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在棒球比赛和很多其他情况下，通常计算出算数平均数就足够了。为什么我们还要不厌其烦地计算几何平均数呢？
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伯努利的解释始于赌博。一场“公平”赌博是指期望值为0的赌博，而期望值就是计算同等概率下出现的结果的算数平均值得来的。下面举一个所谓公平赌博的例子。你把全部净资产都押在抛硬币游戏中，你的对手是和你净资产相同的邻居。赌博的结果要么你获得双倍资产，要么一无所有。获胜者将获得失败者的房子、车子、票子，所有的一切。
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假设现在你拥有10万美元，那么硬币抛出后，你要么拥有20万美元，要么一无所有，出现这两种结果的概率相同。算数平均数为（200000+0）/2，即10万美元。如果你认为10万美是本次赌博的公平恰当的价值，那么你似乎应该对是否接受这次赌博持冷漠态度。因为你现在已经拥有10万美元，而硬币抛出后你的预期资金总额仍为10万美元，根本没有变化。
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但人们并不是这样推理问题的。如果你和你的邻居都接受这次赌博，那一定是疯了。因为相较于获胜时拿到双倍资产，一旦失败，你的损失可要大得多。
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看一看几何平均数。两个概率相同的结果相乘——$200000×$0——然后求平方根。由于任何数的0倍都为0，所以几何平均数为0。接受这个数值为本次赌博的真正价值，那么你将宁愿守住自己的10万美元资产而不去赌博。
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几何平均数几乎总是小于算数平均数（特例就是所有平均值都完全相同时，这两种平均数也相同）。这就是说，计算几何平均数的方法是估算风险命题更为保守的方法。伯努利认为这种保守主义更好地反映出人们对风险的厌恶。
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由于在风险投资中，几何平均数总是小于算数平均数，“公平”赌博实际上是不利的。伯努利说这是“大自然在警告人们远离赌博”（伯努利并未考虑到人们从赌博活动中获得的欢愉）。
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根据伯努利的观点，当赔率向有利方向倾斜时，赌博才有意义。当赌博双方存在财富差距时，赌博活动也能有意义。因此，伯努利解决了华尔街最古老的一个困惑。据说每次交易股票时，买家都认为自己占据优势，卖家也如此。那么，这就说明买卖双方的想法不可能都对。
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伯努利挑战了这一观点。他说：“对于某个人来说，投资某个受质疑的企业或许是理智的，但对于其他人来说，这么做或许是不理智的。”尽管他并没有提到股票市场，但他谈论的是一个从大洋彼岸运货的“彼得堡商人”。这个商人就是在赌博，因为运货船有可能会沉没。他可以选择为货船上保险，但是根据算数平均数来衡量，保险通常是不利的赌博形式，因为保险公司要从保险费中获取利润。
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伯努利表示一个相对贫穷的商人或许会通过买保险的方式改善几何平均数（尽管保险“定价过高”），而同时比较富有的保险公司也通过卖保险的方式改善自己的几何平均数。
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伯努利认为理智的人总是能将产出的几何平均数最大化，尽管他们自己并没有意识到这一点：“由于我们的所有命题都与经验完美结合，因此将其看作是依赖于不稳定假设的抽象因素而忽略掉的做法是错误的。”
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伯努利的言论与约翰·凯利在1956年发表的文章有非常紧密的联系。凯利的法则最终可以被重新陈述为这样一个简单的法则：选择赌博或者投资时，选择最终结果的几何平均数最高的那个。这一法则就是“凯利准则”，比凯利公式“胜率/倍率”在计算赌注大小方面应用更加广泛。
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当可能出现的结果的概率并不完全相同时，你需要根据其概率进行衡量。方法之一就是将预期财富对数最大化。遵循此法则的任何人都表现得好像拥有对数效用一样。
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从事件发生的年代顺序来看，人们对凯利是否看过伯努利的文章提出质疑也是合情合理的，但并没有证据证明这一点。凯利并没有引用伯努利的观点，如果他真的了解伯努利的论断，那么几乎可以确定他一定会引用到他的文章中。作为一名通信科学家，凯利阅读过《流体力学》的可能性几乎为零。
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然而，伯努利的文章对亨利·拉塔内（Henry Latane）产生了直接影响。将这些思想介绍给经济学家们的正是拉塔内，而不是凯利。
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[1] 击球手的平均得分数。——译者注
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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 亨利·拉塔内
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亨利·拉塔内拥有进入人才市场的有力财富。拥有哈佛大学工商管理学硕士学位的他，进入职场的年份正是可怕的1930年。他自称是经济大萧条之前华尔街雇用的最后一人。20世纪三四十年代时，拉塔内是一名金融分析师。萨缪尔森认为他这种人应该找一份真正的工作，从某种程度上讲，他接受了萨缪尔森的建议。中年时，拉塔内辞去了华尔街的工作，回到学校进修博士学位。他以教育家和理论学家的身份度过了余生。
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1951年，拉塔内开始在北卡罗来纳大学攻读博士学位，钻研组合投资理论。他阅读了伯努利文章的译文，并意识到文中的观点可以应用到股票组合投资当中。后来拉塔内遇到了伦纳德·萨维奇，他说服萨维奇让其相信几何平均数策略对于长线投资者来说意义重大。
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拉塔内在1956年2月17日耶鲁大学举办的考尔斯基金会研讨会上对这一作品进行了阐述。参会人员包括哈里·马科维茨（Harry Markowitz）。
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马科维茨是投资组合理论主流学派的创始人，因均值方差分析而闻名。马科维茨用统计学数据证明了多样化投资——购买大批不同股票，每只股票持有量都不太多——是如何削弱风险的。
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这一观点受到广泛认可，以至于那些持不同观点的理智人群很容易被遗忘掉。1942年，约翰·梅纳德·凯恩斯写道：“有人认为对众多不同的公司分别进行小额投资，尽管对这些公司的信息了解不足，无法做出准确判断，但也比把大笔资金都投入到一家你非常了解的公司要安全得多，这种投资策略让我觉得滑稽至极。”
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凯恩斯一直在思考自己是否比其他人更会选择股票，这让他深受折磨。既然推崇萨缪尔森的人们认为这个理念是中世纪的迷信而将其丢弃，那么马科维茨的发现就具有了特殊的意义。你也许无法战胜市场，但你至少可以让风险最小化，这一点很重要。马科维茨用统计数据表明，通过购买比方说20～30只不同行业的股票，投资者可以将整体组合投资风险降低一半。
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