们选择走哪一条道路去上班。比较一些路径依赖的数字变量并不会产生直接的答案。
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这就是韦尔提出来的理论所描述的情形，没有一个万能的方法可以衡量一把尺子，因为并不存在路径独立的方法来比较不同地点的两把尺子。不过，韦尔意识到这并不是一个必然的问题：如果你想比较测量芝加哥的尺子与测量哥本哈根的尺子，或者是测量火星的尺子，你需要做的就是找到这样的一个方法，将所有的尺子放在同一个地方，这样的话，你就可以将它们连接起来使用。虽然这并不是路径独立，但是这却行得通，只要你能够找出长度的变化是如何依赖于你所选择的路径。换句话说，韦尔意识到对他的理论来说，真正重要的是确定数学标准，通过这个确定的数学标准就可以对不同的长度进行比较，即以一种讲究原则的方式将不同的点“连接”起来。这样的话，你就可以对不同的尺子进行比较，即使它们的长度是路径依赖的。从数学的角度来看，韦尔所做的事情就是向我们展示了如何对两个不能比较的变量进行对比分析，这个对比分析是通过将这些变量放在相同的位置来实现的，在这个相同的位置，可以直接对它们的特征加以比较。
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韦尔的理论并不是很成功。爱因斯坦很快就指出这一理论与很多广为人知的实验结果并不一致，所以，很快它就被贬为科学理论中的垃圾。不过，韦尔有关规范理论的基本思想注定比理论本身带来的结果要重要许多。他的核心思想是，如果两个变量在物理理论中是完全一样的，你需要找到这样的一个比较标准，能够解释可能出现的路径依赖。20世纪50年代，规范理论在两个来自美国布鲁克海文国家实验室的年轻研究人员的努力下，重新流行起来了，这两个人就是杨振宁（C.N.Yang）和罗伯特·米尔斯（Robert Mills）。杨振宁和米尔斯将规范理论进一步向前发展了。如果在长度符合路径依赖的情况下可以构建一个理论，那么，是不是可以在其他变量符合路径依赖的情况下也构建一个理论呢？他们认识到这个问题的答案是肯定的。于是，他们在韦尔规范理论基础上，提出了一个更为宽泛的分析框架，从而可以构建更为复杂的规范理论。
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这些理论就是今天我们所熟悉的杨-米尔斯理论（Yang Mills theory），有时候它也被称为是规范理论革命。1961年，考虑到规范理论的影响，基础物理学重新改写了。10年之后，当杨振宁意识到杨-米尔斯理论与现代几何学存在着非常紧密的关系时，这个过程得以加速。随后，杨振宁还与西蒙斯的文艺复兴科技公司合作过。规范理论在物理学中处于一个非常重要的位置，因为它们证明了在一个自然的环境下追求“统一的理论”是可以实现的。所谓“统一的理论”指的是这样的一种状态，即不同的变量可以在这样的理论中进行比较。到1973年，粒子物理学中出现的三个基本的力量电磁力、弱力和强力都被统一进了一个单独的规范理论分析框架中。这个分析框架被称为粒子物理学的标准模型。今天，这一模型被认为是所有被发明的模型中表现最好的，它是现代物理学的核心。
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对冲之王：华尔街量化投资传奇（经典版） [:1703413533]
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破解指数难题
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学术领域中的研究工作，特别是那种非常吸引人的终身教授职位，都有固定的招聘计划。到每个暑期快要结束的时候，那些快要完成自己博士论文的学生们就需要做出决定，是不是在这一年申请学术研究工作职位。如果申请人和导师觉得仅仅是博士论文还不够的话，申请人就要准备一份详细的履历，履历里面包括学院其他教授的推荐信，为博士论文所做的研究工作，以及一份描述研究兴趣和爱好的声明。然后，等到秋季学期的时候，准备招聘新教职员工的各个系会对外公开招聘的岗位，应聘的截止日期一般都是到11月末。如果你很幸运，招聘教师的单位会面试你，如果面试进展顺利，对你感兴趣的学院还会邀请你去访问，给你机会宣讲自己的博士论文。在很多学科领域，包括经济学，这个过程被称为“市场化应聘”。这是一个很恰当的词语，从本质上将这种学术聘用关系描绘出来了。同时，这个过程也面临着巨大的压力。与其他的事情不一样的是，你学术成果得到市场认可的程度将会决定你未来职业生涯的轨迹。
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一个研究生的研究工作经历以及他的毕业论文质量对他能否获得某一学术职位起着至关重要的作用。然而，比这两项更为重要的因素是学院教授为学生就业所写推荐信的力度。如果著名的、受人尊敬的教授为你写推荐信，并说你的研究非常好或者很重要，结果就会大不相同。每年，哈佛大学经济学都会召开全系大会，讨论并决定受到学校著名经济学家全力支持的学生名单。经济系将会认真审核每个学生的申请，学生们导师的推荐信将会帮助经济系更加重视该学生研究情况和未来发展前景。这是一个关门会议，只有经济系的教职员工才知道具体的过程。不过，一旦会议结束，学生们都会以飞快的速度奔向会议室门口，第一时间获知结果。当准备招聘新教师的各个系开始给学生们打电话时，这些进入名单的学生将会得到特别的支持，而另一些学生则没有那么幸运。
