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图4-1 对数效用
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接下来的几个世纪里，经济学思想家们都醉心于对数效用。英国经济学家威廉·斯坦利·杰文斯（William Stanley Jevons，1835—1882）认为对数效用适用于消费品和财富——“随着人们生活必需品（比方说普通食品数量）的增加，最后使用的部分所产生的效用或者利益会随之降低。”你或许会说这就解释了为什么让你吃到饱的自助餐厅依然存在。1954年，伦纳德·萨维奇将对数曲线称为“每个人的对数函数原型”——这是个近似值，合理解释了大多数人在大多数时间里对他们所遇到的金钱数额所赋予的价值。
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并不是每个人都认同他的看法。萨维奇时代，对数效用已经呈现出过时的事态。这一概念遭受的打击之一就是人们意识到对数效用并不能彻底解决圣彼得堡悖论。20世纪30年代，维也纳数学家卡尔·门格尔（Karl Menger）指出只要对圣彼得堡悖论加以修正，就可以轻松解决伯努利的解决方式没有解决的问题。你只需要提高奖金的吸引力即可。将奖金提高为2、4、16、256达克特……而不是此前连续抛掷所获得的1、2、4、8达克特。通过这样的安排，你可以让奖金快速增长从而使预期效用仍为无穷数。
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门格尔举了一个最可怕的反例，奖金数额不是以美元或者达克特为单位来表示的，而是用效用值（utile）表示。效用值是假定的效用单位。游戏中你赢得的是1、2、4、8效用值，具体数额取决于抛掷的次数。游戏的价值，现在也用预期效用来表示，是无穷的。一个理智的人恐怕会付出一切代价来玩这个游戏——这一点仍然是非常荒谬的，因为他赢得的效用值很可能会非常低。
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对此我们该做些什么呢？或许我们能做的不多。保罗·萨缪尔森认为增加了筹码的圣彼得堡悖论并没有“给经济学家带来恐慌”。这个问题的要点在于伯努利的效用函数在对待财富极限的问题上从心理上讲是不现实的。
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为了找到更好的解决方式，“幸福水平”的概念应运而生。这是为效用设定一个假定的极限值。计算一下你需要多少钱才能满足所有的物质欲望或需求。这个金额总值以及相应的效用，就是“幸福水平”值。
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效用上限所起的作用和赌场能够偿付的金额上限类似。它将无穷级数缩短为合理的有限值。
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对数效用函数没有“幸福水平”。图4-1中的曲线到右上方时似乎开始变平，但永远不会停止上升。意思就是，比方说，获得对数效用的某个人的财富每增加10倍，他的幸福程度都是相同的。也就是说，你的财富净值从1万美元增加到10万美元时你的幸福感与财富净值从10万美元增加到100万美元或者从100万美元增加到1000万美元时是一样的。
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这或许听起来有些道理，当然也可能并无道理。但有一点值得注意，这种财富值呈10倍增长的案例让人难以消化。拥有100亿美元和10亿美元之间有明显差别吗？如果你考虑的只是“过得不错”的话，那么100亿美元和10亿美元对你来说并没什么差别。那么，拥有10万亿美元比拥有1万亿美元更加荣耀吗？如果你只想成为世界上最富有的人的话，那么答案同样也是没什么差别。
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对数效用同样也不是好的贫穷模式。因为它暗示当你失去最后100万美元的90%和失去最后一角钱的90%时一样痛苦。这很荒谬。
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1936年，经济学家约翰·伯尔·威廉姆斯（John Burr Williams）在《经济季刊》（Quarterly Journal of Economics）上发表了一篇题为“投机和结转”（Speculation and the Carryover）的文章。这篇文章是关于棉花投机者的，这些投机者以低价囤积棉花，期望在一年或几年后卖掉赚取利润。投机者“赌”下一年棉花产量不佳，然后导致价格上涨。威廉姆斯注意到这一行动中存在很强的投机成分。比如说，没人能够预测天气。据他观察，成功的投机者必须要首先占据胜率，他必须要了解一些市场并不了解的信息。
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在文章末尾的一个“概率注释”中，威廉姆斯说，“如果一个投机者习惯于将他的资金加上收益（或者损失）冒险投入到连续的每一笔交易中，那么他应该选择所有价格的几何平均数，而不是算数平均数作为可能的价格分布中的代表性价格。”威廉姆斯对这个有些神秘的观点并没有详细说明。这一观点和伯努利以及凯利的观点有很大关系。威廉姆斯是杰出的经济学家，他认为可以通过股息估算股票的价值，也因这一观点（现在看有些过时）而闻名。尽管威廉姆斯声名远播，但他上述的言论并没有引起太多注意，而且很快就被遗忘了。
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[1] 达克特（ducat），从前流通于欧洲各国的钱币。——译者注
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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 大自然警告，远离赌博
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1954年1月，《计量经济学》杂志首次刊出了伯努利1738年发表的那篇提及圣彼得堡悖论的文章的英文译本。西方经济学家中，几乎没有人读过论文原版，因此文章的完整内容并没有广泛流传。英文译本的出版表明长期以来人们都曲解并低估了伯努利的成就。
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这篇文章的内容实际上并不是关于圣彼得堡悖论或者效用的。这两项内容只是作为插入部分出现在文章中。伯努利的理论认为风险投资应该通过产出的几何平均数进行估算。
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从读书的时候起，你可能就记得有两种“平均数”。算数平均数是普通的那种，即把一系列数值相加求和然后除以数值的个数，得出的结果就是算数平均数。击球率[1]就是这样算出来的。当你在电子数据表中输入公式“=AVERAGE（）”，计算机也是按照这个方法计算的。
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大多数人高中毕业后可能会忘记什么是几何平均数。它是n个值连乘所得结果的n次方根。
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如果可以的话，没有多少人愿意计算某个数值的n次方根，所以求几何平均数的事大多是由统计学家完成的。当然，今天没有人会手动计算这两种平均数。在电子数据表中键入公式“=GEOMEAN（）”就可以计算出几何平均数。
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计算任何平均数都是为了让生活更简单。要记住棒球选手曼尼·拉米瑞兹（Manny Ramirez）的击球率0.349比记住他整个职业生涯中的每场击球得分要容易得多。击球率或许比成堆的原始数据更能让人了解一名选手的能力。
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在棒球比赛和很多其他情况下，通常计算出算数平均数就足够了。为什么我们还要不厌其烦地计算几何平均数呢？
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伯努利的解释始于赌博。一场“公平”赌博是指期望值为0的赌博，而期望值就是计算同等概率下出现的结果的算数平均值得来的。下面举一个所谓公平赌博的例子。你把全部净资产都押在抛硬币游戏中，你的对手是和你净资产相同的邻居。赌博的结果要么你获得双倍资产，要么一无所有。获胜者将获得失败者的房子、车子、票子，所有的一切。
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假设现在你拥有10万美元，那么硬币抛出后，你要么拥有20万美元，要么一无所有，出现这两种结果的概率相同。算数平均数为（200000+0）/2，即10万美元。如果你认为10万美是本次赌博的公平恰当的价值，那么你似乎应该对是否接受这次赌博持冷漠态度。因为你现在已经拥有10万美元，而硬币抛出后你的预期资金总额仍为10万美元，根本没有变化。
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