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有效市场理论学家们认为市场表现可以比很多市场参与者的表现更理性。其中一个机制就是套利者——比如索普——每当价格偏离正常轨道时，他们就会进入市场获取利润。
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信奉有效市场理论的人们通常认为利用套利机会赚钱太容易，因此价格不会大幅度偏离正常轨道太久。但索普的经验表明并非如此。他了解到套利者通常会受到交易成本、错误定价证券的供应、凯利公式以及其他因素的制约。错误定价回归正常需要经历几周、几个月甚至更长时间，而索普可以利用这段时间以数学上的最高速度从中获利。
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夏普提出了反对观点。他说可以把世界的投资者分为积极投资者和消极投资者。消极投资者是那些足够敏感的认识到无法战胜市场的人。消极投资者把所有资金都投入到市场上存在的所有股票的组合（大致就是一种“指数基金”）。
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积极投资者指的是那些幻想可以战胜市场的人。积极投资者把资金投资到除市场投资组合之外的任何投资中。
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根据夏普的术语定义，积极投资者不必是那些“积极地”进行交易的人。买了2股AT&T公司股票并将其保存在梳妆台抽屉里并不进行交易的退休教师也算是积极投资者。因为她的做法实际上是假设AT&T股票比所有市场指数基金更值得拥有。积极投资者包括任何试图挑选“优良”股票而避开“不良”股票的人，或者那些把钱投入主动管理型互惠基金或者投资合伙公司由他人帮忙打理的人。
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夏普问哪种投资者做得更好：积极投资者还是消极投资者？如果世界上的投资者共同拥有世界上的全部股票（外星人没份），那就意味着世界上所有投资者的平均收益必须和股票市场整体的平均收益相等——不考虑管理费、经纪人佣金和税。一定是这样的。
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更确切地说，所有消极投资者的平均收益应该和股票市场的平均收益相等。那是因为这些投资者把钱投在了指数基金或者组合投资中，而这些基金或组合投资的收益与整个市场的收益是相符的。
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把消极投资者的收益从总数中减去，剩下的就是积极投资者的收益。由于消极投资者作为一个整体获得的收益与积极投资者相等，那么同样，积极投资者作为整体的平均收益应该与市场的平均收益相等。这就得出了一个惊人的结论。整体来看，积极投资者的表现和消极投资者差不多（缴纳费用和税之前）。
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众所周知，有些积极投资者的表现比其他人好，每个积极投资者都希望比其他人表现更好。但有一点是确定的，那就是不可能每个人的表现都“高于平均值”。
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因此，积极投资实际上是一种零和游戏。如果某个积极投资者的表现高于平均值，那么必然有其他积极投资者的表现低于平均值。不要认为积极投资者获得的收益是来自那些懦弱的满足于平均收益的消极投资者，从而逃避这个结论。消极投资者的平均收益与积极投资者的平均收益完全相同，原因上文已经做过解释。
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现在把费用算进来。消极投资者的经纪人佣金、管理费或者资本收益税极低，甚至没有（因为他们很少会出售）。而积极交易者的各项费用各有不同。费用这个词适用于包括从当日交易者和对冲基金合伙人到购买并持有几股股票的人在内的所有积极投资者。大多数情况下，积极投资者要支付1%或2%的手续费，佣金和税费则更高（当基金表现特别好的时候，对冲基金投资者支付的费用更高）。这就相当于每年缴纳资金总额的2%，计算收益时必须要从中扣除这笔费用。
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2%并不是小数目。在20世纪，股票市场的平均收益率才比零风险利率高5%左右。那么，积极投资者的收益必须要高出平均收益2个百分点才能与消极投资者收益持平。
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有积极投资者能做到吗？当然有。那些聪明或者幸运的极少数人获得了较高的收益。但是，大多数积极投资者并没有达到持平点。认为能够战胜市场的大多数人的表现都逊于市场。夏普说这个结论无可辩驳，而且这个结论并不是建立在花哨的经济学理论基础上的，而是遵循了算数法则。
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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 敌人名单
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20世纪70年代初，索普得知演员保罗·纽曼（Paul Newman）可能对投资感兴趣。纽曼刚刚完成电影《骗中骗》（The Sting）的拍摄（影片讲述的是一个骗子借用凯利的名字通过推迟电报信息的方式骗一个恶棍倾家荡产下大注的故事）。索普和纽曼曾在20世纪福克斯公司的摄影棚一起喝过酒。纽曼问索普如果当初他全职玩21点能够赢多少钱。索普的答案是一年能赢30万美元。
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纽曼接着问道：“那你为什么不去做呢？”
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索普答道：“你想吗？”
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索普估计纽曼当年大概赚了600万美元。索普和他赚的差不多。
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纽曼最终决定不在普林斯顿–纽波特合伙公司投资。他表示对该公司为了减少纳税而进行交易的方式持保留意见。纽曼解释说他是一个非常显眼的自由派活动家。他在理查德·尼克松总统的“敌人名单”上位列第19位。纽曼怀疑美国政府对他的纳税申报单进行额外审查。他不希望自己所做的任何事情与纳税牵涉在一起而引起哪怕一点怀疑。
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确实，在普林斯顿–纽波特公司，并不是所有的想法都与赚钱有关。有时候不得不想办法攒钱，因此必须小心谨慎地考虑税收影响的问题。
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索普最近告诉我说：“我给自己估算了一下，如果我不用缴纳任何税款，那么我的财富将会是现在的32倍左右。”这句话充分显示了复合投资对费用和利润的影响同样强大。
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想想香农要将1美元变成2048美元的梦想。你以1美元的价格购买一只股票，每年翻一番，连续11年（年收益率达到100%），然后以2048美元的价格将股票卖掉。获得的2047美元利润需要缴纳资本收益税。以20%的税率计算，你将向政府缴纳409美元税款。这样，你还剩下1639美元。这与连续11年收益率为96%而且不需要缴纳任何税款的情况一致。也就是说，税款只占税前累计收益率的4%。
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假设你通过多次交易才将1美元累积为2048美元。你每年都盈利，那么你就必须每年都缴纳资本收益税。第一年你的资金由1美元变为2美元，那么这1美元利润需要缴税。为了简化问题，我们假设短期税率仍为20%（通常更高），你需要向政府缴纳20美分税款，那么第一年年底你的资本只剩下1.8美元，而不是2美元。
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