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但大多数人的投资方式并非如此。他们购买股票和债券，然后一直留在手里，直到有强大的理由出现才会将其抛售。市场默认会一赌到底。这一点关系重大，因为有些赌博单独一次来看貌似是有利的，可一旦周而复始，就会导致毁灭性的后果。针对一次有利赌博活动进行极端“过度下注”，无论以何种形式，都符合上述描述。
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几何平均数准则也可以解决均值方差分析中存在的哈姆雷特式决断中出现的犹豫不决的问题。因为它能帮助挑选出一种“最佳”投资组合。马科维茨注意到几何平均数可以通过标准（算数）平均数和方差进行估算。几何平均数约等于算数平均数减去方差的1/2。进一步引入统计度量可能会使这一估算值更加精确。
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还有另外一个人可以说是凯利准则或者几何平均数准则的共同发现者或者是促进者。1960年，统计学家里奥·布雷曼（Leo Breiman）发表了文章《最佳长期企业扩张投资策略》（Investment Policies for Expanding Businesses Optimal in a Long-Run Sense）。这篇文章刊登在《海军补给研究季刊》（Naval Research Logistics Quarterly）上，感觉和刊登在《贝尔系统技术杂志》上一样不可思议。布雷曼是第一个提出几何平均数最大化可以将达到特定财富目标的时间缩至最短的人。谁想成为百万富翁？布雷曼表示赌徒或者投资者利用几何平均数准则获得百万（或其他）财富的速度要比利用其他任何资金管理方式都快。
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由于错综复杂的关系，凯利准则有过很多杂乱的名称。因此，亨利·拉塔内从未使用过“凯利准则”这个名称一点也不奇怪。他更青睐“几何平均数原则”这个名称。他偶尔会把这一名称缩写为更容易记住的“G策略”（G policy）或者更为简化的“G”。布雷曼则使用“资本增值准则”这一名称，有时候还能听到“资本增值理论”这种叫法。马科维茨用MEL表示财富的“最大化期望对数”（maximize expected logarithm）。在一篇文章中，索普曾称其为“凯利[–布雷曼–伯努利–拉塔内或资本增值]准则。”这还没算上人们对对数效用进行的数量庞大的讨论。名称的混乱导致外行人士很难理解文献中出现的这一观点。
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被这种命名骗得最惨的人可能是丹尼尔·伯努利。他比凯利足足早了218年。凯利文章中最独特、最史无前例的部分就是内幕消息与资本增值之间的联系。在香农提出信息是可以测量的这一观点之前要把上述二者相互联系起来是不可能实现的。伯努利考虑的是一个所有牌都摊在桌面上的清明世界，所有概率都众所周知，不存在隐秘信息。而凯利处理的则是比较黑暗模糊的世界，其中有人比其他人更了解概率信息并试图从中获利。正是这一特性的存在对金融市场产生了重大影响。
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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 [:1703441606]
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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 马科维茨的麻烦
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告诉投资者们去实现最大几何平均数可能会让他们恍然大悟。收益的几何平均数与华尔街通常使用的“复合投资收益”方法别无二致。所有人一直以来都在讨论这个问题。
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拉塔内在北卡罗来纳大学的同事理查德W.麦科恩纳利（Richard W.McEnally）注意到，“‘我们应该选择投资组合增值率最高的投资’这一想法和经济学家提出的很多建议类似，听来很值得称赞，但在实践中很难或者说根本不可能执行，因为需要对遥远的未来有所了解。”
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有一些实例可以向你展示几何平均数原则的起效原理。简单的情况：你有两种投资选择，一种储蓄账户的利率是3%，另一种储蓄账户利率是4%。两种账户都受联邦存款保险公司（FDIC）保障。由于不存在风险，因此每种方式收益的算数平均数和几何平均数都相等。凯利和马科维茨都会告诉你把钱存到利率为4%的账户中。
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当涉及概率因素时，这样选择就不那么恰当了。一只热门科技股的收益的算数平均数可能会高于低迷的蓝筹股，但是波幅可能更大，这可能导致几何平均数较低。那么，买不买技术股呢？怎样才是较为明智的做法？
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凯利准则有潜力回答这类问题。我之所以用了“有潜力”这个字眼，是因为没人真正了解股票投资暗含的各种潜在的可能性。
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这并没有妨碍分析师们编造目标数据和数学模型。有一个数学模型试图将人们熟知的不完美的现实环境缩小为一场概率游戏。
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假设你正考虑投资3只低价股。你做了大量的研究工作，并设计了一年之后股票收益的数学模型。原则上，你可以建造一个幸运轮盘，轮盘上的概率分布与股票相同。将轮辋分隔成你所需要的诸多分区。在这些分区上标上数字，代表在这只股票上投资1美元一年之后所获得的价值。如果你的模型有点用处的话，那么玩这个幸运轮盘和投资股票的情况几乎是一样的。
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让我们假设你为3只低价股分别建造了幸运轮盘，如图4-2所示。
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这些轮盘比任何人对一只股票前景的理性预测都更加简单，但能让你明白大概意思。通过在轮盘上增加足够分区，可以呈现出你对股票收益和收益概率的任何确切想法。
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图4-2 凯利准则与马科维茨准则对比图
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假设你必须把所有资金全部投入到一个轮盘当中，那么哪个轮盘最好呢？这很难说。这就是为什么说计算“平均”收益有用。有时候会出现这种情况：算数平均收益较大，占据了主导地位，而几何平均数则被忽视。
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第三个轮盘的算数平均数最大。第一个轮盘的几何平均数最大。假设你只有这3个备选，而且必须选择其一，那么凯利准则将会建议你把钱投入到第一个轮盘中。
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根据凯利哲学，第二个轮盘是最糟糕的选择。因为有一项产出结果为0。每次旋转你都有可能会尽失一切。任何把资金放在第二个轮盘中的长线“投资者”最终一定会走向破产。第二个轮盘的几何平均数为0。
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那么，均值方差分析是怎么解释的呢？为了回答这个问题，你必须计算出轮盘收益的方差。我帮你省了这个麻烦——三个轮盘的方差从左至右依次增加。算数平均收益值也是如此。因此，马科维茨理论拒绝从这三个轮盘中做出选择。因为选择哪个都合理。能够承受风险寻求最高收益的投资者可以选择第三个轮盘。安全起见，宁愿牺牲收益的保守投资者可以选择第一个。对于立场介于二者之间的投资者来说，第二个也是不错的选择。
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最后的这个建议让人特别难以理解。大多数人会认为中间的轮盘风险最高，因为只有这个轮盘存在全部亏损的风险。但第二个轮盘的方差比第三个低，因为其产出结果更集中。这就是方差并不能很好评估风险的事例之一。
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