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图2-2 减半投注vs.加倍投注
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标记“减半投注”（underbet）的线代表投注金额正好是凯利系统设定金额的一半的按比例投注系统。采用这一系统的赌徒财富值增长比凯利赌徒更加稳定。这通常是一件好事，但是最终取得的收益却要少得多（16.07美元）。
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标记“加倍投注”（overbet）的线代表的是投注金额为凯利系统设定金额2倍的系统。图2-2中最终财富值达到35.88美元。“双倍凯利”系统是不可靠的。在好运连连时非常管用，但所有的收益都是暂时的。请注意，在早期双倍押注的赌徒的表现是三个系统中最好的（左下方火山形状的小高峰）。之后财富值下降至0点并持续很长时间。如果模拟图无限延伸，其财富值将下降至最初的1美元或者比1美元还要少得多。
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情况可能会更糟。即使采取的是按比例投注系统，加倍投注也可能会导致破产。一条代表某人以凯利设定赌额的4倍进行投注（每次投注资金总额的40%）的线在图2-2上将是隐形的，因为它会与基准线重合。这种赌徒在500次抛硬币赌博活动中会将1美元变成0.00000038美元。如果继续下注，资金还将继续无限减少，可能最后连十亿分之一美分都不到。
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严格来讲，按比例加倍投注者最终总会剩下一些钱，可能只是一美分的一小部分（假设钱可以被无限分割成更小的部分，而且没有最小赌额限制）。这种差别几乎不值得考虑。
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凯利系统的驱动力是“大数定律”。在1713年的一篇关于概率的论文中，瑞士数学家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）宣布了一条此前一直被赌徒们（和投资者）误解的定律。
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这指的是难以捉摸的期望值的概念。在美国轮盘赌博活动中，如果轮盘绝对平衡，那么押注红色将会有18/38的概率赢。那是不是意味着每38次里红色都肯定会出现18次呢？当然不是（谁能“保证”呢）。还是意味着最近如果出现黑色的次数非常多的话，就该轮到红色了呢？并不是（尽管很多赌徒是这样认为的）。
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那么期望值指的是什么呢？大多数试图用通俗易懂的语言来解释数学问题的人都会用到“长期来看”这个表达方式。比如人们会说，“长期来看，18/38的时间会出现红色。”
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这只是一种比喻。无论你转动轮盘多少次，你永远都无法确保达到出现红色的预期值。
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如果你转动轮盘38万亿次，你就能确定红色会出现18万亿次吗？不能。那么红色出现的次数会接近18万亿次吗？那要看你说的“接近”是什么意思。如果你指的是“介于17999999999995和18000000000005次之间”，那么答案几乎可以确定是否定的。
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雅各布·伯努利的大数定理表明红色出现的概率会随着转动次数的增加而越来越接近期望值。在数万亿次转动后，红色出现的概率会非常接近18/38或者47.37%。
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不懂数学的数代赌徒们发现这一结果的实际价值并没有他们期望的那样高。这根本无法帮助赌徒从一次期望值为负值的赌博中获利。
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你可能会认为，如果你足够幸运发现了一场期望值为正值的赌博机会，那么根据大数定理，长期你能做得很好。未必！正如我们所见，人们可能在短期内破产。总而言之，即使是采用按比例投注策略系统的人也可能会破产。
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大数定理贯穿于香农的信息论中。在嘈杂的通信通道中，每个字节都是不确定的，唯一确定的就是概率。
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凯利运用类似的方法从期望值为正值的赌博中赚钱。凯利系统能够对资金进行管理，因此赌徒能够在游戏中坚持足够长的时间让大数定理起效。
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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 拉斯维加斯
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索普抓紧机会去视察里诺的赌博轮盘，它们看起来和香农家地下室的那台差不多，很多都是稍稍倾斜的。
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轮盘赌计算机于1961年春末设计完成。在一次长达几个小时的排练过程中，香农和索普成功将几百美元的赌金积累到傲人的2.4万美元，尽管这都是虚拟的。
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索普在香农的工作间进行了实战彩排。他们使用实用性最好的金属丝，像头发丝一样细，来连接耳机和兜里的装置。金属丝用水溶性阿拉伯胶水粘在他的皮肤上，这是一种通用胶水，杂耍演员通常用来粘假胡须和乳贴。然后，把金属丝涂成与索普的皮肤和头发相同的颜色。
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6月份，索普夫妇（爱德华·索普和薇薇安·索普）进击拉斯维加斯，后来香农夫妇（克劳德·香农和贝蒂·香农）也加入其中。索普回忆道：“他们每个人都很紧张。”在1961年，用机器预测轮盘赌结果是完全合法的，但这一行人都非常清楚赌场的人会反对他们的试验。不像21点系统，这个计划需要用到设备，所以如果被发现，根本无法矢口否认。
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他们在一间汽车旅馆住下，而没有选择大的赌场酒店。索普说：“我们没办法相信赌场不会对我们的房间进行窃听或者偷偷查看我们的行李。如果你在他们的地盘上，你会感觉自己很脆弱。”这四个人作为一个团队进行分工合作。首先，他们“侦查轮盘”，寻找带倾斜度的轮盘。当他们找到合适的轮盘后，克劳德会假装成一名系统玩家。他站在轮盘旁边记录出现在一张纸上的数字。这只不过是障眼法。克劳德实际上在用脚趾开关测算球和转子的时间。计算机会把预测数字以音调的形式发送给下注者（爱德华或者贝蒂），他们会假装不认识克劳德。贝蒂看起来最无辜，她的头发比爱德华的平头能更好地隐藏金属丝。薇薇安负责放哨。鉴于他们几个都很紧张，所以他们只用10美分的筹码下注。如果选对一个数字，他们能赢3.6美元。
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细金属丝总是断开。每次断开，他们都不得不回到房间里去修复——他们随身携带着焊铁。
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这些问题的存在让他们无法进行严肃认真的赌博。在拉斯维加斯时，索普向香农夫妇展示了他的21点系统。他的手法毋庸置疑，但并没取得什么成功，好像系统不再管用了似的——或者幸运女神在跟他作对。
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