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考虑到马拉尼研究工作的重要性以及她导师对她的大力推荐，马拉尼有理由相信她的求职过程应该会比较顺利。一切看上去都很有保障。10月的工作见面会很快来到了。考虑到系里的决定意见，马拉尼和马斯金讨论了她的工作问题。遗憾的是，事情看上去不再像之前那么顺利。
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在开会的时候，马斯金认为她的论文非常棒。然而，系里面的其他同事，并非都表示认同。有一位同事还特别地提出了自己的保留意见，这个人就是戴尔·乔根森教授。乔根森是哈佛大学在博斯金委员会里的两位代表之一，同时也是指数问题方面的专家。马拉尼的研究项目与博斯金委员会准备调查的事情完全一致。马拉尼已经构建了一个非常完美的数学分析框架，用来准确地分析博斯金委员会准备解决的难题。于是，当马拉尼获知了乔根森教授的预约时间后，她专门安排了一次与他面谈的机会。她非常兴奋地向乔根森教授描述她的工作情况，并向他演示了如何将规范理论运用到这个重要问题的分析当中。乔根森将她轰出办公室，并且告诉她：“你什么都不懂！”
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马拉尼感到非常沮丧，但她不准备放弃。她第一次的努力不能让乔根森信服，那又会怎么样呢？马斯金非常欣赏这篇论文所要表达的思想，将会大力宣传她的这篇论文。从长远来看，作品本身会为自己代言。然而，在当时，考虑到马拉尼正在准备申请工作，关于未来作品表现的想法很快就被打消了。在工作会议期间，乔根森对马拉尼项目的反对立场非常坚定。几个月之后，当博斯金委员会对外公布其研究发现时，乔根森反对的理由才变得逐渐清晰起来。
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马拉尼花了好几年的时间才让温斯坦真正重视经济学。她试过了所有的办法：介绍著名的经济学家；介绍最著名的经济学理论；阐述重要的经济学实证研究成果。然而，温斯坦对这些做法却很抵制。他总是认为经济学中的数学模型太简单，而要研究的主题却又太复杂。经济学不值得研究，是伪科学。最终，就在快要放弃的边缘，马拉尼做了最后一次尝试。她给温斯坦带来了一个挑战，让他解决一个难题，而这个难题的答案就是经济学领域中非常有名的科斯定理（Coase’s theorem）所推导出来的结论。
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罗纳德·科斯（Ronald Coase）是一名英国经济学家，但他的大多数职业生涯却是在美国的芝加哥大学度过的。他对他称为“社会成本”（social cost）这个研究主题非常感兴趣。
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想象一下，你是农业社会时期美国某一州的地方警察局局长。当地的两个选民找到你，让你帮助他们解决一项未决的争端。他们中的一个人是牛仔，养了一群牛。另外一个人是这个牛仔的邻居，种植大豆的农夫。争端的起因就是牛仔养的牛经常跑到农夫的土地上，毁坏农夫所种的农作物。最近，矛盾开始变得尤为突出，因为农夫得知牛仔将会饲养更多的牛，所以他很担心牛仔的牛会给他的农作物带来更大的损失。如果你是局长，你该怎么协调呢？
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当科斯试图为此类社会问题找到一个标准化的答案时，他得出了一个让人感到惊讶的结论。至少站在长期的角度来观察，不管局长怎么做，他所做的选择都应该满足三个条件：所带来的损失必须能够充分量化；有关财富的定义必须非常明确和严格；协商必须是零成本。为了搞清楚为什么会这样，我们就有必要考虑一下：如果局长告诉牛仔，他可以按照自己的想法随意增加牛群的数量，但是，他必须承担他所养的牛群给农夫带来的损失，那么，情况会出现什么样的变化呢？从本质上来说，牛仔将会为饲养新增加的牛群而支付额外的成本。这样的话，牛仔想增加牛群的数量就会考虑他支付给农夫的大豆赔偿，这个赔偿的金额取决于牛群对大豆造成的损失有多大，以及这个损失又应该折算成多少钱。如果牛仔赔偿给农夫的金额与受损大豆的价值相当，那么，农夫应该不会在意这个收入是来自卖出大豆的所得还是来自牛仔的赔偿。他甚至可能会将牛仔看成是自己的客户，牛仔所买的大豆正好就是牛仔的牛群所破坏的大豆。最终，牛仔和农夫将会达成一致意见：牛仔养多少头牛取决于在什么条件下，双方的利益能够实现最大化。但是，如果局长做出其他的选择呢？如果农夫为了阻止牛仔的牛群破坏他所种植的大豆，而不得不支付一定的补偿给牛仔，那么，同样的讨价还价也会发生。科斯理论表明，最后的结果都是一样的：双方最终达成的协议一定是能够实现各自利益最大化的目标。